2016年全國大學生數(shù)學建模大賽一等獎優(yōu)秀論文-系泊系統(tǒng)的設計.docx

系泊系統(tǒng)的設計摘 要本文詳細對系泊系統(tǒng)的各個機構(gòu)進行了力學分析，針對系泊系統(tǒng)的要求，建立優(yōu)化模型，求解系泊系統(tǒng)在多種環(huán)境下的最優(yōu)解，使得浮標游動范圍，吃水程度和鋼桶傾斜角度盡可能的小。針對問題一，本文對系泊系統(tǒng)的受力及力矩進行了分析，基于浮標傾斜的考慮，得到了平衡狀態(tài)下關(guān)于受力平衡及力矩平衡的方程組。由于方程組數(shù)量較多及相互影響的特點，直接求解十分困難。因此我們考慮以浮標兩邊的浸水長度為變量，利用搜索算法對方程組進行求解，并得到相應的結(jié)果。如當風速為12m/s時，鋼桶的傾斜角度1.0405，從上到下鋼管的傾斜角度分別為1.0086、1.0146、1.0206、1.0267，浮標吃水深度0.735m，浮標游動區(qū)域半徑14.4429m。針對問題二，首先將風速為36m/s的情況代入問題一建立的模型中，但是得到的結(jié)果不滿足題目所給定的要求。則考慮在重物球質(zhì)量一定的條件下，以浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角為目標，建立了一個單決策變量的多目標最優(yōu)系泊模型，相比于問題一，此問的變量更多，更加難于求解，故考慮將多目標轉(zhuǎn)化成單目標的問題進行求解，并繼續(xù)使用搜索法對問題進行求解。最后找到了三組可行解，其中最優(yōu)解是重力球的質(zhì)量為2102kg.針對問題三，本文中有三個決策變量以及三個變系數(shù)，相比于前兩問，無論是計算量還是計算維數(shù)，難度更大。為了求解該問，建立了一個多決策變量的多目標變系數(shù)的最優(yōu)系泊系統(tǒng)模型，為了簡便運算，我們建立了變步長的搜索算法，并最終求解得到結(jié)果，得到的一組解為: 選用了III型號的錨鏈，重物球質(zhì)量為2800kg，錨鏈長度為23.4m。針對論文的實際情況，對論文的優(yōu)缺點做了評價，文章最后還給出了其他的改進方向，以用于指導實際應用。關(guān)鍵詞：系泊系統(tǒng)設計；力的平移定理；多目標；優(yōu)化模型；搜索算法1問題的重述一個由浮標系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成的近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點?？梢院喕醋魇且粋€浮于海平面的圓柱體浮標通過四節(jié)鋼管鏈接裝有通訊設備的鋼桶，鋼桶再通過錨鏈鏈接一個可以移動的錨，錨沉在海床上。為了不讓錨被拖行要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過16度，并且要保證通訊設備的工作效果，鋼桶與電焊錨鏈鏈接出可懸掛重物體，使得鋼桶的傾斜角度（鋼桶與豎直線的夾角）不超過5度。需要建立模型討論并解決下列的幾個問題：1. 若海水靜止，在選用II型電焊錨鏈22.05m，重物球的質(zhì)量為1200kg，布放水深為18m，海床平坦，海水密度為1.025103kg/m3的條件下，分別計算海面風速為12m/s和24m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的吃水深度和游動區(qū)域。2. 在問題1的假設下，計算海面風速為36m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域。并調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度。3. 若布放海域的實測水深介于16m-20m之間。布放點的海水速度最大可達到1.5m/s、風速最大可達到36m/s。給出考慮風力、水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設計，分析不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的吃水深度和游動區(qū)域。2模型的假設（1）假設兩鋼管用鉸鏈鏈接在一起，可以自由轉(zhuǎn)動。（2）假設風是沿平行海平面的方向吹來。（3）假設忽略錨鏈和重物球的浮力影響。（4）假設忽略由于其它原因（如溫度，濕度，受力等）而對各個系統(tǒng)產(chǎn)生的形變。（5）假設浮標不會出現(xiàn)因為風力過大而被吹翻的情況。（6）假設各個系統(tǒng)之間連接處的長度忽略不計。3符號說明：浮標所受水平方向的風力大??；：浮標所受浮力大??；：每節(jié)鋼管所受浮力大小；：鋼桶所受浮力大?。唬旱谝还?jié)鋼管對浮標拉力的大小(或浮標對第一節(jié)鋼管拉力的大小)；：第節(jié)鋼管下端所受拉力的大小()；：鋼桶所受錨鏈的拉力大小(或錨鏈上方第一段所受鋼桶的拉力大小)；：錨鏈第段(自上而下)下端所受拉力大小(，其中為張緊狀態(tài)錨鏈的段數(shù))；：錨與海底間的摩擦力；：錨與海底間的最大靜摩擦力；：浮標所受的水流力大??；：第節(jié)鋼管所受水流力大?。ǎ唬轰撏八芩髁Υ笮?；：錨與海底間的最大靜摩擦系數(shù)；：海底對錨的支持力；：浮標的重力；：每節(jié)鋼管的重力；：表示鋼桶的重力；：錨鏈每段鏈環(huán)的重力；：錨的重力；：第一節(jié)鋼管對浮標拉力與水平方向的夾角；：第節(jié)鋼管下端所受拉力與水平方向的夾角()；：鋼桶所受錨鏈的拉力與水平方向的夾角；：錨鏈第段(自上而下)下端所受拉力與水平方向的夾角()；：浮標的水平傾斜角度；：第節(jié)鋼管的水平傾斜角度()；：鋼桶的水平傾斜角度；：圓柱體浮標兩端的浸水長度,其中；：浮標的吃水深度；：水平方向的風速； ：浮標在風向法平面的投影面積；：浮標的排水體積；：水流速度大?。唬焊说馁|(zhì)量；：每節(jié)鋼管的質(zhì)量；：鋼桶系統(tǒng)的質(zhì)量；：重物球的質(zhì)量；：海水密度；：錨鏈的線密度；：法向阻力系數(shù)；：切向阻力系數(shù)；：浮標的底面半徑；：每節(jié)鋼管的底面半徑；：每節(jié)鋼管的長度；：鋼桶的底面半徑；：鋼桶的長度；：錨鏈每段鏈環(huán)的長度； ：海水深度；：錨鏈某點至錨鏈上端頂點的弧長；：浮標浸入水下部分在水流力法平面的投影面積；：第節(jié)鋼管在水流力法平面的投影面積（）；：鋼桶在水流力法平面的投影面積；：錨鏈某點處所受拉力的大??；：錨鏈某點處所受拉力與水平方向的夾角；：平衡狀態(tài)下浮標的水平距離；：平衡狀態(tài)下鋼管的水平距離；：平衡狀態(tài)下鋼桶的水平距離；：平衡狀態(tài)下錨鏈的水平距離；：平衡狀態(tài)下整體的水平距離；：錨鏈豎直方向上的高度；：錨不滑動時，錨鏈在錨點與海床的最大夾角；：單位長度上錨鏈所受的法向水流力大??；：單位長度上錨鏈所受的切向水流力大小；4.模型的建立與求解4.1 問題的分析4.1.1 系統(tǒng)平衡的兩種狀態(tài)張緊狀態(tài)和松弛狀態(tài)及游動區(qū)域的理解本文考慮的在風力及水流力作用下的系泊系統(tǒng)的設計問題，首先我們考慮一種簡單情形，即海水靜止且風向水平情況，此時整個系泊系統(tǒng)可能會因風力移動達到一個平衡的狀態(tài)，由于風向恒定我們可以認為最終的平衡狀態(tài)中浮標、鋼管、鋼桶、錨鏈和錨大致位于同一個平面內(nèi)，如圖1所示。圖1 傳輸節(jié)點示意圖在平衡狀態(tài)下，各系統(tǒng)所受力及力矩分別達到平衡，此時浮標會與錨形成一定的水平距離。此時的平衡狀態(tài)可能分為兩種：一種是張緊狀態(tài)，即錨鏈的每一段都受到了前后端的拉力從而使整個系統(tǒng)平衡；另一種是松弛狀態(tài)，即錨鏈上方的一部分存在拉力，而下方部分散落在水底呈無拉力狀態(tài)達到平衡。在張緊狀態(tài)下達到平衡時，浮標到達某個定點，此時該點與錨得水平距離為半徑以錨和浮標的水平距離為半徑、錨所在位置為圓心做一個圓面，該區(qū)域即浮標的游動區(qū)域， 如圖2所示。 但在松弛狀態(tài)下由于松弛部分錨鏈的可伸縮性，浮標的位置會處于一定的區(qū)域，當松弛部分錨鏈長度最大時浮標位于最遠位置，以此時浮標與錨的水平距離為半徑、錨所在位置為圓心的圓形區(qū)域即其游動區(qū)域。 圖2 浮標游動區(qū)域俯視示意圖4.1.2 浮標的傾斜問題及對吃水深度的理解在對組成各個系統(tǒng)的零件受力分析的過程中，會出現(xiàn)無法將物體看作是均勻的情況，這樣一來，物體的各力的受力點將不再是質(zhì)點，為此應盡可能將受力點移動到質(zhì)心上。這時，根據(jù)力的平移定理，在將各力平移到質(zhì)心上去的過程中會產(chǎn)生力矩，且對于一個平衡的物體其力矩和應為零。在力矩平衡的作用下，我們發(fā)現(xiàn)平衡狀態(tài)下浮標會產(chǎn)生一定的傾斜角度。假設在浮標的底面與海平面平行，即沒有傾角時，其受力分析如圖3所示。圖3 浮標垂直海平面的受力分析圖由圖可知除浮力外，風力和鋼管拉力都會產(chǎn)生非零力矩，且方向相同，導致力矩和不為零，從而會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，不會達到平衡狀態(tài)，我們認為在平衡狀態(tài)下，浮標底面相對海平面存在一個傾斜角度。吃水深度為浮標底部到海面的距離。由于浮標傾斜，導致浮標各點侵入海水的長度不同，如圖4所示。假設浮標兩邊侵入水中的長度分別為，其中，則吃水深度即兩邊浸水長度的平均值。 圖4 傾斜浮標的浸水示意圖4.2 問題1模型的建立根據(jù)對問題的分析發(fā)現(xiàn)，問題旨在討論在不同情形達到平衡狀態(tài)下，分析各鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的方程，通過已知的信息，求得系統(tǒng)各部分所受拉力大小及其角度情況和各部分本身的傾斜角度。4.2.1 浮標的力平衡方程通過浮標的受力分析可得，浮標受到豎直向上的浮力，水平向右的風力，重力以及鋼管對其的拉力，其受力分析圖如圖5所示：圖5 浮標的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理，可得浮標的力平衡方程如下：在水平方向上，有 （1）其中，為鋼管對浮標拉力與水平方向的夾角，為水平風力的大小，有如下的近似公式（為物體在風法平面的投影面積） （2）在豎直方向上，有 （3）其中，有 （4）而 （5）在這兒，為浮標質(zhì)量，分別表示浮標兩邊的浸水長度(見圖4)，為浮標的底面半徑， 為浮標的排水體積，為海水密度，為重力加速度。4.2.2 浮標在風向法平面的投影面積公式在計算風力時，需用到浮標在風向法平面的投影面積，由于浮標傾斜，該投影區(qū)域并非一標準的矩形，而是由兩個部分構(gòu)成，其中的下方部分為矩形，而上方部分為傾斜圓在水平面上投影的一半，即半橢圓的一半，最終得到浮標在風向法平面的投影面積如圖6所示。 圖6 浮標在風向法平面的投影面積示意圖 通過平面幾何關(guān)系可得，第一部分矩形的面積滿足： （6）第二部分半橢圓的面積滿足： （7）其中，為浮標的底面半徑，分別表示浮標兩邊的浸水長度，表示浮標的長度。4.2.3 鋼管的平衡方程 通過分析可得，每節(jié)鋼管的受力分析圖如圖7所示。 圖7 第節(jié)鋼管的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程：水平方向力平衡方程 （8）豎直方向力平衡方程 （9）力矩平衡方程 （10）在這兒，為每節(jié)鋼管所受浮力大小，滿足 （11）而為第節(jié)鋼管下端所受拉力大小，為每節(jié)鋼管的質(zhì)量，為重力加速度，是第節(jié)鋼管與水平方向的夾角（鋼管的傾斜角度），是拉力與水平方向的夾角，為鋼管的底面半徑，為鋼管的長度。4.2.4 鋼桶系統(tǒng)的平衡方程 鋼桶的受力分析如圖8所示。圖8 鋼桶的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程：水平方向力平衡方程 （12）豎直方向力平衡方程 （13）力矩平衡方程 （14）在這兒，為鋼桶系統(tǒng)的浮力，有 （15）而表示鋼管對鋼桶拉力的大小，表示鋼管對鋼桶拉力與水平方向的夾角，表示鋼桶受下方錨鏈拉力的大小，表示與水平方向的夾角，表示鋼桶的質(zhì)量，表示重物球的質(zhì)量，表示鋼桶的底面半徑，表示鋼桶的長度。 4.2.5 錨鏈系統(tǒng)的平衡方程由于錨鏈無檔普通鏈環(huán)，我們可以將其看作無彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈視作柔性的。因此可用微元法的思想分析其受力平衡狀態(tài)?？紤]錨鏈其中自上而下一小段弧長(到)上的受力情況，如圖9所示。圖9 錨鏈微元的受力分析圖圖中表示取的任意一段小弧長，表示上段錨鏈對所取小弧長的拉力，而表示下段錨鏈對小弧長的拉力；是拉力與水平方向的夾角；是拉力與水平方向的夾角。根據(jù)這一弧長微元上的受力平衡，可得出以下方程：水平方向上，有 （16） 豎直方向上，有 （17）其中表示單位長度錨鏈的質(zhì)量。 將其展開可得 （18）由泰勒公式可知，當角度變化很小時，忽略高階無窮小的影響，故近似等于，近似等于1，從而可得如下的近似方程： （19）忽略高階無窮小項，（其中都為無窮小，故它們的乘積為高階的無窮?。ι鲜交喛傻萌缦乱浑A非線性微分方程組： （20）且有初值條件4.2.6 錨的平衡方程及平衡狀態(tài)條件錨的受力直接關(guān)系著最終是否達到平衡狀態(tài)，其受力分析如圖10所示：圖10 錨的受力分析圖水平方向上，有 （21）在豎直方向上，有 （22）由于判斷整個系統(tǒng)平衡的關(guān)鍵即對錨的水平拉力是否超過錨與海底之間的最大靜摩擦力，即得到平衡狀態(tài)的判斷條件為 （23）又由海水深度為18，可知 （24）其中，表示海水深度；表示浮標底面軸心到海平面的距離，分別表示浮標兩邊浸入水中的長度，浮標的傾斜角度，表示4個鋼管在水中的高度和，表示每節(jié)鋼管的長度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度；表示鋼桶的長度，表示鋼桶的傾斜角度，表示錨鏈豎直方向的高度。4.2.7 游動區(qū)域的分析經(jīng)過分析和求解可以知道在平衡狀態(tài)下的各個系統(tǒng)水平距離分別為：浮標的水平距離 （25）鋼管的水平距離 （26）鋼桶的水平距離 （27）錨鏈的水平距離 （28）則整體的水平距離(游動半徑)為 （29）4.3 問題一模型的求解4.3.1 模型的求解思路通過對系泊系統(tǒng)各部分進行單獨受力分析和力矩分析，得到了系統(tǒng)各處拉力大小及其傾角等未知量在平衡狀態(tài)下的關(guān)系，由于方程數(shù)量較多，且相互影響，使得直接計算非常復雜。因此我們首先考慮各方程之間的關(guān)系，得到未知量滿足一定規(guī)律的遞推公式，對問題進行系列簡化，然后再采用搜索算法進行求解。 4.3.2 方程的簡化及遞推公式的推導4.3.2.1 錨鏈系統(tǒng)微分方程的轉(zhuǎn)化由于錨鏈是無檔普通鏈環(huán)，實際中是環(huán)環(huán)相扣的離散系統(tǒng)，為了計算方便，我們首先考慮對錨鏈系統(tǒng)對應的一階非線性微分方程組(20式)進行轉(zhuǎn)換3，由與水平方向及豎直方向上的位移之間的關(guān)系 （30）可得鏈環(huán)連接處的受力大小及角度的遞推公式 （31） 其中，表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼桶帶來拉力的大小，表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼桶帶來拉力與水平方向的角度，由于其與鏈環(huán)對鋼桶拉力互為反作用力，有；表示鏈環(huán)第段(自上而下)下端所受拉力大小，表示鏈環(huán)第段下端所受拉力與水平方向的夾角，為鏈環(huán)的段數(shù)。 4.3.2.2 水平力平衡公式的推導及簡化整個系泊系統(tǒng)的每個部分均在兩個水平力的作用下平衡，有 （32）其中風力由浮標兩邊的入水深度決定。 4.3.2.3 豎直方向力平衡公式的推導及簡化由豎直方向上受力平衡可得到如下遞推公式 其中浮標的浮力也由浮標兩邊的入水深度決定。4.3.2.4 系統(tǒng)各段所受拉力大小及其角度的計算公式將各拉力豎直方向分力與水平分力相比，可得相應角度正切值的計算公式如 從而可得平衡狀態(tài)下依賴于的各段拉力角度及大小的計算公式。4.3.2.5各個部件在豎直方向的高度的計算（1）找出浮標的豎直方向高度，這里記為()。如圖所示：圖11. 浮標的豎直方向高度示意圖圖中，。在直角和直角中，因為（同位角相等），所以這兩個三角形另外兩個角相等，即： （35）所以 （36）即: （37）其中，表示浮標的半徑,為1。（2）鋼管的豎直方向高度，這里記為。根據(jù)浮標的平衡方程、水平方向的方程（）和豎直方向的方程（）相除得： （38）即可以求出，這樣再帶入浮標水平方向平衡方程則可求出。再把和的值帶入鋼管的平衡方程，我們可以求出鋼管的拉力及其傾斜角度和鋼管的傾斜角，又可以根據(jù)鋼管的幾何關(guān)系（如圖6所示）： （39）其中表示四根鋼管的總高度，表示第節(jié)鋼管的高度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度。（3）鋼桶的豎直方向高度，這里記為。把上個環(huán)節(jié)的計算出來的結(jié)果帶入鋼桶系統(tǒng)的平衡方程，同樣也可以計算出鋼桶傾斜角度，錨鏈對鋼桶的拉力及其方向（與軸的夾角）。則可以得出鋼桶高度的公式： （40）其中為鋼桶的長度，它是一個常數(shù)，大小為。（4）鋼桶的豎直方向高度，這里記為。根據(jù)已求得的鋼桶對錨鏈的拉力及其方向，把這對初始值帶入錨鏈平衡微分方程，可解出函數(shù)關(guān)系。就可以表示出錨鏈的高度： （41）其中，表示錨鏈一微段的長度，表示那一微段的傾斜角度。故整個系泊系統(tǒng)總高度為 （42）4.3.2.6 吃水深度和的值范圍的確定 根據(jù)題目可知浮標的高度為2，則有：，為較長的一條高。 只有當浮標在海水中時，浮標的重力與浮標的浮力二力平衡，即： （43）可以計算出此時。那么可以進一步確定范圍：， （44）4.3.3 算法步驟 （1）給定一組浮標吃水深度值，（得到），可以依次計算得到，； （2）判斷如果同時滿足，（取較小值，比如0.1）和兩個條件，則輸出結(jié)果，并停止計算；如果不滿足，則取步長有并轉(zhuǎn)到步驟（1）。4.3.4 計算結(jié)果及分析（1）當風速為12時，得到的結(jié)果如下表所示：表1.風速為12時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)0.68m0.79m17.9042m3.48381.0405144鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標的吃水深度1.00861.01461.02061.026714.4429m0.735m得到錨鏈的形狀如圖12所示：圖12. 風速為12時錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個數(shù)為144個，小于鏈的總個數(shù)，說明達到平衡時錨鏈并未完全繃緊。（2）當風速為24時，得到的結(jié)果如下表所示：表2. 風速為24時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)0.71m0.79m17.9117m11.78553.9299185鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標的吃水深度3.8143.83563.85753.879717.2252m0.75m得到錨鏈的形狀如圖13所示： 圖13. 風速為24時錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個數(shù)為185個，小于鏈的總個數(shù)，說明達到平衡時錨鏈并未完全繃緊。4.4問題2的模型分析與建立4.4.1 風速為36時系泊狀態(tài)及其分析當風速達到36時，若不考慮角度的限制，可通過問題一的遞推式及搜索算法求得如下結(jié)果：表3. 風速為36時的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無檔鏈環(huán)個數(shù)0.759m0.7810m17.7796m17.77968.1268210鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動區(qū)域半徑浮標的吃水深度7.89997.94247.98538.028718.3712m0.77m得到錨鏈的形狀如圖14所示：圖14.風速為36時錨鏈的形狀此時，錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角為17.7796度，超過了16度，鋼桶的傾斜角度(鋼桶與豎直線的夾角)為8.1268度，超過5度，已經(jīng)不能夠達到平衡狀態(tài)，因此需考慮調(diào)節(jié)重物球質(zhì)量，使其重新達到平衡狀態(tài)。4.4.2 基于重物球質(zhì)量的定常系統(tǒng)最優(yōu)系泊模型當風速達到36時，系泊系統(tǒng)已經(jīng)不再滿足角度的要求，從而不再處于平衡狀態(tài)，因此我們考慮調(diào)整重物球質(zhì)量。在此我們假設海水靜止，考慮水平風速、水深、錨鏈型號、長度等均為定常數(shù)，基于重物球質(zhì)量的選擇，建立了單決策變量的多目標最優(yōu)系泊模型。4.4.2.1目標函數(shù)（一）浮標的吃水深度盡可能小： （45）其中吃水深度，即浮標兩邊浸水長度的平均值； （二）游動區(qū)域盡可能小，即游動半徑盡可能最?。?（46）其中游動半徑(見29式)；（三）鋼桶的傾斜角度盡可能??； （47）其中表示鋼桶與水平面的夾角。4.4.2.2 約束條件(一)海水的深度約束，即平衡狀態(tài)下整個系泊系統(tǒng)的豎直高度之和應等于水深，有 （48）其中表示浮標底面軸心到海平面的距離，分別表示浮標兩邊浸入水中的長度，浮標的傾斜角度，表示4個鋼管在水中的高度和，表示每節(jié)鋼管的長度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度；表示鋼桶的長度，表示鋼桶的傾斜角度，表示錨鏈豎直方向的高度。（二）錨鏈底端拉力的夾角約束，即錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度，有 （49）由問題1可知，滿足如下微分方程組 （50）其中表示錨鏈在錨點與海床的夾角，表示使得錨不滑動時，錨鏈在錨點與海床的最大夾角。（三）平衡約束條件，即達到系統(tǒng)各部分力和力矩平衡的各等式約束條件，包括式？綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標最優(yōu)系泊模型如下 （51） （52）4.5問題2 的模型求解4.5.1多目標的轉(zhuǎn)換對于問題2，這是一個多目標的優(yōu)化問題，不能夠直接進行求解，需要把多目標轉(zhuǎn)化為單目標進行求解。具體方法為：先計算單目標 （53） （54）得到傾角的最優(yōu)值 ，再將作為約束條件加入到優(yōu)化問題里面，這樣問題轉(zhuǎn)化為雙目標優(yōu)化問題。 （55） (56) 再考慮吃水深度的優(yōu)化，利用類似的方法得到其最優(yōu)值作為約束條件，即： (57) (58)4.5.2 可行解的范圍 因為該問所給的風速變大，在初始的條件下不能再得到可行解了。所以這里除了給定、的值，還需要給定重物球的質(zhì)量。在問題一種重力球質(zhì)量為1200已經(jīng)不能滿足題目要求，所以重物球的重力應該滿足：。為了找到重物球重力的上限，首先假設只有重物球的重力作用，且浮標完全淹沒在水中。此時，對浮標進行受力分析，得到的受力分析圖如圖15所示： 圖15.浮標的受力分析圖根據(jù)受力分析，當浮標處于平衡狀態(tài)時有： (59)其中，；由于浮標完全被淹沒，所以有：則：此時，。因此設定重物球重力的取值范圍是。當重物球重力的值接近上限值時，浮標接近被完全淹沒，此時浮標受風吹的面積小，即風力小，整個系統(tǒng)在水平方向只受風力和錨上的摩擦力的作用，且這兩個力是一對平衡力，當風力較小時，系統(tǒng)將不會在水平方向上移動，當浮標完全沉沒時，系統(tǒng)將完全不在水平方向移動，這時鋼桶傾斜角度達到最小為0度，錨鏈處于松弛狀態(tài)，且此時為平衡狀態(tài)。4.5.3問題2 的具體算法步驟 求解的基本思路同問題一是類似的，還是采用搜索算法。但是由于變量個數(shù)增加了一個，搜索的范圍和計算量將大大增加，如果還采用問題一的定步長搜索的話，計算時間和結(jié)果可能難以保證。故采用變步長搜索算法，具體步驟為：（1）在搜索參數(shù)的有效范圍內(nèi)，給定一個較大的步長（比如），與問題一的求解方法一樣，得到對應的 ；（2）判斷如果同時滿足條件，（取較小值，比如0.1）和，則輸出結(jié)果并結(jié)束計算；如果不滿足，則記下最接近判斷條件的一組；（3）以為新的初始點，選定一個較小的步長（比如），按照上述方法再次計算，如果滿足判斷條件則停止；否則可以類似方法繼續(xù)縮小步長，總可以找到可行解。4.5.4問題2 的計算結(jié)果根據(jù)上述的求解思路和方法，編寫程序進行搜索求解，限定搜索的時間，得到以下結(jié)果：第一種結(jié)果：表4.問題2的第一種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1968kg1m1m17.9081m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑13.76334.3475207/21018.2717m 在得到以上結(jié)果的情況下，將參數(shù)代入可以得到錨鏈的形狀為：圖16.第一種求解結(jié)果下錨鏈的形狀其他結(jié)果：表5.問題2的第二種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1969kg1m1m17.9038m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑12.71074.3475210/21018.3094m表6.問題2的第三種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度2102kg1.04m1.04m17.9047m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動區(qū)域半徑12.03273.9415210/21018.1739m問題2的第二、第三種求解結(jié)果滿足題目的要求，說明對于第二問的解題思路和方法是正確且可行的，如果按照此種方法就能找到最優(yōu)的解，但由于算法的數(shù)據(jù)處理量過于龐大以及時間的限制，這里就不一一進行求解了。4.6 問題3的模型建立與求解4.6.1最優(yōu)系泊問題問題一和問題二的模型都是在水深、風速恒定、水流靜止的特殊情況下建立的，而對于此問，題目給定水深、風速、水流的范圍，考慮實際系泊系統(tǒng)中水流速度的影響，在水速、風速、水深不定的情況下，基于錨鏈型號、長度及重物球質(zhì)量的選擇，建立了多決策變量的多目標最優(yōu)系泊模型。所以決策目標和第二題相同，考慮基于錨鏈型號、長度及重物球質(zhì)量的變系數(shù)，那么模型的限制條件因不同情況而不同，下面以當水平風速和水流力同向的情況分析。4.6.2問題3當水平風速和水流力同向的情況4.6.2.1浮標的力平衡方程根據(jù)理論力學的相關(guān)知識，對平衡時的浮標進行受力分析，得到浮標的受力分析圖如圖17所示：圖17.浮標的受力分析圖浮標受到豎直向上的浮力；水平向右的風力；浮標所受水流力；豎直向下的浮標重力； 浮標受下方鋼管的拉力。其中 表示浮標的傾斜角度，表示拉力與軸方向的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理，軸與軸方向上受力達到平衡，可得出浮標的平衡方程：水平方向： (60)其中，有近海風載荷的近似公式：（為物體在風法平面的投影面積） (61) (62)近海水流力的近似公式：（為物體在水流法平面的投影面積） 由問題一中浮標在風向法平面投影面積的分析可知，投影面積可分為矩形和橢圓兩部分，可得： (63)豎直方向： (64)其中，有， (65) (66) (67)其中，、分別表示浮標左、右邊進入水中桶壁的長度4.6.2.2鋼管的平衡方程 對第節(jié)鋼管對其進行分析，得到受力分析圖如圖18所示：圖18. 第節(jié)鋼管的受力分析圖為第節(jié)鋼管的在水中的浮力；為第節(jié)鋼管受到上方物體的拉力；：為第節(jié)鋼管受到下方物體的拉力；鋼管所受水流力；為第節(jié)鋼管的重力；是第節(jié)鋼管與軸的夾角（鋼管的傾斜角度）；是拉力與軸的夾角；是拉力與軸的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平移定理，與方向上受力平衡且力矩和為零，可得出鋼管的平衡方程：力平衡：(水平方向) (68)其中，有 (69) (70)力平衡：(豎直方向) (71)其中，有， (72)力矩平衡： (73)4.6.2.3 鋼桶系統(tǒng)的平衡方程 對于通信系統(tǒng)的鋼桶，得到受力分析如圖19所示：圖19.鋼桶的受力分析圖表示上面第4節(jié)鋼管對鋼桶的拉力；表示拉力與軸的夾角；表示鋼桶受下方錨鏈的拉力；鋼管所受水流力；表示力與軸的夾角；表示重球?qū)︿撏暗闹亓?；表示鋼桶的自身所受的重力；表示鋼桶在水中所受的浮力；為鋼桶的傾斜角度（鋼桶與軸的夾角）。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平移定理，與方向上受力平衡且力矩和為零，可得出浮標的平衡方程：力平衡：(水平方向) (74)其中，有 (75) (76)力平衡：(豎直方向) (77)其中，有， (78)力矩平衡： (79)4.6.2.4錨鏈系統(tǒng)的平衡分析假設錨鏈是無彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈簡化看作是柔軟的，利于模型的簡化。再考慮其中一小段弧長(到)上的受力情況，在有水流力的情況下，如圖20所示：圖20.錨鏈的受力分析圖圖中表示取的任意一段小弧長，表示下段錨鏈對所取小弧長的拉力，而表示上段錨鏈對小弧長的拉力；是拉力與水平方向的夾角；是拉力與水平方向的夾角。根據(jù)這一微段的平衡，可得出以下力系平衡方程：水平方向上，有 (80) 豎直方向上，有 (81)其中表示單位長度錨鏈的質(zhì)量,和分別為單位長度上錨鏈所受的法向和切向水流力。對上式化簡可得如下一階非線性微分方程組： (82)通過查找資料4，和按下列公式來計算： (83) (84)其中，和分別為法向和切向阻力系數(shù)，為水的密度，為水流速度綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標變系數(shù)最優(yōu)系泊模型如下 (85) (86)4.6.3模型求解在水流速度為1.5，風速為36這種情況下，相比問題二多了兩個決策變量：錨鏈的型號及其長度，增加了三個變系數(shù)：水流速度、風速、水深。所以求解這個模型依然通過給定重物球重力，錨鏈長度，錨鏈型號， 和 。用問題二同樣的思路去搜索解，最后搜索到結(jié)果為：表7.問題三的第一組解錨鏈型號III重物球的質(zhì)量水流速h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角2800kg1.5m/s1.31.316.0057m5.2846.4744鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)錨鏈長度游動區(qū)域半徑6.11846.1726.18746.2029195/19523.4m21.1156m表8.問題三的第二組解錨鏈型號IV重物球的質(zhì)量水流速h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角2960kg1.5m/s1.4m1.4m18.7723m0.03315.887鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)錨鏈長度游動區(qū)域半徑5.57035.61785.63065.6434131/16825.2m26.5694m得到的錨鏈形狀如圖所示：圖21.第一組求解結(jié)果下錨鏈的形狀圖22.第二組求解結(jié)果下錨鏈的形狀5模型的推廣與改進方向本文建立了單一決策變量的多目標以及多決策變量的多目標優(yōu)化模型，推導出系泊系統(tǒng)各個部分的平衡方程，巧妙的運用搜索算法，搜索算法極大的減少了運算量，提高了運算效率。根據(jù)建立的模型可以求解并設計一個最優(yōu)的系泊系統(tǒng)。本文求解模型的方法可以推廣應用到各種參數(shù)較多，方程數(shù)較多的方程組求解。以及本文建立的模型可以很好的運用于各種鏈狀的物體受力分析的研究上去。但本文對更多優(yōu)解的研究還不夠深入，可以繼續(xù)求解更有結(jié)進行研究。 6模型的優(yōu)缺點通過對系泊系統(tǒng)各個部分嚴謹?shù)氖芰Ψ治?，得出了比較完美的受力平衡關(guān)系式，進而建立了比較完善的模型，思路嚴晰，結(jié)構(gòu)嚴謹。只是由于運算量太大，沒有找到更好的求解方法。如果時間足夠充裕還可以對模型的求解進行更加深入的研究。7.參考文獻1 姜啟源. 數(shù)學模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，1999.2 韓中庚. 數(shù)學建模方法及其應用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2009.3 孫寧松，海上移動式平臺錨泊定位系統(tǒng)錨索鏈受力分析J. 中國海洋平臺，2008,23(2)4 赫春玲，滕斌，不均勻可拉伸單錨鏈系統(tǒng)的靜力分析J. 中國海洋平臺，2003,18（4）5 滕斌，赫春玲，韓凌，Chebyshev多項式在錨鏈分析中的應用J. 中國工程科學，2005,7（1）8附錄1、第一問和第二問程序%20160911%系泊系統(tǒng)的第一問和第二問%搜索方法clearclcclose allg=9.8;%重力加速度v=36;%風速rou=1025;%海水密度ma=1000;da=2;ha=2;%浮標lb=1;mb=10;db=0.05;%鋼管mc=100;lc=1;dc=0.3;%鋼桶ball=1200;%重物球ld=0.105;md=7;Ld=22.05;nd=Ld/ld;md=md*ld*g;%鏈環(huán)me=600;%錨Ffb=rou*g*pi*db2/4*lb;%鋼管的浮力mb=mb*g;%鋼管的重力t=1;for ball=1200%1200:2:3000for h1=0.759%0.9:0.01:1.1%0.3:0.05:1%0.31:0.01:1.5%0.68:0.0005:0.72 for h2=0.781%h1:0.01:1.5%0.75:0.0005:0.79 L=h1; R=0; %-浮標- S1=da*(ha-(h1+h2)/2)*da/sqrt(h2-h1)2+da2); S2=pi*da2/8*(h2-h1)/da; S=S1+S2;%風載荷 Fw=0.625*S*v2;%風力 V=pi*da2/8*(h1+h2);%吃水體積 Ffa=rou*g*V;%浮標的浮力 Ta1=Ffa-ma*g;%豎直方向 Ta2=Fw;%水平方向 Ta=sqrt(Ta12+Ta22);%浮標的總拉力 thetaa=atand(Ta1/Ta2); %浮標拉力的角度 alphaa=atand(h2-h1)/da);%浮標的傾斜角 %-浮標- %-鋼管- for k=1:4 Tb2(k)=Ta2;%水平方向 if k=1 Tb1(k)=Ta1+Ffb-mb;%豎直方向 else Tb1(k)=Tb1(k-1)+Ffb-mb;%豎直方向 end thetab(k)=atand(Tb1(k)/Tb2(k);%拉力角度 Tb(k)=sqrt(Tb1(k)2+Tb2(k)2);%拉力大小 if k=1%鋼管的傾斜角 alphab(k)=atand(Ta*sind(thetaa)+Tb(k)*sind(thetab(k). /(Tb(k)*cosd(thetab(k)+Ta*cosd(thetaa); else alphab(k)=atand(Tb(k-1)*sind(thetab(k-1)+Tb(k)*sind(thetab(k). /(Tb(k)*cosd(thetab(k)+Tb(k-1)*cosd(thetab(k-1); end if k=1 xb(k)=ld*cosd(alphaa);%鋼管k的x長度 else xb(k)=ld*cosd(alpha