2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽一等獎(jiǎng)優(yōu)秀論文-系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì).docx

系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)摘 要本文詳細(xì)對(duì)系泊系統(tǒng)的各個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了力學(xué)分析，針對(duì)系泊系統(tǒng)的要求，建立優(yōu)化模型，求解系泊系統(tǒng)在多種環(huán)境下的最優(yōu)解，使得浮標(biāo)游動(dòng)范圍，吃水程度和鋼桶傾斜角度盡可能的小。針對(duì)問(wèn)題一，本文對(duì)系泊系統(tǒng)的受力及力矩進(jìn)行了分析，基于浮標(biāo)傾斜的考慮，得到了平衡狀態(tài)下關(guān)于受力平衡及力矩平衡的方程組。由于方程組數(shù)量較多及相互影響的特點(diǎn)，直接求解十分困難。因此我們考慮以浮標(biāo)兩邊的浸水長(zhǎng)度為變量，利用搜索算法對(duì)方程組進(jìn)行求解，并得到相應(yīng)的結(jié)果。如當(dāng)風(fēng)速為12m/s時(shí)，鋼桶的傾斜角度1.0405，從上到下鋼管的傾斜角度分別為1.0086、1.0146、1.0206、1.0267，浮標(biāo)吃水深度0.735m，浮標(biāo)游動(dòng)區(qū)域半徑14.4429m。針對(duì)問(wèn)題二，首先將風(fēng)速為36m/s的情況代入問(wèn)題一建立的模型中，但是得到的結(jié)果不滿足題目所給定的要求。則考慮在重物球質(zhì)量一定的條件下，以浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角為目標(biāo)，建立了一個(gè)單決策變量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型，相比于問(wèn)題一，此問(wèn)的變量更多，更加難于求解，故考慮將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)的問(wèn)題進(jìn)行求解，并繼續(xù)使用搜索法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。最后找到了三組可行解，其中最優(yōu)解是重力球的質(zhì)量為2102kg.針對(duì)問(wèn)題三，本文中有三個(gè)決策變量以及三個(gè)變系數(shù)，相比于前兩問(wèn)，無(wú)論是計(jì)算量還是計(jì)算維數(shù)，難度更大。為了求解該問(wèn)，建立了一個(gè)多決策變量的多目標(biāo)變系數(shù)的最優(yōu)系泊系統(tǒng)模型，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，我們建立了變步長(zhǎng)的搜索算法，并最終求解得到結(jié)果，得到的一組解為: 選用了III型號(hào)的錨鏈，重物球質(zhì)量為2800kg，錨鏈長(zhǎng)度為23.4m。針對(duì)論文的實(shí)際情況，對(duì)論文的優(yōu)缺點(diǎn)做了評(píng)價(jià)，文章最后還給出了其他的改進(jìn)方向，以用于指導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)；力的平移定理；多目標(biāo)；優(yōu)化模型；搜索算法1問(wèn)題的重述一個(gè)由浮標(biāo)系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成的近淺海觀測(cè)網(wǎng)的傳輸節(jié)點(diǎn)。可以簡(jiǎn)化看作是一個(gè)浮于海平面的圓柱體浮標(biāo)通過(guò)四節(jié)鋼管鏈接裝有通訊設(shè)備的鋼桶，鋼桶再通過(guò)錨鏈鏈接一個(gè)可以移動(dòng)的錨，錨沉在海床上。為了不讓錨被拖行要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過(guò)16度，并且要保證通訊設(shè)備的工作效果，鋼桶與電焊錨鏈鏈接出可懸掛重物體，使得鋼桶的傾斜角度（鋼桶與豎直線的夾角）不超過(guò)5度。需要建立模型討論并解決下列的幾個(gè)問(wèn)題：1. 若海水靜止，在選用II型電焊錨鏈22.05m，重物球的質(zhì)量為1200kg，布放水深為18m，海床平坦，海水密度為1.025103kg/m3的條件下，分別計(jì)算海面風(fēng)速為12m/s和24m/s時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域。2. 在問(wèn)題1的假設(shè)下，計(jì)算海面風(fēng)速為36m/s時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域。并調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過(guò)5度，錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過(guò)16度。3. 若布放海域的實(shí)測(cè)水深介于16m-20m之間。布放點(diǎn)的海水速度最大可達(dá)到1.5m/s、風(fēng)速最大可達(dá)到36m/s。給出考慮風(fēng)力、水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)，分析不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域。2模型的假設(shè)（1）假設(shè)兩鋼管用鉸鏈鏈接在一起，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）假設(shè)風(fēng)是沿平行海平面的方向吹來(lái)。（3）假設(shè)忽略錨鏈和重物球的浮力影響。（4）假設(shè)忽略由于其它原因（如溫度，濕度，受力等）而對(duì)各個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生的形變。（5）假設(shè)浮標(biāo)不會(huì)出現(xiàn)因?yàn)轱L(fēng)力過(guò)大而被吹翻的情況。（6）假設(shè)各個(gè)系統(tǒng)之間連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì)。3符號(hào)說(shuō)明：浮標(biāo)所受水平方向的風(fēng)力大?。唬焊?biāo)所受浮力大??；：每節(jié)鋼管所受浮力大?。唬轰撏八芨×Υ笮。唬旱谝还?jié)鋼管對(duì)浮標(biāo)拉力的大小(或浮標(biāo)對(duì)第一節(jié)鋼管拉力的大小)；：第節(jié)鋼管下端所受拉力的大小()；：鋼桶所受錨鏈的拉力大小(或錨鏈上方第一段所受鋼桶的拉力大小)；：錨鏈第段(自上而下)下端所受拉力大小(，其中為張緊狀態(tài)錨鏈的段數(shù))；：錨與海底間的摩擦力；：錨與海底間的最大靜摩擦力；：浮標(biāo)所受的水流力大??；：第節(jié)鋼管所受水流力大?。ǎ?；：鋼桶所受水流力大??；：錨與海底間的最大靜摩擦系數(shù)；：海底對(duì)錨的支持力；：浮標(biāo)的重力；：每節(jié)鋼管的重力；：表示鋼桶的重力；：錨鏈每段鏈環(huán)的重力；：錨的重力；：第一節(jié)鋼管對(duì)浮標(biāo)拉力與水平方向的夾角；：第節(jié)鋼管下端所受拉力與水平方向的夾角()；：鋼桶所受錨鏈的拉力與水平方向的夾角；：錨鏈第段(自上而下)下端所受拉力與水平方向的夾角()；：浮標(biāo)的水平傾斜角度；：第節(jié)鋼管的水平傾斜角度()；：鋼桶的水平傾斜角度；：圓柱體浮標(biāo)兩端的浸水長(zhǎng)度,其中；：浮標(biāo)的吃水深度；：水平方向的風(fēng)速； ：浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積；：浮標(biāo)的排水體積；：水流速度大??；：浮標(biāo)的質(zhì)量；：每節(jié)鋼管的質(zhì)量；：鋼桶系統(tǒng)的質(zhì)量；：重物球的質(zhì)量；：海水密度；：錨鏈的線密度；：法向阻力系數(shù)；：切向阻力系數(shù)；：浮標(biāo)的底面半徑；：每節(jié)鋼管的底面半徑；：每節(jié)鋼管的長(zhǎng)度；：鋼桶的底面半徑；：鋼桶的長(zhǎng)度；：錨鏈每段鏈環(huán)的長(zhǎng)度； ：海水深度；：錨鏈某點(diǎn)至錨鏈上端頂點(diǎn)的弧長(zhǎng)；：浮標(biāo)浸入水下部分在水流力法平面的投影面積；：第節(jié)鋼管在水流力法平面的投影面積（）；：鋼桶在水流力法平面的投影面積；：錨鏈某點(diǎn)處所受拉力的大??；：錨鏈某點(diǎn)處所受拉力與水平方向的夾角；：平衡狀態(tài)下浮標(biāo)的水平距離；：平衡狀態(tài)下鋼管的水平距離；：平衡狀態(tài)下鋼桶的水平距離；：平衡狀態(tài)下錨鏈的水平距離；：平衡狀態(tài)下整體的水平距離；：錨鏈豎直方向上的高度；：錨不滑動(dòng)時(shí)，錨鏈在錨點(diǎn)與海床的最大夾角；：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上錨鏈所受的法向水流力大??；：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上錨鏈所受的切向水流力大小；4.模型的建立與求解4.1 問(wèn)題的分析4.1.1 系統(tǒng)平衡的兩種狀態(tài)張緊狀態(tài)和松弛狀態(tài)及游動(dòng)區(qū)域的理解本文考慮的在風(fēng)力及水流力作用下的系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，首先我們考慮一種簡(jiǎn)單情形，即海水靜止且風(fēng)向水平情況，此時(shí)整個(gè)系泊系統(tǒng)可能會(huì)因風(fēng)力移動(dòng)達(dá)到一個(gè)平衡的狀態(tài)，由于風(fēng)向恒定我們可以認(rèn)為最終的平衡狀態(tài)中浮標(biāo)、鋼管、鋼桶、錨鏈和錨大致位于同一個(gè)平面內(nèi)，如圖1所示。圖1 傳輸節(jié)點(diǎn)示意圖在平衡狀態(tài)下，各系統(tǒng)所受力及力矩分別達(dá)到平衡，此時(shí)浮標(biāo)會(huì)與錨形成一定的水平距離。此時(shí)的平衡狀態(tài)可能分為兩種：一種是張緊狀態(tài)，即錨鏈的每一段都受到了前后端的拉力從而使整個(gè)系統(tǒng)平衡；另一種是松弛狀態(tài)，即錨鏈上方的一部分存在拉力，而下方部分散落在水底呈無(wú)拉力狀態(tài)達(dá)到平衡。在張緊狀態(tài)下達(dá)到平衡時(shí)，浮標(biāo)到達(dá)某個(gè)定點(diǎn)，此時(shí)該點(diǎn)與錨得水平距離為半徑以錨和浮標(biāo)的水平距離為半徑、錨所在位置為圓心做一個(gè)圓面，該區(qū)域即浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域， 如圖2所示。 但在松弛狀態(tài)下由于松弛部分錨鏈的可伸縮性，浮標(biāo)的位置會(huì)處于一定的區(qū)域，當(dāng)松弛部分錨鏈長(zhǎng)度最大時(shí)浮標(biāo)位于最遠(yuǎn)位置，以此時(shí)浮標(biāo)與錨的水平距離為半徑、錨所在位置為圓心的圓形區(qū)域即其游動(dòng)區(qū)域。 圖2 浮標(biāo)游動(dòng)區(qū)域俯視示意圖4.1.2 浮標(biāo)的傾斜問(wèn)題及對(duì)吃水深度的理解在對(duì)組成各個(gè)系統(tǒng)的零件受力分析的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)無(wú)法將物體看作是均勻的情況，這樣一來(lái)，物體的各力的受力點(diǎn)將不再是質(zhì)點(diǎn)，為此應(yīng)盡可能將受力點(diǎn)移動(dòng)到質(zhì)心上。這時(shí)，根據(jù)力的平移定理，在將各力平移到質(zhì)心上去的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生力矩，且對(duì)于一個(gè)平衡的物體其力矩和應(yīng)為零。在力矩平衡的作用下，我們發(fā)現(xiàn)平衡狀態(tài)下浮標(biāo)會(huì)產(chǎn)生一定的傾斜角度。假設(shè)在浮標(biāo)的底面與海平面平行，即沒(méi)有傾角時(shí)，其受力分析如圖3所示。圖3 浮標(biāo)垂直海平面的受力分析圖由圖可知除浮力外，風(fēng)力和鋼管拉力都會(huì)產(chǎn)生非零力矩，且方向相同，導(dǎo)致力矩和不為零，從而會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，不會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，我們認(rèn)為在平衡狀態(tài)下，浮標(biāo)底面相對(duì)海平面存在一個(gè)傾斜角度。吃水深度為浮標(biāo)底部到海面的距離。由于浮標(biāo)傾斜，導(dǎo)致浮標(biāo)各點(diǎn)侵入海水的長(zhǎng)度不同，如圖4所示。假設(shè)浮標(biāo)兩邊侵入水中的長(zhǎng)度分別為，其中，則吃水深度即兩邊浸水長(zhǎng)度的平均值。 圖4 傾斜浮標(biāo)的浸水示意圖4.2 問(wèn)題1模型的建立根據(jù)對(duì)問(wèn)題的分析發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題旨在討論在不同情形達(dá)到平衡狀態(tài)下，分析各鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的方程，通過(guò)已知的信息，求得系統(tǒng)各部分所受拉力大小及其角度情況和各部分本身的傾斜角度。4.2.1 浮標(biāo)的力平衡方程通過(guò)浮標(biāo)的受力分析可得，浮標(biāo)受到豎直向上的浮力，水平向右的風(fēng)力，重力以及鋼管對(duì)其的拉力，其受力分析圖如圖5所示：圖5 浮標(biāo)的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理，可得浮標(biāo)的力平衡方程如下：在水平方向上，有 （1）其中，為鋼管對(duì)浮標(biāo)拉力與水平方向的夾角，為水平風(fēng)力的大小，有如下的近似公式（為物體在風(fēng)法平面的投影面積） （2）在豎直方向上，有 （3）其中，有 （4）而 （5）在這兒，為浮標(biāo)質(zhì)量，分別表示浮標(biāo)兩邊的浸水長(zhǎng)度(見(jiàn)圖4)，為浮標(biāo)的底面半徑， 為浮標(biāo)的排水體積，為海水密度，為重力加速度。4.2.2 浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積公式在計(jì)算風(fēng)力時(shí)，需用到浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積，由于浮標(biāo)傾斜，該投影區(qū)域并非一標(biāo)準(zhǔn)的矩形，而是由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中的下方部分為矩形，而上方部分為傾斜圓在水平面上投影的一半，即半橢圓的一半，最終得到浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積如圖6所示。 圖6 浮標(biāo)在風(fēng)向法平面的投影面積示意圖 通過(guò)平面幾何關(guān)系可得，第一部分矩形的面積滿足： （6）第二部分半橢圓的面積滿足： （7）其中，為浮標(biāo)的底面半徑，分別表示浮標(biāo)兩邊的浸水長(zhǎng)度，表示浮標(biāo)的長(zhǎng)度。4.2.3 鋼管的平衡方程 通過(guò)分析可得，每節(jié)鋼管的受力分析圖如圖7所示。 圖7 第節(jié)鋼管的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程：水平方向力平衡方程 （8）豎直方向力平衡方程 （9）力矩平衡方程 （10）在這兒，為每節(jié)鋼管所受浮力大小，滿足 （11）而為第節(jié)鋼管下端所受拉力大小，為每節(jié)鋼管的質(zhì)量，為重力加速度，是第節(jié)鋼管與水平方向的夾角（鋼管的傾斜角度），是拉力與水平方向的夾角，為鋼管的底面半徑，為鋼管的長(zhǎng)度。4.2.4 鋼桶系統(tǒng)的平衡方程 鋼桶的受力分析如圖8所示。圖8 鋼桶的受力分析圖根據(jù)平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程：水平方向力平衡方程 （12）豎直方向力平衡方程 （13）力矩平衡方程 （14）在這兒，為鋼桶系統(tǒng)的浮力，有 （15）而表示鋼管對(duì)鋼桶拉力的大小，表示鋼管對(duì)鋼桶拉力與水平方向的夾角，表示鋼桶受下方錨鏈拉力的大小，表示與水平方向的夾角，表示鋼桶的質(zhì)量，表示重物球的質(zhì)量，表示鋼桶的底面半徑，表示鋼桶的長(zhǎng)度。 4.2.5 錨鏈系統(tǒng)的平衡方程由于錨鏈無(wú)檔普通鏈環(huán)，我們可以將其看作無(wú)彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈視作柔性的。因此可用微元法的思想分析其受力平衡狀態(tài)?？紤]錨鏈其中自上而下一小段弧長(zhǎng)(到)上的受力情況，如圖9所示。圖9 錨鏈微元的受力分析圖圖中表示取的任意一段小弧長(zhǎng)，表示上段錨鏈對(duì)所取小弧長(zhǎng)的拉力，而表示下段錨鏈對(duì)小弧長(zhǎng)的拉力；是拉力與水平方向的夾角；是拉力與水平方向的夾角。根據(jù)這一弧長(zhǎng)微元上的受力平衡，可得出以下方程：水平方向上，有 （16） 豎直方向上，有 （17）其中表示單位長(zhǎng)度錨鏈的質(zhì)量。 將其展開(kāi)可得 （18）由泰勒公式可知，當(dāng)角度變化很小時(shí)，忽略高階無(wú)窮小的影響，故近似等于，近似等于1，從而可得如下的近似方程： （19）忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，（其中都為無(wú)窮小，故它們的乘積為高階的無(wú)窮?。?duì)上式化簡(jiǎn)可得如下一階非線性微分方程組： （20）且有初值條件4.2.6 錨的平衡方程及平衡狀態(tài)條件錨的受力直接關(guān)系著最終是否達(dá)到平衡狀態(tài)，其受力分析如圖10所示：圖10 錨的受力分析圖水平方向上，有 （21）在豎直方向上，有 （22）由于判斷整個(gè)系統(tǒng)平衡的關(guān)鍵即對(duì)錨的水平拉力是否超過(guò)錨與海底之間的最大靜摩擦力，即得到平衡狀態(tài)的判斷條件為 （23）又由海水深度為18，可知 （24）其中，表示海水深度；表示浮標(biāo)底面軸心到海平面的距離，分別表示浮標(biāo)兩邊浸入水中的長(zhǎng)度，浮標(biāo)的傾斜角度，表示4個(gè)鋼管在水中的高度和，表示每節(jié)鋼管的長(zhǎng)度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度；表示鋼桶的長(zhǎng)度，表示鋼桶的傾斜角度，表示錨鏈豎直方向的高度。4.2.7 游動(dòng)區(qū)域的分析經(jīng)過(guò)分析和求解可以知道在平衡狀態(tài)下的各個(gè)系統(tǒng)水平距離分別為：浮標(biāo)的水平距離 （25）鋼管的水平距離 （26）鋼桶的水平距離 （27）錨鏈的水平距離 （28）則整體的水平距離(游動(dòng)半徑)為 （29）4.3 問(wèn)題一模型的求解4.3.1 模型的求解思路通過(guò)對(duì)系泊系統(tǒng)各部分進(jìn)行單獨(dú)受力分析和力矩分析，得到了系統(tǒng)各處拉力大小及其傾角等未知量在平衡狀態(tài)下的關(guān)系，由于方程數(shù)量較多，且相互影響，使得直接計(jì)算非常復(fù)雜。因此我們首先考慮各方程之間的關(guān)系，得到未知量滿足一定規(guī)律的遞推公式，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行系列簡(jiǎn)化，然后再采用搜索算法進(jìn)行求解。 4.3.2 方程的簡(jiǎn)化及遞推公式的推導(dǎo)4.3.2.1 錨鏈系統(tǒng)微分方程的轉(zhuǎn)化由于錨鏈?zhǔn)菬o(wú)檔普通鏈環(huán)，實(shí)際中是環(huán)環(huán)相扣的離散系統(tǒng)，為了計(jì)算方便，我們首先考慮對(duì)錨鏈系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的一階非線性微分方程組(20式)進(jìn)行轉(zhuǎn)換3，由與水平方向及豎直方向上的位移之間的關(guān)系 （30）可得鏈環(huán)連接處的受力大小及角度的遞推公式 （31） 其中，表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼桶帶來(lái)拉力的大小，表示鏈環(huán)上方第一段所受鋼桶帶來(lái)拉力與水平方向的角度，由于其與鏈環(huán)對(duì)鋼桶拉力互為反作用力，有；表示鏈環(huán)第段(自上而下)下端所受拉力大小，表示鏈環(huán)第段下端所受拉力與水平方向的夾角，為鏈環(huán)的段數(shù)。 4.3.2.2 水平力平衡公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)化整個(gè)系泊系統(tǒng)的每個(gè)部分均在兩個(gè)水平力的作用下平衡，有 （32）其中風(fēng)力由浮標(biāo)兩邊的入水深度決定。 4.3.2.3 豎直方向力平衡公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)化由豎直方向上受力平衡可得到如下遞推公式 其中浮標(biāo)的浮力也由浮標(biāo)兩邊的入水深度決定。4.3.2.4 系統(tǒng)各段所受拉力大小及其角度的計(jì)算公式將各拉力豎直方向分力與水平分力相比，可得相應(yīng)角度正切值的計(jì)算公式如 從而可得平衡狀態(tài)下依賴于的各段拉力角度及大小的計(jì)算公式。4.3.2.5各個(gè)部件在豎直方向的高度的計(jì)算（1）找出浮標(biāo)的豎直方向高度，這里記為()。如圖所示：圖11. 浮標(biāo)的豎直方向高度示意圖圖中，。在直角和直角中，因?yàn)椋ㄍ唤窍嗟龋?，所以這兩個(gè)三角形另外兩個(gè)角相等，即： （35）所以 （36）即: （37）其中，表示浮標(biāo)的半徑,為1。（2）鋼管的豎直方向高度，這里記為。根據(jù)浮標(biāo)的平衡方程、水平方向的方程（）和豎直方向的方程（）相除得： （38）即可以求出，這樣再帶入浮標(biāo)水平方向平衡方程則可求出。再把和的值帶入鋼管的平衡方程，我們可以求出鋼管的拉力及其傾斜角度和鋼管的傾斜角，又可以根據(jù)鋼管的幾何關(guān)系（如圖6所示）： （39）其中表示四根鋼管的總高度，表示第節(jié)鋼管的高度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度。（3）鋼桶的豎直方向高度，這里記為。把上個(gè)環(huán)節(jié)的計(jì)算出來(lái)的結(jié)果帶入鋼桶系統(tǒng)的平衡方程，同樣也可以計(jì)算出鋼桶傾斜角度，錨鏈對(duì)鋼桶的拉力及其方向（與軸的夾角）。則可以得出鋼桶高度的公式： （40）其中為鋼桶的長(zhǎng)度，它是一個(gè)常數(shù)，大小為。（4）鋼桶的豎直方向高度，這里記為。根據(jù)已求得的鋼桶對(duì)錨鏈的拉力及其方向，把這對(duì)初始值帶入錨鏈平衡微分方程，可解出函數(shù)關(guān)系。就可以表示出錨鏈的高度： （41）其中，表示錨鏈一微段的長(zhǎng)度，表示那一微段的傾斜角度。故整個(gè)系泊系統(tǒng)總高度為 （42）4.3.2.6 吃水深度和的值范圍的確定 根據(jù)題目可知浮標(biāo)的高度為2，則有：，為較長(zhǎng)的一條高。 只有當(dāng)浮標(biāo)在海水中時(shí)，浮標(biāo)的重力與浮標(biāo)的浮力二力平衡，即： （43）可以計(jì)算出此時(shí)。那么可以進(jìn)一步確定范圍：， （44）4.3.3 算法步驟 （1）給定一組浮標(biāo)吃水深度值，（得到），可以依次計(jì)算得到，； （2）判斷如果同時(shí)滿足，（取較小值，比如0.1）和兩個(gè)條件，則輸出結(jié)果，并停止計(jì)算；如果不滿足，則取步長(zhǎng)有并轉(zhuǎn)到步驟（1）。4.3.4 計(jì)算結(jié)果及分析（1）當(dāng)風(fēng)速為12時(shí)，得到的結(jié)果如下表所示：表1.風(fēng)速為12時(shí)的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無(wú)檔鏈環(huán)個(gè)數(shù)0.68m0.79m17.9042m3.48381.0405144鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動(dòng)區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度1.00861.01461.02061.026714.4429m0.735m得到錨鏈的形狀如圖12所示：圖12. 風(fēng)速為12時(shí)錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個(gè)數(shù)為144個(gè)，小于鏈的總個(gè)數(shù)，說(shuō)明達(dá)到平衡時(shí)錨鏈并未完全繃緊。（2）當(dāng)風(fēng)速為24時(shí)，得到的結(jié)果如下表所示：表2. 風(fēng)速為24時(shí)的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無(wú)檔鏈環(huán)個(gè)數(shù)0.71m0.79m17.9117m11.78553.9299185鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動(dòng)區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度3.8143.83563.85753.879717.2252m0.75m得到錨鏈的形狀如圖13所示： 圖13. 風(fēng)速為24時(shí)錨鏈的形狀以上求解得到的結(jié)果滿足題目的要求，且所用的鏈環(huán)個(gè)數(shù)為185個(gè)，小于鏈的總個(gè)數(shù)，說(shuō)明達(dá)到平衡時(shí)錨鏈并未完全繃緊。4.4問(wèn)題2的模型分析與建立4.4.1 風(fēng)速為36時(shí)系泊狀態(tài)及其分析當(dāng)風(fēng)速達(dá)到36時(shí)，若不考慮角度的限制，可通過(guò)問(wèn)題一的遞推式及搜索算法求得如下結(jié)果：表3. 風(fēng)速為36時(shí)的求解結(jié)果h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用無(wú)檔鏈環(huán)個(gè)數(shù)0.759m0.7810m17.7796m17.77968.1268210鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角游動(dòng)區(qū)域半徑浮標(biāo)的吃水深度7.89997.94247.98538.028718.3712m0.77m得到錨鏈的形狀如圖14所示：圖14.風(fēng)速為36時(shí)錨鏈的形狀此時(shí)，錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角為17.7796度，超過(guò)了16度，鋼桶的傾斜角度(鋼桶與豎直線的夾角)為8.1268度，超過(guò)5度，已經(jīng)不能夠達(dá)到平衡狀態(tài)，因此需考慮調(diào)節(jié)重物球質(zhì)量，使其重新達(dá)到平衡狀態(tài)。4.4.2 基于重物球質(zhì)量的定常系統(tǒng)最優(yōu)系泊模型當(dāng)風(fēng)速達(dá)到36時(shí)，系泊系統(tǒng)已經(jīng)不再滿足角度的要求，從而不再處于平衡狀態(tài)，因此我們考慮調(diào)整重物球質(zhì)量。在此我們假設(shè)海水靜止，考慮水平風(fēng)速、水深、錨鏈型號(hào)、長(zhǎng)度等均為定常數(shù)，基于重物球質(zhì)量的選擇，建立了單決策變量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型。4.4.2.1目標(biāo)函數(shù)（一）浮標(biāo)的吃水深度盡可能小： （45）其中吃水深度，即浮標(biāo)兩邊浸水長(zhǎng)度的平均值； （二）游動(dòng)區(qū)域盡可能小，即游動(dòng)半徑盡可能最?。?（46）其中游動(dòng)半徑(見(jiàn)29式)；（三）鋼桶的傾斜角度盡可能??； （47）其中表示鋼桶與水平面的夾角。4.4.2.2 約束條件(一)海水的深度約束，即平衡狀態(tài)下整個(gè)系泊系統(tǒng)的豎直高度之和應(yīng)等于水深，有 （48）其中表示浮標(biāo)底面軸心到海平面的距離，分別表示浮標(biāo)兩邊浸入水中的長(zhǎng)度，浮標(biāo)的傾斜角度，表示4個(gè)鋼管在水中的高度和，表示每節(jié)鋼管的長(zhǎng)度，表示第節(jié)鋼管的傾斜角度；表示鋼桶的長(zhǎng)度，表示鋼桶的傾斜角度，表示錨鏈豎直方向的高度。（二）錨鏈底端拉力的夾角約束，即錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過(guò)16度，有 （49）由問(wèn)題1可知，滿足如下微分方程組 （50）其中表示錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角，表示使得錨不滑動(dòng)時(shí)，錨鏈在錨點(diǎn)與海床的最大夾角。（三）平衡約束條件，即達(dá)到系統(tǒng)各部分力和力矩平衡的各等式約束條件，包括式？綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型如下 （51） （52）4.5問(wèn)題2 的模型求解4.5.1多目標(biāo)的轉(zhuǎn)換對(duì)于問(wèn)題2，這是一個(gè)多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，不能夠直接進(jìn)行求解，需要把多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)進(jìn)行求解。具體方法為：先計(jì)算單目標(biāo) （53） （54）得到傾角的最優(yōu)值 ，再將作為約束條件加入到優(yōu)化問(wèn)題里面，這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。 （55） (56) 再考慮吃水深度的優(yōu)化，利用類似的方法得到其最優(yōu)值作為約束條件，即： (57) (58)4.5.2 可行解的范圍 因?yàn)樵搯?wèn)所給的風(fēng)速變大，在初始的條件下不能再得到可行解了。所以這里除了給定、的值，還需要給定重物球的質(zhì)量。在問(wèn)題一種重力球質(zhì)量為1200已經(jīng)不能滿足題目要求，所以重物球的重力應(yīng)該滿足：。為了找到重物球重力的上限，首先假設(shè)只有重物球的重力作用，且浮標(biāo)完全淹沒(méi)在水中。此時(shí)，對(duì)浮標(biāo)進(jìn)行受力分析，得到的受力分析圖如圖15所示： 圖15.浮標(biāo)的受力分析圖根據(jù)受力分析，當(dāng)浮標(biāo)處于平衡狀態(tài)時(shí)有： (59)其中，；由于浮標(biāo)完全被淹沒(méi)，所以有：則：此時(shí)，。因此設(shè)定重物球重力的取值范圍是。當(dāng)重物球重力的值接近上限值時(shí)，浮標(biāo)接近被完全淹沒(méi)，此時(shí)浮標(biāo)受風(fēng)吹的面積小，即風(fēng)力小，整個(gè)系統(tǒng)在水平方向只受風(fēng)力和錨上的摩擦力的作用，且這兩個(gè)力是一對(duì)平衡力，當(dāng)風(fēng)力較小時(shí)，系統(tǒng)將不會(huì)在水平方向上移動(dòng)，當(dāng)浮標(biāo)完全沉沒(méi)時(shí)，系統(tǒng)將完全不在水平方向移動(dòng)，這時(shí)鋼桶傾斜角度達(dá)到最小為0度，錨鏈處于松弛狀態(tài)，且此時(shí)為平衡狀態(tài)。4.5.3問(wèn)題2 的具體算法步驟 求解的基本思路同問(wèn)題一是類似的，還是采用搜索算法。但是由于變量個(gè)數(shù)增加了一個(gè)，搜索的范圍和計(jì)算量將大大增加，如果還采用問(wèn)題一的定步長(zhǎng)搜索的話，計(jì)算時(shí)間和結(jié)果可能難以保證。故采用變步長(zhǎng)搜索算法，具體步驟為：（1）在搜索參數(shù)的有效范圍內(nèi)，給定一個(gè)較大的步長(zhǎng)（比如），與問(wèn)題一的求解方法一樣，得到對(duì)應(yīng)的 ；（2）判斷如果同時(shí)滿足條件，（取較小值，比如0.1）和，則輸出結(jié)果并結(jié)束計(jì)算；如果不滿足，則記下最接近判斷條件的一組；（3）以為新的初始點(diǎn)，選定一個(gè)較小的步長(zhǎng)（比如），按照上述方法再次計(jì)算，如果滿足判斷條件則停止；否則可以類似方法繼續(xù)縮小步長(zhǎng)，總可以找到可行解。4.5.4問(wèn)題2 的計(jì)算結(jié)果根據(jù)上述的求解思路和方法，編寫(xiě)程序進(jìn)行搜索求解，限定搜索的時(shí)間，得到以下結(jié)果：第一種結(jié)果：表4.問(wèn)題2的第一種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1968kg1m1m17.9081m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動(dòng)區(qū)域半徑13.76334.3475207/21018.2717m 在得到以上結(jié)果的情況下，將參數(shù)代入可以得到錨鏈的形狀為：圖16.第一種求解結(jié)果下錨鏈的形狀其他結(jié)果：表5.問(wèn)題2的第二種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度1969kg1m1m17.9038m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動(dòng)區(qū)域半徑12.71074.3475210/21018.3094m表6.問(wèn)題2的第三種求解結(jié)果重物球的質(zhì)量h1h2海水深度2102kg1.04m1.04m17.9047m錨鏈水平傾角鋼桶的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)游動(dòng)區(qū)域半徑12.03273.9415210/21018.1739m問(wèn)題2的第二、第三種求解結(jié)果滿足題目的要求，說(shuō)明對(duì)于第二問(wèn)的解題思路和方法是正確且可行的，如果按照此種方法就能找到最優(yōu)的解，但由于算法的數(shù)據(jù)處理量過(guò)于龐大以及時(shí)間的限制，這里就不一一進(jìn)行求解了。4.6 問(wèn)題3的模型建立與求解4.6.1最優(yōu)系泊問(wèn)題問(wèn)題一和問(wèn)題二的模型都是在水深、風(fēng)速恒定、水流靜止的特殊情況下建立的，而對(duì)于此問(wèn)，題目給定水深、風(fēng)速、水流的范圍，考慮實(shí)際系泊系統(tǒng)中水流速度的影響，在水速、風(fēng)速、水深不定的情況下，基于錨鏈型號(hào)、長(zhǎng)度及重物球質(zhì)量的選擇，建立了多決策變量的多目標(biāo)最優(yōu)系泊模型。所以決策目標(biāo)和第二題相同，考慮基于錨鏈型號(hào)、長(zhǎng)度及重物球質(zhì)量的變系數(shù)，那么模型的限制條件因不同情況而不同，下面以當(dāng)水平風(fēng)速和水流力同向的情況分析。4.6.2問(wèn)題3當(dāng)水平風(fēng)速和水流力同向的情況4.6.2.1浮標(biāo)的力平衡方程根據(jù)理論力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)平衡時(shí)的浮標(biāo)進(jìn)行受力分析，得到浮標(biāo)的受力分析圖如圖17所示：圖17.浮標(biāo)的受力分析圖浮標(biāo)受到豎直向上的浮力；水平向右的風(fēng)力；浮標(biāo)所受水流力；豎直向下的浮標(biāo)重力； 浮標(biāo)受下方鋼管的拉力。其中 表示浮標(biāo)的傾斜角度，表示拉力與軸方向的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理，軸與軸方向上受力達(dá)到平衡，可得出浮標(biāo)的平衡方程：水平方向： (60)其中，有近海風(fēng)載荷的近似公式：（為物體在風(fēng)法平面的投影面積） (61) (62)近海水流力的近似公式：（為物體在水流法平面的投影面積） 由問(wèn)題一中浮標(biāo)在風(fēng)向法平面投影面積的分析可知，投影面積可分為矩形和橢圓兩部分，可得： (63)豎直方向： (64)其中，有， (65) (66) (67)其中，、分別表示浮標(biāo)左、右邊進(jìn)入水中桶壁的長(zhǎng)度4.6.2.2鋼管的平衡方程 對(duì)第節(jié)鋼管對(duì)其進(jìn)行分析，得到受力分析圖如圖18所示：圖18. 第節(jié)鋼管的受力分析圖為第節(jié)鋼管的在水中的浮力；為第節(jié)鋼管受到上方物體的拉力；：為第節(jié)鋼管受到下方物體的拉力；鋼管所受水流力；為第節(jié)鋼管的重力；是第節(jié)鋼管與軸的夾角（鋼管的傾斜角度）；是拉力與軸的夾角；是拉力與軸的夾角。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平移定理，與方向上受力平衡且力矩和為零，可得出鋼管的平衡方程：力平衡：(水平方向) (68)其中，有 (69) (70)力平衡：(豎直方向) (71)其中，有， (72)力矩平衡： (73)4.6.2.3 鋼桶系統(tǒng)的平衡方程 對(duì)于通信系統(tǒng)的鋼桶，得到受力分析如圖19所示：圖19.鋼桶的受力分析圖表示上面第4節(jié)鋼管對(duì)鋼桶的拉力；表示拉力與軸的夾角；表示鋼桶受下方錨鏈的拉力；鋼管所受水流力；表示力與軸的夾角；表示重球?qū)︿撏暗闹亓Γ槐硎句撏暗淖陨硭艿闹亓?；表示鋼桶在水中所受的浮力；為鋼桶的傾斜角度（鋼桶與軸的夾角）。根據(jù)平面力系平衡原理和力的平移定理，與方向上受力平衡且力矩和為零，可得出浮標(biāo)的平衡方程：力平衡：(水平方向) (74)其中，有 (75) (76)力平衡：(豎直方向) (77)其中，有， (78)力矩平衡： (79)4.6.2.4錨鏈系統(tǒng)的平衡分析假設(shè)錨鏈?zhǔn)菬o(wú)彈性懸垂線，這樣可以將錨鏈簡(jiǎn)化看作是柔軟的，利于模型的簡(jiǎn)化。再考慮其中一小段弧長(zhǎng)(到)上的受力情況，在有水流力的情況下，如圖20所示：圖20.錨鏈的受力分析圖圖中表示取的任意一段小弧長(zhǎng)，表示下段錨鏈對(duì)所取小弧長(zhǎng)的拉力，而表示上段錨鏈對(duì)小弧長(zhǎng)的拉力；是拉力與水平方向的夾角；是拉力與水平方向的夾角。根據(jù)這一微段的平衡，可得出以下力系平衡方程：水平方向上，有 (80) 豎直方向上，有 (81)其中表示單位長(zhǎng)度錨鏈的質(zhì)量,和分別為單位長(zhǎng)度上錨鏈所受的法向和切向水流力。對(duì)上式化簡(jiǎn)可得如下一階非線性微分方程組： (82)通過(guò)查找資料4，和按下列公式來(lái)計(jì)算： (83) (84)其中，和分別為法向和切向阻力系數(shù)，為水的密度，為水流速度綜上：我們建立了基于重物球質(zhì)量的多目標(biāo)變系數(shù)最優(yōu)系泊模型如下 (85) (86)4.6.3模型求解在水流速度為1.5，風(fēng)速為36這種情況下，相比問(wèn)題二多了兩個(gè)決策變量：錨鏈的型號(hào)及其長(zhǎng)度，增加了三個(gè)變系數(shù)：水流速度、風(fēng)速、水深。所以求解這個(gè)模型依然通過(guò)給定重物球重力，錨鏈長(zhǎng)度，錨鏈型號(hào)， 和 。用問(wèn)題二同樣的思路去搜索解，最后搜索到結(jié)果為：表7.問(wèn)題三的第一組解錨鏈型號(hào)III重物球的質(zhì)量水流速h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角2800kg1.5m/s1.31.316.0057m5.2846.4744鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)錨鏈長(zhǎng)度游動(dòng)區(qū)域半徑6.11846.1726.18746.2029195/19523.4m21.1156m表8.問(wèn)題三的第二組解錨鏈型號(hào)IV重物球的質(zhì)量水流速h1h2海水深度錨鏈水平傾角鋼桶的傾角2960kg1.5m/s1.4m1.4m18.7723m0.03315.887鋼管1的傾角鋼管2的傾角鋼管3的傾角鋼管4的傾角所用鏈環(huán)數(shù)/總鏈環(huán)數(shù)錨鏈長(zhǎng)度游動(dòng)區(qū)域半徑5.57035.61785.63065.6434131/16825.2m26.5694m得到的錨鏈形狀如圖所示：圖21.第一組求解結(jié)果下錨鏈的形狀圖22.第二組求解結(jié)果下錨鏈的形狀5模型的推廣與改進(jìn)方向本文建立了單一決策變量的多目標(biāo)以及多決策變量的多目標(biāo)優(yōu)化模型，推導(dǎo)出系泊系統(tǒng)各個(gè)部分的平衡方程，巧妙的運(yùn)用搜索算法，搜索算法極大的減少了運(yùn)算量，提高了運(yùn)算效率。根據(jù)建立的模型可以求解并設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)的系泊系統(tǒng)。本文求解模型的方法可以推廣應(yīng)用到各種參數(shù)較多，方程數(shù)較多的方程組求解。以及本文建立的模型可以很好的運(yùn)用于各種鏈狀的物體受力分析的研究上去。但本文對(duì)更多優(yōu)解的研究還不夠深入，可以繼續(xù)求解更有結(jié)進(jìn)行研究。 6模型的優(yōu)缺點(diǎn)通過(guò)對(duì)系泊系統(tǒng)各個(gè)部分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖芰Ψ治觯贸隽吮容^完美的受力平衡關(guān)系式，進(jìn)而建立了比較完善的模型，思路嚴(yán)晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)。只是由于運(yùn)算量太大，沒(méi)有找到更好的求解方法。如果時(shí)間足夠充裕還可以對(duì)模型的求解進(jìn)行更加深入的研究。7.參考文獻(xiàn)1 姜啟源. 數(shù)學(xué)模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，1999.2 韓中庚. 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2009.3 孫寧松，海上移動(dòng)式平臺(tái)錨泊定位系統(tǒng)錨索鏈?zhǔn)芰Ψ治鯦. 中國(guó)海洋平臺(tái)，2008,23(2)4 赫春玲，滕斌，不均勻可拉伸單錨鏈系統(tǒng)的靜力分析J. 中國(guó)海洋平臺(tái)，2003,18（4）5 滕斌，赫春玲，韓凌，Chebyshev多項(xiàng)式在錨鏈分析中的應(yīng)用J. 中國(guó)工程科學(xué)，2005,7（1）8附錄1、第一問(wèn)和第二問(wèn)程序%20160911%系泊系統(tǒng)的第一問(wèn)和第二問(wèn)%搜索方法clearclcclose allg=9.8;%重力加速度v=36;%風(fēng)速rou=1025;%海水密度ma=1000;da=2;ha=2;%浮標(biāo)lb=1;mb=10;db=0.05;%鋼管mc=100;lc=1;dc=0.3;%鋼桶ball=1200;%重物球ld=0.105;md=7;Ld=22.05;nd=Ld/ld;md=md*ld*g;%鏈環(huán)me=600;%錨Ffb=rou*g*pi*db2/4*lb;%鋼管的浮力mb=mb*g;%鋼管的重力t=1;for ball=1200%1200:2:3000for h1=0.759%0.9:0.01:1.1%0.3:0.05:1%0.31:0.01:1.5%0.68:0.0005:0.72 for h2=0.781%h1:0.01:1.5%0.75:0.0005:0.79 L=h1; R=0; %-浮標(biāo)- S1=da*(ha-(h1+h2)/2)*da/sqrt(h2-h1)2+da2); S2=pi*da2/8*(h2-h1)/da; S=S1+S2;%風(fēng)載荷 Fw=0.625*S*v2;%風(fēng)力 V=pi*da2/8*(h1+h2);%吃水體積 Ffa=rou*g*V;%浮標(biāo)的浮力 Ta1=Ffa-ma*g;%豎直方向 Ta2=Fw;%水平方向 Ta=sqrt(Ta12+Ta22);%浮標(biāo)的總拉力 thetaa=atand(Ta1/Ta2); %浮標(biāo)拉力的角度 alphaa=atand(h2-h1)/da);%浮標(biāo)的傾斜角 %-浮標(biāo)- %-鋼管- for k=1:4 Tb2(k)=Ta2;%水平方向 if k=1 Tb1(k)=Ta1+Ffb-mb;%豎直方向 else Tb1(k)=Tb1(k-1)+Ffb-mb;%豎直方向 end thetab(k)=atand(Tb1(k)/Tb2(k);%拉力角度 Tb(k)=sqrt(Tb1(k)2+Tb2(k)2);%拉力大小 if k=1%鋼管的傾斜角 alphab(k)=atand(Ta*sind(thetaa)+Tb(k)*sind(thetab(k). /(Tb(k)*cosd(thetab(k)+Ta*cosd(thetaa); else alphab(k)=atand(Tb(k-1)*sind(thetab(k-1)+Tb(k)*sind(thetab(k). /(Tb(k)*cosd(thetab(k)+Tb(k-1)*cosd(thetab(k-1); end if k=1 xb(k)=ld*cosd(alphaa);%鋼管k的x長(zhǎng)度 else xb(k)=ld*cosd(alpha