整數(shù)矩陣的初等變換在初等數(shù)論中的應(yīng)用.doc

學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 編號 學(xué)士學(xué)位論 文整數(shù)矩陣的初等變換在初等數(shù)論中的應(yīng)用學(xué)生姓名： 康婉玉 學(xué) 號： 00000000000 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 2012-2級 指導(dǎo)教師： 張四保 完成日期： 2016 年 4 月 16 日2中文摘要本文基于整數(shù)矩陣對其行（或者列）施加相應(yīng)的變換，改變以往的解題思路，分別給出求解線性不定方程的簡便算法，求若干個整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及多項(xiàng)式的最大公因式的若干方法，并通過具體的題型來檢驗(yàn)這種方法,該方法的計(jì)算過程簡便，在數(shù)學(xué)研究的范圍內(nèi)具有實(shí)際的意義.關(guān)鍵詞：整數(shù)矩陣；初等變換；不定方程；整數(shù)解；多項(xiàng)式；最大公因數(shù)AbstractIt is based on the integer matrix of elementary row(or column) in this paper. To solve the Diophantine equation is given, find the greatest common factor of several integers and the least common multiple of polynomial greatest common factor of several methods. This method is verified through specific example. The method of calculating process is simple, has practical significance in the field of mathematical research.Key words：matrix; elementary transformation; Diophantine equation; integer solution; polynomial; greatest common factor目錄中文摘要IAbstractI引言11. 符號說明12. 基本概念13.求整數(shù)的最大公因數(shù)34.求解線性不定方程55.求整數(shù)的最小公倍數(shù)86. 求多項(xiàng)式最大公因式，最小公倍式107. 總結(jié)12參考文獻(xiàn)13致謝14 I引言一般而言，在近現(xiàn)代發(fā)行的初等數(shù)論教材1-3中，解一次不定方程大部分依賴于二元一次不定方程的解法，解題過程比較繁瑣.本篇文章在引進(jìn)線性代數(shù)中的初等變換這種方法之后，通過對整數(shù)矩陣進(jìn)行初等行（或者列）變換，那么再經(jīng)過相應(yīng)的轉(zhuǎn)換就可以得出一個一次不定方程的所有解.同理，求一部分整數(shù)的最小公倍數(shù)以及最大公約數(shù)或者求多項(xiàng)式的最大公因式和最小公倍式，本篇文章都將給出對整數(shù)矩陣作初等變換的方法得出所求解的過程.1. 符號說明為下文闡述的方便性，先對文章將出現(xiàn)的一些符號加以說明.；設(shè)，以表示的最大公約數(shù)；設(shè)，以表示整除；當(dāng)時，以表示型整數(shù)矩陣集合；設(shè)，以表示的轉(zhuǎn)置；表示單位矩陣.2. 基本概念定義1 4 假如存在，有在上是可逆的，并且，則可以得出是一個整數(shù)并且是可逆的矩陣，用來表示階整數(shù)可逆矩陣集合.顯然可以得出，.下面所給出的矩陣都是中的矩陣. . 上式矩陣為上階初等矩陣，簡稱為初等矩陣.定義2 5 整數(shù)矩陣的初等變換是指： （1）交換兩行或兩列的順序. （2）用乘到某一行或者某一列上. （3）用一個整數(shù)乘以某一行或者某一列，然后再加到另一行或者另一列上.引理16 對一個矩陣做初等行變換，即在的左邊乘上初等矩陣；反過來，對作一個初等列變換就是在的右邊乘上的初等矩陣.證明 這里只討論行變換.設(shè)為一個矩陣，是的行向量.得 ， 特別的，令，得 這相當(dāng)于把的行與行互換.令，得 這相當(dāng)于把的行的倍加到行.證畢.3.求整數(shù)的最大公因數(shù)命題17 設(shè)，則存在可逆矩陣，使得.證明 用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.（I）當(dāng)時，可設(shè)，由輾轉(zhuǎn)相除法知 ， ，于是，令則，命題成立.（II）假定有，這時命題成立.則當(dāng)時，由假定可得，必定存在一個階可逆方陣，使 ，其中，從而有 .又由（I）可得，存在一個二階可逆方陣，使.有，令，則 ，即當(dāng)時，命題成立.由歸納總結(jié)法可得，時，命題是成立.證明完畢.推論17 假設(shè)有，而且有不全為0的整數(shù)，則存在一個上的階可逆矩陣，使 （1）且是的最大公因數(shù)，是一些初等矩陣的乘積.的求法如下文所述：增加單位矩陣，將寫成這樣的形式，構(gòu)建成一個矩陣，然后再對的第一行施加變換，變?yōu)闀r，如下的單位矩陣則化成了，即.推論2 最大公因數(shù)可表成的線性組合 （2）例1 設(shè)，求.解 ，所以.4.求解線性不定方程命題2 7 設(shè)元一次不定方程 ， (3)且，若，則方程(3)有整數(shù)解，其解為 （4）其中，而是（1）中的矩陣的元素.證明 若，則由(2)得,是方程（3）的一組整數(shù)解.，由（4）得.由(1)得故（4）是方程（3）的解.設(shè)是方程（4）的任一整數(shù)解，則 . （5）由，得，所以.再由(1)得 所以 .故再由（5）得 .令，則，所以 ，故（4）代表了方程（3）的任一整數(shù)解.例2 求方程的所有整數(shù)解.解 做矩陣，對作初等變換得，且，所以原不定方程存在整數(shù)解，并且所有解可以表示為，.5.求整數(shù)的最小公倍數(shù)當(dāng)求整數(shù)和的最小公倍數(shù)時，一般情況下是對做質(zhì)因數(shù)分解，依次求出標(biāo)準(zhǔn)分解式與，為互異正質(zhì)數(shù).那么與的最小公倍數(shù)為，在非常大的時候，我們計(jì)算起來也會相對困難，分解的質(zhì)因數(shù)更加不易.下面列舉一個較為簡單的方式，簡化解題步驟，對矩陣施加初等變換，得到.定理1 8設(shè)，則存在整數(shù)矩陣,其中,使得,且滿足.證明 由初等數(shù)論的結(jié)論可知,使得.令 則 再令 ,則 兩邊取行列式整理得 .容易得出以下結(jié)論，當(dāng)時，定理1 結(jié)論依然成立.由此，每個行列式為的整數(shù)矩陣都能夠表示成一些整數(shù)初等矩陣的乘積.如果要對一個整數(shù)矩陣施加一次相應(yīng)的行初等變換，那么我們就可以在這個整數(shù)矩陣的左邊，去乘上一個相應(yīng)的初等矩陣. 由上面的討論可以得出以下求法： 用構(gòu)造，對進(jìn)行一次行初等變換，在化成階梯形矩陣時，表示最大公因數(shù)，表示最小公倍數(shù).例3 設(shè).求.解 對施行行初等變換所以.6. 求多項(xiàng)式最大公因式，最小公倍式定理29 設(shè)是中的非零多項(xiàng)式,若,則存在可逆的多項(xiàng)式矩陣,使得,這里證明 已知是中的兩個非零多項(xiàng)式,則,使得,令 , 其中 且為的首相系數(shù),則,又因?yàn)?說明矩陣是可逆的. 假定存在一個多項(xiàng)式矩陣可逆，那么這個可逆的矩陣可以用一部分初等多項(xiàng)式矩陣的乘積來表示,對一個多項(xiàng)式矩陣左乘一個初等多項(xiàng)式矩陣,其實(shí)質(zhì)就相當(dāng)于對此多項(xiàng)式矩陣進(jìn)行一次初等變換.因此，根據(jù)定理3可得出多項(xiàng)式的最大公因式與最小公倍式的求法： 由已知的構(gòu)造的多項(xiàng)式矩陣,對實(shí)施初等行變換化為三角矩陣,這里分別是的最大公因式和最小公倍式.例4 9 ,，求最大公因式和最小公倍式.解 令 對此矩陣施加初等行變換，我們可以得到,則和的最大公因式和最小公倍式是：.7. 總結(jié)矩陣論的應(yīng)用十分廣泛,本文主要從幾個小的方面闡述了整數(shù)矩陣的初等變換在初等數(shù)論中的應(yīng)用,通過討論,在求不定方程的解的情況時,求兩個整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，以及求兩個多項(xiàng)式的最大公因式和最小公倍式時.采用對矩陣施加初等變換的方法能夠較容易的得出正確的答案. 參考文獻(xiàn)1 王琳.關(guān)于最大公約數(shù)的一個問題J.數(shù)學(xué)通報(bào)，1992，(3)：33-35.2 柯召，孫琦.數(shù)論講義（上）M.北京：高等教育出版社，1986.45-48.3 熊全淹.初等整數(shù)論M.武漢：湖北教育出版社，1984.78-81.4 潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論M.北京:北京大學(xué)出版社，1992.112-115.5 黎前修.用矩陣初等變換求最大公因數(shù)及組合的方法J.重慶師專學(xué)報(bào)，2001(12).105.6 王鄂芳，石生明.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.188-189.7 陳碧琴.矩陣初等數(shù)論在數(shù)論中的兩個應(yīng)用J.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，24（5）：25-27.8 黎前修.用矩陣初等變換求最大公因數(shù)及組合的方法J.重慶師專學(xué)報(bào)，2001(12).105-107.9 王卿文.關(guān)于多項(xiàng)式最大公因式矩陣求法的補(bǔ)充J.濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)，1993，(1)：64-68.致謝我是喀什大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院的一名學(xué)生，在此我非常感謝我的指導(dǎo)老師，喀什大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院的張四保老師.正是在張四保老師的辛苦指導(dǎo)下，我的論文終