（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ 第4課 函數(shù)的概念及其表示法 文.doc

第4課 函數(shù)的概念及其表示法(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修1p26練習4改編)下列對應中為函數(shù)的有.(填序號)a=b=n*，對任意的xa，f：x|x-2|；a=r，b=y|y0，對任意的xa，f：x；a=b=r，對任意的xa，f：x3x+2；a=(x，y)|x，yr，b=r，對任意的(x，y)a，f：(x，y)x+y.【答案】【解析】對于，當x=2時，集合b中沒有與之對應的元素，故不是函數(shù)；對于，當x=0時，沒有意義，故不是函數(shù)；對于，集合a是點集，不是數(shù)集，故不是函數(shù)；所以只有滿足條件，是函數(shù).2.(必修1p31習題6改編)直線x=1和函數(shù)y=f(x)圖象的交點個數(shù)為.【答案】0或1【解析】若1是函數(shù)定義域中的元素，則根據(jù)函數(shù)的定義可知交點個數(shù)為1，若1不是函數(shù)定義域中的元素，則交點個數(shù)為0.3.(必修1p33習題13改編)若f()=x-1，則f(2)=.【答案】3【解析】令=2，則x=4，所以f(2)=3.4.(必修1p34習題7改編)已知函數(shù)f(x)=若f(x)=2，則x=.【答案】log32【解析】由題意得或解得x=log32.5.(必修1p42練習3改編)已知a，b為實數(shù)，集合m=，n=a，0，f：xx表示把m中的元素x映射到集合n中仍為x，則a+b=.【答案】1【解析】由題意得a=1，b=0，所以a+b=1.1.函數(shù)的概念設a，b是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應法則f，使對于集合a中的每一個元素x，在集合b中都有唯一的元素y和它對應，那么稱f：ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)，記作y=f(x)，xa.其中所有的輸入值x組成的集合a叫作函數(shù)y=f(x)的定義域，將所有的輸出值y組成的集合叫作函數(shù)的值域.2.相同函數(shù)函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域、值域和對應法則.當函數(shù)的定義域及對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法.4.映射的概念一般地，設a，b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：ab為從集合a到集合b的一個映射.【要點導學】要點導學各個擊破函數(shù)的概念例1判斷下列對應是否為函數(shù).(1)xy=x2+2x+1，xr；(2)xy，這里y4=x，xr，yr；(3)a=(x，y)|x，yr，b=r，對任意(x，y)a，(x，y)x+y.【思維引導】判斷標準：根據(jù)給出的定義域和對應法則，看自變量x在其定義域內(nèi)的每一個值是否有確定且唯一的函數(shù)值與之對應.【解答】(1)對于任意一個實數(shù)x，y=x2+2x+1都被x唯一確定，所以當xr時，y=x2+2x+1是函數(shù).(2)考慮輸入值1，即當x=1時，y=1，這時一個輸入值與兩個輸出值對應(不是單值對應)，所以不是函數(shù).(3)由于集合a不是數(shù)集，所以此對應法則一定不是函數(shù).【精要點評】由解析式判斷函數(shù)關系，從三個角度入手：(1)定義域是否為數(shù)集；(2)定義域中每個值是否使解析式都有意義；(3)由解析式算出的數(shù)是否唯一.變式試判斷以下各組中的兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).(1)f(x)=，g(x)=；(2)f(x)=，g(x)=(3)f(x)=，g(x)=；(4)f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1.【思維引導】 對于兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，當且僅當它們的定義域、值域和對應法則都相同時，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù).而我們一般只要先考查定義域，再考慮對應法則即可.【解答】(1)由于f(x)=|x|，g(x)=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).(2)由于函數(shù)f(x)=的定義域為(-，0)(0，+)，而g(x)=的定義域為r，所以它們不是同一函數(shù).(3)由于函數(shù)f(x)=的定義域為x|x0，而g(x)=的定義域為x|x-1或x0，所以它們不是同一函數(shù).(4)兩個函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù).【精要點評】 (1)分析有關函數(shù)定義的問題，一定要與映射相結合，由映射中原象與象的特點解決問題.(2)判斷兩個或幾個函數(shù)是否為同一函數(shù)，主要從定義域、對應法則和值域這三方面進行判斷.有時要對函數(shù)的解析式進行化簡，然后進行分析.求函數(shù)的解析式例2根據(jù)下列條件求各函數(shù)的解析式.(1)已知f =lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)；(3)已知f=x3+，求f(x).【思維引導】 求函數(shù)解析式的方法一般有待定系數(shù)法和換元法.如果已知函數(shù)式的構造模式，可用待定系數(shù)法；如果已知復合函數(shù)f(g(x)的表達式來求f(x)，常用換元法；當已知表達式較為簡單時，甚至可直接用配湊法；對于某些有特殊結構的式子，還會用到對稱結構的方程組法.【解答】(1)(換元法)令+1=t(t1)，則x=，所以f(t)=lg，所以f(x)=lg(x1).(2)(待定系數(shù)法)設f(x)=ax+b(a0)，則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，所以a=2，b=7，所以f(x)=2x+7.(3)(配湊法)因為f=x3+=-3，所以f(x)=x3-3x(x2或x-2).【精要點評】求函數(shù)解析式的常見題型：已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示；已知f(x)求f(g(x)，或已知f(g(x)求f(x)，用換元法、配湊法；若f(x)與f(-x)滿足某個等式，可構造另一個等式，通過解方程組求解；應用題求解析式可用待定系數(shù)法求解.變式1若函數(shù)f(x)=(a0)，f(2)=1，又方程f(x)=x有唯一解，求f(x)的解析式.【解答】由f(2)=1，得=1，即2a+b=2.由f(x)=x，得=x，變形得x=0，解此方程得x=0或x=.又因為方程有唯一解，故=0，解得b=1，代入2a+b=2，得a=.所以f(x)=.【精要點評】待定系數(shù)法的常見設法：如果是一次函數(shù)，可設為y=ax+b(a0)；如果是二次函數(shù)，可設為y=ax2+bx+c(a0)；如果是反比例函數(shù)，可設為y=(k0).變式2若集合m=f(x)|存在實數(shù)t使得函數(shù)f(x)滿足f(t+1)=f(t)+f(1)，則下列函數(shù)(a，b，c，k都是常數(shù))：y=kx+b(k0，b0)；y=ax2+bx+c(a0)；y=ax(0a1)；y=(k0)；y=sin x.其中屬于集合m的函數(shù)是.(填序號)【答案】【解析】對于，由k(t+1)+b=kt+b+k+b，得b=0，矛盾，不符合；對于，由a(t+1)2+b(t+1)+c=at2+bt+c+a+b+c，得t=，符合題意；對于，由at+1=at+a1，所以at=，由于0a1，at=a，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(f(b)=-2，求實數(shù)b的值.【思維引導】解決分段函數(shù)的基本原則是分段進行，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用這一段的解析式來解決.【解答】(1)若a0，則a-1a，所以a-3，不合題意，舍去；若aa，所以a-1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-，-1).(2)由f(f(b)=-2，知f(b)3時，log2(a+1)=3，得a+1=23=8，所以a=7，于是f(a-5)=f(2)=2-1+1=；當a3時，2a-3+1=3，得a=4，不符合條件，所以f(a-5)=.變式2甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2 km，甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達乙家為止經(jīng)過的路程y(單位：km)與時間x(單位：min)的關系.試寫出y=f(x)的函數(shù)解析式.(變式2)【解答】當x0，30時，設y=k1x+b1，由已知得解得k1=，b1=0，所以y=x.當x(30，40)時，y=2.當x40，60時，設y=k2x+b2，由解得k2=，b2=-2，所以y=x-2.所以f(x)=1.對于函數(shù)y=f(x)，下列說法中正確的個數(shù)為.y是x的函數(shù)；對應不同的x的值，y的值也不同；f(a)表示當x=a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量；f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來.【答案】2【解析】當函數(shù)f(x)是一個常數(shù)函數(shù)時，如f(x)=0，不論x取何值，y的值都不變，所以不正確；依照函數(shù)的定義知，只要滿足在條件f之下，對應定義域中的任何一個元素在值域中都有唯一元素與之對應即可，因此，不需要f(x)一定用具體的式子表示出來，所以不正確，從而正確的個數(shù)為2.2.(2014啟東中學)已知f=x2+，那么f(3)=.【答案】11【解析】因為f=x2+=+2，x0，所以f(x)=x2+2，所以f(3)=32+2=11.3.(2015海安中學)設函數(shù)f(x)=則f(3)=.【答案】2【解析】f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.4.(2015浙江卷)已知函數(shù)f(x)=則f(f(-3)=，f(x)的最小值是.【答案】02-3【解析】f(f(-3)=f(1)=0.當x1時，f(x)2-3，當且僅當x=時，等號成立；當x0，cr.當且僅當x=-2時，函數(shù)f(x)取得最小值-2，則函數(shù)f(x)的解析式為 .5.已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是1，2，3，其定義如下表：x123f(x)231x123g(x)132x123g(f(x)填寫后面表格，其三個數(shù)依次為： .6.已知映射f：ab，其中集合a=-2，-1，1，2，3，且對任意的aa，在b中和它對應的元素是a2-1，則集合b中至少有個元素.7.(2015蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=則fff(-2)=.8.設函數(shù)f(x)=f(a)a，則實數(shù)a的取值范圍是.二、 解答題 9.(1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，求函數(shù)f(x)的解析式.(2)已知f(x)+2f=2x+1，求函數(shù)f(x)的解析式.10.(2015如皋中學周練)已知函數(shù)f(x)=若f(f(x)=1成立，求實數(shù)x的取值范圍.11.如圖，用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架.若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x之間的函數(shù)解析式，并指出其定義域.(第11題)三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結果)12.(2015黃岡中學二模)設函數(shù)f(x)=則方程f(x)=的解集為.13.(2015浙江卷)存在函數(shù)f(x)滿足對任意xr都有.(填序號)f(sin 2x)=sin x；f(sin 2x)=x2+x；f(x2+1)=|x+1|；f(x2+2x)=|x+1|.【檢測與評估答案】第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第4課函數(shù)的概念及其表示法1. 【解析】由同一函數(shù)的定義可知，定義域和對應法則相同即可.那么第一組中定義域不同，第二組中對應法則不同，第三組中，定義域不同，只有第四組符合題意.2. f(x)=-x+或f(x)=x+【解析】設f(x)=kx+b，由題意得或解得或3.【解析】由圖象知f(x)=所以f=-1=-，所以f=f=-+1=.4. f(x)=【解析】因為當且僅當x=-2時，函數(shù)f(x)取得最小值-2，所以二次函數(shù)y=x2+bx+c的對稱軸是x=-=-2，且有f(-2)=(-2)2-2b+c=-2，即2b-c=6，解得b=4，c=2.所以f(x)=5. 3，2，16. 3【解析】當a=2時，a2-1=3；當a=1時，a2-1=0；當a=3時，a2-1=8.所以集合b中至少有3個元素.7. 2【解析】因為函數(shù)f(x)=所以f(-2)=2-2=，f=4，f(4)=2，所以fff(-2)=2.8. (-，-1)【解析】當a0時，由