高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 8.7 立體幾何中的向量方法（一）證明平行與垂直學案 理 北師大版.doc

8.7立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直最新考綱考情考向分析1.理解直線的方向向量及平面的法向量2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系3.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理.利用空間向量證明空間中的位置關系是近幾年高考重點考查的內容，涉及直線的方向向量，平面的法向量及空間直線、平面之間位置關系的向量表示等內容以解答題為主，主要考查空間直角坐標系的建立及空間向量坐標的運算能力及應用能力，有時也以探索論證題的形式出現(xiàn).1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面內兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2用向量證明空間中的平行關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.(2)設直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2.(3)設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.(4)設平面和的法向量分別為u1，u2，則u1 u2.3用向量證明空間中的垂直關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1v20.(2)設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu.(3)設平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1u20.題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)直線的方向向量是唯一確定的()(2)平面的單位法向量是唯一確定的()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行()(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行()(5)若ab，則a所在直線與b所在直線平行()(6)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行()題組二教材改編2設u，v分別是平面，的法向量，u(2,2,5)，當v(3，2,2)時，與的位置關系為_；當v(4，4，10)時，與的位置關系為_答案解析當v(3，2,2)時，uv(2,2,5)(3，2,2)0.當v(4，4，10)時，v2u.3.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中點，n是a1b1的中點，則直線on，am的位置關系是_答案垂直解析以a為原點，分別以，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示設正方體的棱長為1，則a(0,0,0)，m，o，n，0，on與am垂直題組三易錯自糾4已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，則下列向量是平面abc法向量的是()a(1,1,1) b(1，1,1)c. d.答案c解析設n(x，y，z)為平面abc的法向量，則化簡得xyz.故選c.5直線l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，則有()al blcl與斜交 dl或l答案b解析由an知，na，則有l(wèi)，故選b.6已知平面，的法向量分別為n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，則()a bc，相交但不垂直 d以上均不對答案c解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直題型一利用空間向量證明平行問題典例 (2018大理月考)如圖所示，平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分別是線段pa，pd，cd的中點求證：pb平面efg.證明平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad，ab，ap，ad兩兩垂直，以a為坐標原點，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，設st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2，22，又與不共線，與共面pb平面efg，pb平面efg.引申探究若本例中條件不變，證明平面efg平面pbc.證明(0,1,0)，(0,2,0)，2，bcef.又ef平面pbc，bc平面pbc，ef平面pbc，同理可證gfpc，從而得出gf平面pbc.又efgff，ef，gf平面efg，平面efg平面pbc.思維升華 (1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算跟蹤訓練 如圖，在四面體abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2，m是ad的中點，p是bm的中點，點q在線段ac上，且aq3qc.證明：pq平面bcd.證明方法一如圖，取bd的中點o，以o為原點，od，op所在直線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系由題意知，a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)設點c的坐標為(x0，y0,0)因為3，所以q.因為m為ad的中點，故m(0，1)又p為bm的中點，故p，所以.又平面bcd的一個法向量為a(0,0,1)，故a0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.方法二在線段cd上取點f，使得df3fc，連接of，同方法一建立空間直角坐標系，寫出點a，b，c的坐標，設點c坐標為(x0，y0,0)因為，設點f的坐標為(x，y,0)，則(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，所以所以.又由方法一知，所以，所以pqof.又pq平面bcd，of平面bcd，所以pq平面bcd.題型二利用空間向量證明垂直問題命題點1證線面垂直典例 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1的中點求證：ab1平面a1bd.證明方法一設平面a1bd內的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)，使m.令a，b，c，顯然它們不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，則ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，結論得證方法二取bc的中點o，連接ao.因為abc為正三角形，所以aobc.因為在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，且平面abc平面bcc1b1bc，所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中點o1，以o為原點，分別以ob，oo1，oa所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)設平面a1bd的法向量為n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因為n，n，故即令x1，則y2，z，故n(1,2，)為平面a1bd的一個法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故ab1平面a1bd.命題點2證面面垂直典例 (2017武漢月考)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為a的正方形，側面pad底面abcd，且papdad，設e，f分別為pc，bd的中點(1)求證：ef平面pad；(2)求證：平面pab平面pdc.證明(1)如圖，取ad的中點o，連接op，of.因為papd，所以poad.因為側面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，所以po平面abcd.又o，f分別為ad，bd的中點，所以ofab.又abcd是正方形，所以ofad.因為papdad，所以papd，opoa.以o為原點，oa，of，op所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則a，f，d，p，b，c.因為e為pc的中點，所以e.易知平面pad的一個法向量為，因為，且0，又因為ef平面pad，所以ef平面pad.(2)因為，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以pacd.又papd，pdcdd，pd，cd平面pdc，所以pa平面pdc.又pa平面pab，所以平面pab平面pdc.思維升華 證明垂直問題的方法(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然 ，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可跟蹤訓練 如圖所示，已知四棱錐pabcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，側面pbc底面abcd.證明：(1)pabd；(2)平面pad平面pab.證明(1)取bc的中點o，連接po，平面pbc底面abcd，pbc為等邊三角形，平面pbc底面abcdbc，po平面pbc，po底面abcd.以bc的中點o為坐標原點，以bc所在直線為x軸，過點o與ab平行的直線為y軸，op所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示不妨設cd1，則abbc2，po，a(1，2,0)，b(1,0,0)，d(1，1,0)，p(0,0，)，(2，1,0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，pabd.(2)取pa的中點m，連接dm，則m.，(1,0，)，100()0，即dmpb.10(2)()0，即dmpa.又papbp，pa，pb平面pab，dm平面pab.dm平面pad，平面pad平面pab.題型三利用空間向量解決探索性問題典例 (2018桂林模擬)如圖，棱柱abcda1b1c1d1的所有棱長都等于2，abc和a1ac均為60，平面aa1c1c平面abcd.(1)求證：bdaa1；(2)在直線cc1上是否存在點p，使bp平面da1c1？若存在，求出點p的位置；若不存在，請說明理由(1)證明設bd與ac交于點o，則bdac，連接a1o，在aa1o中，aa12，ao1，a1ao60，a1o2aaao22aa1aocos 603，ao2a1o2aa，a1oao.由于平面aa1c1c平面abcd，且平面aa1c1c平面abcdac，a1o平面aa1c1c，a1o平面abcd.以ob，oc，oa1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0，1,0)，b(，0,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)，a1(0,0，)，c1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即bdaa1.(2)解假設在直線cc1上存在點p，使bp平面da1c1，設，p(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，)從而有p(0,1，)，(，1，)設平面da1c1的法向量為n3(x3，y3，z3)，則又(0,2,0)，(，0，)，則取n3(1,0，1)，因為bp平面da1c1，則n3， 即n30，得1，即點p在c1c的延長線上，且c1ccp.思維升華 對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先設出假設存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”跟蹤訓練 (2016北京)如圖，在四棱錐p-abcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd.(1)求證：pd平面pab；(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值；(3)在棱pa上是否存在點m，使得bm平面pcd？若存在，求的值；若不存在，請說明理由(1)證明平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，abad，ab平面abcd，ab平面pad.pd平面pad，abpd.又papd，paaba，且pa，pb平面pab，pd平面pab.(2)解取ad的中點o，連接co，po.papd，poad.又po平面pad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd，co平面abcd，poco，又accd，coad.以o為原點，oc，oa，op所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，易知p(0,0,1)，b(1,1,0)，d(0，1,0)，c(2,0,0)，則(1,1，1)，(0，1，1)，(2,0，1)，(2，1,0)設n(x0，y0,1)為平面pcd的一個法向量由得解得即n.設pb與平面pcd的夾角為，則sin |cosn，|.(3)解設m是棱pa上一點，則存在0,1使得，因此點m(0,1，)，(1，)，bm平面pcd，bm平面pcd，當且僅當n0，即(1，)0，解得，在棱pa上存在點m使得bm平面pcd，此時.利用向量法解決立體幾何問題典例 (12分)如圖1所示，正abc的邊長為4，cd是ab邊上的高，e，f分別是ac和bc邊的中點，現(xiàn)將abc沿cd翻折成直二面角adcb，如圖2所示(1)試判斷直線ab與平面def的位置關系，并說明理由；(2)求平面edf與平面dfc夾角的余弦值；(3)在線段bc上是否存在一點p，使apde？證明你的結論思想方法指導 對于較復雜的立體幾何問題可采用向量法(1)用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉“數(shù)”的轉化思想(2)兩種思路：選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關定理與向量的線性運算進行判斷建立空間直角坐標系，進行向量的坐標運算，根據(jù)運算結果的幾何意義解釋相關問題規(guī)范解答解(1)ab平面def，理由如下：在abc中，由e，f分別是ac，bc中點，得efab.又ab平面def，ef平面def，ab平面def.1分(2)以d為原點，分別以db，dc，da所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0，2，0)，e(0，1)，f(1，0)，3分易知平面cdf的法向量為(0,0,2)，設平面edf的法向量為n(x，y，z)，則即取n(3，3)，則|cos，n|，平面edf與平面dfc夾角的余弦值為.6分(3)設p(x，y,0)，則y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.9分把y代入上式得x，p，點p在線段bc上在線段bc上存在點p，使apde.12分1已知平面內有一點m(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點p中，在平面內的是()ap(2,3,3) bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)答案a解析逐一驗證法，對于選項a，(1,4,1)，n61260,n，點p在平面內,同理可驗證其他三個點不在平面內2設u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t等于()a3 b4 c5 d6答案c解析，則uv262(4)4t0，t5.3.如圖，f是正方體abcda1b1c1d1的棱cd的中點，e是bb1上一點，若d1fde，則有()ab1eebbb1e2ebcb1eebde與b重合答案a解析以d為坐標原點，分別以da，dc，dd1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，則d(0,0,0)，f(0,1,0)，d1(0,0,2)，設e(2,2，z)，則(0,1，2)，(2,2，z)，02122z0，z1，b1eeb.4(2017廣州質檢)已知平面內的三點a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面的一個法向量n(1，1，1)，則不重合的兩個平面與的位置關系是_答案解析設平面的法向量為m(x，y，z)，由m0，得x0yz0，即yz，由m0，得xz0，即xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.5(2017青島模擬)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，則實數(shù)xy_.答案解析由條件得解得x，y，z4，xy.6已知點p是平行四邊形abcd所在的平面外一點，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對于結論：apab；apad；是平面abcd的法向量；.其中正確的序號是_答案解析0，0，abap，adap，則正確；又abada，ap平面abcd，是平面abcd的法向量，則正確；(2,3,4)，(1,2，1)，與不平行，故錯誤7(2018青海質檢)正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是c1c，b1c1的中點求證：mn平面a1bd.證明如圖所示，以d為坐標原點，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設正方體的棱長為1，則d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，m，n，于是，(1,0,1)，(1,1,0)設平面a1bd的法向量為n(x，y，z)，則n0，且n0，得取x1，得y1，z1.所以n(1，1，1)又n(1，1，1)0，所以n.又mn平面a1bd，所以mn平面a1bd.8.如圖，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.證明：平面pqc平面dcq.證明如圖，以d為坐標原點，線段da的長為單位長度，da，dp，dc所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系由題意得q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0，即pqdq，pqdc.又dqdcd，dq，dc平面dcq，pq平面dcq，又pq平面pqc，平面pqc平面dcq.9.(2017鄭州調研)如圖所示，四棱錐pabcd的底面是邊長為1的正方形，pacd，pa1，pd，e為pd上一點，pe2ed.(1)求證：pa平面abcd；(2)在側棱pc上是否存在一點f，使得bf平面aec？若存在，指出f點的位置，并證明；若不存在，請說明理由(1)證明paad1，pd，pa2ad2pd2，即paad.又pacd，adcdd，ad，cd平面abcd，pa平面abcd.(2)解以a為原點，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)，e，(1,1,0)，.設平面aec的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則n(1,1，2)假設側棱pc上存在一點f，且(01)，使得bf平面aec，則n0.又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在點f，使得bf平面aec，且f為pc的中點10(2017成都調研)如圖所示