（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第九章 平面解析幾何 9.8 圓錐曲線的綜合問題 課時1 直線與圓錐曲線　 文.doc

課時1直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1(1)過雙曲線c：1的左焦點作傾斜角為的直線l，則直線l與雙曲線c的交點情況是_(填序號).沒有交點；只有一個交點；有兩個交點且都在左支上；有兩個交點分別在左、右兩支上.(2)(2014湖北改編)設(shè)a，b是關(guān)于t的方程t2cos tsin 0的兩個不等實根，則過a(a，a2)，b(b，b2)兩點的直線與雙曲線1的公共點的個數(shù)為_.答案(1)(2)0解析(1)直線l的方程為y(x)，代入c：1，整理得23x28x1600，(8)24231600，所以直線l與雙曲線c有兩個交點，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個交點橫坐標符號不同，故兩個交點分別在左、右支上.(2)關(guān)于t的方程t2cos tsin 0的兩個不等實根為0，tan (tan 0)，則過a，b兩點的直線方程為yxtan ，雙曲線1的漸近線方程為yxtan ，所以直線yxtan 與雙曲線沒有公共點.(3)在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓c1：1(ab0)的左焦點為f1(1,0)，且點p(0,1)在c1上.求橢圓c1的方程；設(shè)直線l同時與橢圓c1和拋物線c2：y24x相切，求直線l的方程.解根據(jù)橢圓的左焦點為f1(1,0)，知a2b21，又根據(jù)點p(0,1)在橢圓上，知b1，所以a，所以橢圓c1的方程為y21.因為直線l與橢圓c1和拋物線c2都相切，所以其斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，代入橢圓方程得(kxm)21，即x22kmxm210，由題意可知此方程有唯一解，此時4k2m24(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入拋物線方程得y2ym0，由題意可知此方程有唯一解，此時1mk0，即mk1.聯(lián)立得解得k2，所以或所以直線l的方程為yx或yx.思維升華研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù).對于填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.已知直線l：y2xm，橢圓c：1.試問當m取何值時，直線l與橢圓c：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點.解將直線l的方程與橢圓c的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當0，即3m3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓c有兩個不重合的公共點.(2)當0，即m3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓c有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓c有且只有一個公共點.(3)當0，即m3時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解.這時直線l與橢圓c沒有公共點.題型二弦長問題例2已知橢圓c：1(ab0)的一個頂點為a(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓c交于不同的兩點m，n.(1)求橢圓c的方程；(2)當amn的面積為時，求k的值.解(1)由題意得解得b，所以橢圓c的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點m，n的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以mn又因為點a(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以amn的面積為smnd，由，解得k1.思維升華有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法：涉及弦長的問題中， 應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.(2015湖南)已知拋物線c1 ：x24y的焦點f也是橢圓c2：1(ab0)的一個焦點.c1 與c2的公共弦的長為2.過點f的直線l與c1相交于a，b兩點，與c2相交于c，d兩點，且與同向.(1)求c2的方程；(2)若acbd，求直線l的斜率.解(1)由c1：x24y知其焦點f的坐標為(0,1).因為f也是橢圓c2的一個焦點，所以a2b21.又c1與c2的公共弦的長為2，c1與c2都關(guān)于y軸對稱，且c1的方程為x24y，由此易知c1與c2的公共點的坐標為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故c2的方程為1.(2)如圖，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4).因與同向，且acbd，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個方程的兩根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個方程的兩根，所以x3x4，x3x4，將代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.題型三中點弦問題例3(1)已知橢圓e：1(ab0)的右焦點為f(3,0)，過點f的直線交e于a，b兩點.若ab的中點坐標為(1，1)，則e的方程為_.(2)已知雙曲線x21上存在兩點m，n關(guān)于直線yxm對稱，且mn的中點在拋物線y218x上，則實數(shù)m的值為_.答案(1)1(2)0或8解析(1)因為直線ab過點f(3,0)和點(1，1)，所以直線ab的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以ab的中點的橫坐標為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.所以e的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn的中點p(x0，y0)，則由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，顯然x1x2.3，即kmn3，m，n關(guān)于直線yxm對稱，kmn1，y03x0.又y0x0m，p，代入拋物線方程得m218，解得m0或8，經(jīng)檢驗都符合.思維升華處理中點弦問題常用的求解方法(1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系求解.設(shè)拋物線過定點a(1,0)，且以直線x1為準線.(1)求拋物線頂點的軌跡c的方程；(2)若直線l與軌跡c交于不同的兩點m，n，且線段mn恰被直線x平分，設(shè)弦mn的垂直平分線的方程為ykxm，試求m的取值范圍.解(1)設(shè)拋物線頂點為p(x，y)，則焦點f(2x1，y).再根據(jù)拋物線的定義得af2，即(2x)2y24，所以軌跡c的方程為x21.(2)設(shè)弦mn的中點為p，m(xm，ym)，n(xn，yn)，則由點m，n為橢圓c上的點，可知兩式相減，得4(xmxn)(xmxn)(ymyn)(ymyn)0，將xmxn21，ymyn2y0，代入上式得k.又點p在弦mn的垂直平分線上，所以y0km.所以my0ky0.由點p(，y0)在線段bb上(b，b為直線x與橢圓的交點，如圖所示)，所以yby0yb，也即y0.所以m2，即0)，如果直線yx與橢圓的一個交點m在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點f，則m的值為_.答案2解析根據(jù)已知條件得c，則點(，)在橢圓1(m0)上，1，可得m2.4.斜率為1的直線l與橢圓y21相交于a，b兩點，則ab的最大值為_.答案解析設(shè)a，b兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.ab|x1x2|，當t0時，abmax.5.過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線相交于a，b兩點，它們到直線x2的距離之和等于5，則這樣的直線有_條.答案0解析拋物線y24x的焦點坐標為(1,0)，準線方程為x1，設(shè)a，b的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a，b到直線x1的距離之和為x1x22.設(shè)直線方程為xmy1，代入拋物線y24x，則y24(my1)，即y24my40，x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.a，b到直線x2的距離之和x1x22265.滿足題意的直線不存在.6.過雙曲線x21的右焦點作直線l交雙曲線于a、b兩點，若使得ab的直線l恰有3條，則_.答案4解析使得ab的直線l恰有3條.根據(jù)對稱性，其中有一條直線與實軸垂直.此時a，b的橫坐標為，代入雙曲線方程，可得y2，故ab4.雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，過雙曲線的焦點一定有兩條直線使得交點之間的距離等于4，綜上可知，ab4時，有3條直線滿足題意.4.7.在拋物線yx2上關(guān)于直線yx3對稱的兩點m，n的坐標分別為_.答案(2,4)，(1,1)解析設(shè)直線mn的方程為yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則x1x21，bb，由在直線yx3上，即b3，解得b2，聯(lián)立得解得8.過橢圓1內(nèi)一點p(3,1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是_.答案3x4y130解析設(shè)直線與橢圓交于a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點，由于a、b兩點均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又p是a、b的中點，x1x26，y1y22，kab.直線ab的方程為y1(x3).即3x4y130.9.如圖，點f1(c，0)，f2(c,0)分別是橢圓c：1(ab0)的左，右焦點，過點f1作x軸的垂線，交橢圓c的上半部分于點p，過點f2作直線pf2的垂線交直線x于點q，連結(jié)pq.(1)如果點q的坐標為(4,4)，求橢圓c的方程；(2)試判斷直線pq與橢圓c的公共點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.解(1)方法一由條件知，p，故直線pf2的斜率為kpf2.因為pf2f2q，所以直線f2q的方程為yx，故q.由題設(shè)知，4,2a4，解得a2，c1.故橢圓c的方程為1.方法二設(shè)直線x與x軸交于點m.由條件知，p.因為pf1f2f2mq，所以，即，解得mq2a.所以解得故橢圓方程為1.(2)點q的坐標為，點p的坐標為，kpq，pq的方程為y2a，即yxa.將pq的方程代入橢圓c的方程，得b2x2a22a2b2，(b2c2)x22a2cxa4a2b20，而a2b2c2，上式可化為a2x22a2cxa2c20，解得xc，直線pq與橢圓c只有一個公共點.10.(2014湖北)在平面直角坐標系xoy中，點m到點f(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點m的軌跡為c.(1)求軌跡c的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點p(2,1)，求直線l與軌跡c恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍.解(1)設(shè)點m(x，y)，依題意得mf|x|1，即|x|1，化簡整理得y22(|x|x).故點m的軌跡c的方程為y2(2)在點m的軌跡c中，記c1：y24x (x0)，c2：y0(x0).依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2).由方程組可得ky24y4(2k1)0.(*1)當k0時，此時y1.把y1代入軌跡c的方程，得x.故此時直線l：y1與軌跡c恰好有一個公共點(，1).當k0時，方程(*1)根的判別式為16(2k2k1).(*2)設(shè)直線l與x軸的交點為(x0,0)，則由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即當k(，1)(，)時，直線l與c1沒有公共點，與c2有一個公共點，故此時直線l與軌跡c恰好有一個公共點.()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即當x1，時，直線l與c1只有一個公共點，與c2有一個公共點.當k，0)時，直線l與c1有兩個公共點，與c2沒有公共點.故當k，0)1，時，直線l與軌跡c恰好有兩個公共點.()若由(*2)(*3)解得1k或0k0，b0)，p為x軸上一動點，經(jīng)過點p的直線y2xm (m0)與雙曲線c有且只有一個交點，則雙曲線c的離心率為_.答案解析由雙曲線的方程可知：漸近線方程為yx.經(jīng)過點p的直線y2xm (m0)與雙曲線c有且只有一個交點，此直線與漸近線yx平行，2.e .13.過拋物線y22px(p0)焦點f的直線l與拋物線交于b，c兩點，l與拋物線準線交于點a，且af6，2，則bc_.答案解析不妨設(shè)直線l的傾斜角為，其中00)經(jīng)過圓f：x2y22x4y40的圓心，則拋物線e的準線與圓f相交所得的弦長為_.答案2解析圓的標準方程為(x1)2(y2)232，圓心為f(1，2).代入拋物線方程可得p2，所以其準線方程為x1.圓心到直線x1的距離d2，所以拋物線e的準線與圓f相交所得的弦長為22.15.橢圓c：1 (ab0)的離心率為，其左焦點到點p(2,1)的距離為.(1)求橢圓c的標準方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓c相交于a，b兩點(a，b不是左，右頂點)，且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點.求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.解(1)左焦點(c,0)到點p(2,1)的距離為，解得c1.又e，解得a2，b2a2c23，所求橢