小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練2.doc

. 小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練-雜題部分 數(shù)學(xué)網(wǎng)為廣大小學(xué)生和家長(zhǎng)整理的“小學(xué)數(shù)學(xué)趣題巧算百題百講百練系列”，包括計(jì)算、幾何、應(yīng)用題、雜題以及各部分練習(xí)題，每部分都有100道精選例題及講解，以提高廣大小學(xué)生的綜合解題能力。本篇為雜題部分。 小學(xué)生的課外數(shù)學(xué)活動(dòng)，包括一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，極大地提高了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。通過參加各種數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，提高了學(xué)生思維和探索能力。雜題中選編的例題，更突出了小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用。有的題涉及一點(diǎn)小學(xué)尚未學(xué)習(xí)的知識(shí)，但是學(xué)生還是可以理解的，題中介紹的各種解法，小學(xué)生應(yīng)該掌握。例84 將奇數(shù)1、3、5、7、9、按下表排成五列。例如，13排在第2行第2列，25排在第4行第4列。那么1993排在第幾行第幾列？分析與解 首先要算出1993這個(gè)數(shù)是這列數(shù)中的第幾個(gè)數(shù)。由上表可看出，每行有4個(gè)數(shù)，而9974=2491。就是說第997個(gè)數(shù)是第250行中最小的一個(gè)。偶數(shù)行的數(shù)是從小到大依次排在第4、3、2、1列的，因此1993這個(gè)數(shù)排在第250行第 4列。例85 在自然數(shù)中有很多三位數(shù)，其中三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的三位數(shù)共有多少個(gè)？分析與解 要想求出三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的三位數(shù)共有多少個(gè)，不妨按從小到大的順序把這些數(shù)寫出來：104、109、113、118、122、127、顯然，用這種尋找答案的方法是可以的，但是太費(fèi)時(shí)間了。我們可以按下面的思路去思考。這10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和,也正好是10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。例如，A=1，B=2，那么上面寫出的10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和為3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有兩個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)。從100999，這些三位數(shù)共900個(gè)，每10個(gè)連續(xù)三位數(shù)為一個(gè)“數(shù)段”，一共可以分成90個(gè)“數(shù)段”。而每10個(gè)連續(xù)的三位數(shù)中有而且只有2個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)，所以在所有的三位數(shù)中共有 290=180個(gè)三位數(shù)，它們的三個(gè)數(shù)字和是5的倍數(shù)。答：三位數(shù)中三個(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)的共有180個(gè)。例86 有一串?dāng)?shù) 1、4、9、16、25、26、49、它們是按一定的規(guī)律排列的。那么左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大多少？分析與解 仔細(xì)觀察這串?dāng)?shù)各數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)是從1開始的自然數(shù)的平方數(shù)，即12、22、32、42、52、62、72、進(jìn)而比較相鄰兩數(shù)之差，可以發(fā)現(xiàn)4-1=22-12=2+19-4=32-22=3+216-9=42-32=4+325-16=52-42=5+4由此可以推得，左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大1994+1993=3987答：左起第1994個(gè)數(shù)比第1993個(gè)數(shù)大3987。例87 有一列數(shù) 1、2、4、7、11、16、22、29、這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少？分析與解 觀察這一列數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它排列的規(guī)律是：第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)多1；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)多2；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)多3；依次類推。這樣我們就可以先求出第1994個(gè)數(shù)是幾，再算出這個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是多少了。左起第1994個(gè)數(shù)是1+1+2+3+1993=1+1987021=1987022再計(jì)算1987022除以5的余數(shù)，得到余數(shù)是2。也可以這樣思考：根據(jù)這列數(shù)排列的規(guī)律，我們先列出前15個(gè)數(shù)，然后再算一下這15個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)。列表如下：從上表可以看出、第1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)，與第6、7、8、9、10五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同、也與第11、12、13、14、15五個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同。由此得出，這一列數(shù)被5除的余數(shù)，每隔5個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)。因?yàn)?994=5398+4，所以第1994個(gè)數(shù)被5除得到的余數(shù)，與第四個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)一樣，也就是余數(shù)為2。答：這列數(shù)左起第1994個(gè)數(shù)除以5得到的余數(shù)是2。例88 有1994名同學(xué)按編號(hào)從小到大排成一排，令奇數(shù)號(hào)位（1號(hào)位、3號(hào)位）上的學(xué)生離隊(duì)。余下的同學(xué)順序不變，再令其中站在新編號(hào)為奇數(shù)號(hào)位上的同學(xué)離隊(duì)。依次重復(fù)上面的做法，那么最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第幾號(hào)位上的？分析與解 依照題中所說的做法，第一次令奇數(shù)號(hào)位上的同學(xué)離隊(duì)后，余下的同學(xué)，開始時(shí)編號(hào)是2（211）、4（212）、6（213）、1994（21997），再令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號(hào)位上的同學(xué)離隊(duì)后，剩下的同學(xué)開始時(shí)的編號(hào)是4（221）、8（222）、12（223）、16（224）、1992（22498）依次類推，第9次令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號(hào)位上的同學(xué)離隊(duì)后，剩下的同學(xué)開始時(shí)的編號(hào)是291，292，293。第10次令余下的同學(xué)中站在奇數(shù)號(hào)位上的同學(xué)離隊(duì)后，只剩下一個(gè)同學(xué)，他開始時(shí)的編號(hào)是：2101，即1024。答：最后留下來的同學(xué)，在開始時(shí)是排在第1024號(hào)位上的。例89 把乒乓球裝在6個(gè)盒中，每盒裝的個(gè)數(shù)分別為1個(gè)、3個(gè)、9個(gè)、27個(gè)、8l個(gè)、243個(gè)。從這6盒中，每次取其中1盒，或取其中幾盒，計(jì)算乒乓球的個(gè)數(shù)之和，可以得到63個(gè)不同的和。如果把這些和從小到大依次排列起來，是1個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、9個(gè)、10個(gè)、12個(gè)、，那么第60個(gè)和是多少個(gè)？分析與解 首先應(yīng)該想到，不能用從取1盒、取2盒、去計(jì)算乒乓球個(gè)數(shù)之和的辦法，去尋找第60個(gè)和是多少個(gè)。根據(jù)題意，第63個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和是很容易計(jì)算出來的，而第60個(gè)兵乓球個(gè)數(shù)之和與它相差不多，例推回去，就可以得出結(jié)果了。根據(jù)已知，第63個(gè)乒乓個(gè)數(shù)之和是1+3+9+27+81+243=364于是第62個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是364-1=363第61個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是364-3=361.第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是364-3-1=360答：第60個(gè)乒乓球個(gè)數(shù)之和是360。例90 有甲、乙、丙、丁四個(gè)人，他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大2歲，這四個(gè)人年齡的乘積是48384。這四個(gè)人的年齡各是幾歲？分析與解 題中告訴我們，48384是四個(gè)人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個(gè)數(shù)相乘，這四個(gè)數(shù)就是四個(gè)人的年齡了。48384=28337=（223）（27）24（232）=12141618由此得出這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。也可以這樣想：由題意可知，這四個(gè)數(shù)是相差2的四個(gè)整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因?yàn)?8384的個(gè)位數(shù)字不是0，顯然這四個(gè)數(shù)中，沒有個(gè)位數(shù)字是0的，那么這四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因?yàn)?0448384，而 48384204，所以可以斷定，這四個(gè)數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。答：這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。例91 把分母為60的最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)從小到大排列，第1994個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？分析與解 直接求出第1994個(gè)假分?jǐn)?shù)是幾分之幾，是不大容易的。我們不妨換一下思考的角度，那就是將假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)去思考，求出第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)是幾又幾分之幾，再把這個(gè)帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)就可以了。由于分母是60的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有16個(gè)，把它們從小到大排列起來，依由此可知，分母為60的最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，由小到大依次排列，因?yàn)?99416=12410，所以第1994個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是答：第1994個(gè)最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)是7537/60。例92 有 A、B、C、D、E五個(gè)小足球隊(duì)參加足球比賽，到現(xiàn)在為止，A隊(duì)賽了4場(chǎng)，B隊(duì)賽了3場(chǎng)，C隊(duì)賽了2場(chǎng)，D隊(duì)賽了1場(chǎng)。那么E隊(duì)賽了幾場(chǎng)？分析與解 把參賽的五個(gè)球隊(duì)看成平面上不在同一條直線上的五個(gè)點(diǎn)，并且沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上。這樣每?jī)申?duì)比賽了1場(chǎng)，就可以用相應(yīng)的兩點(diǎn)間連一條線段來表示。根據(jù)各隊(duì)比賽過的場(chǎng)次可畫成圖55。從上圖不難看出，E隊(duì)賽了2場(chǎng)。答：E隊(duì)賽了2場(chǎng)。例93 有4個(gè)不同的自然數(shù)a、b、c、d，而且abcd。又知道a比b小5，d比c大7，這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 17，那么d最大是多少？最小是多少？分析與解 題中告訴我們，四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是17，那么這四個(gè)數(shù)的和就是174=68。題中問d最大是多少。要使d最大，那么a就要盡量小。因?yàn)檫@四個(gè)數(shù)都是自然數(shù)，所以a最小為1。又因?yàn)閍比b小5，所以這時(shí)b為6。這樣不難求出這時(shí)c與d的和是68-1-6=61。題中又告訴我們，d比c大7，這樣就可以求出這時(shí)d是61+7/2=34，即d最大是34。那么d最小是多少呢？題中告訴我們，a比b小5，d比c大7，a、b、c、d四個(gè)數(shù)之和是68，而68+5+7之和正好是b與d的和的2倍，因此b與d的和是（68+5+7）2=40。要使d最小，那么a、b、c就要盡量大，而b與c的差應(yīng)該盡量小，而b與c的差最小是1，這樣b與d之差就是1+7=8。由此得出d最小是：40+8/2=24答：d最大是34，最小是24。例94 一個(gè)正方體有六個(gè)面，分別用字母A、B、C、D、E、F表示。圖56是從三個(gè)不同角度看到的這個(gè)正方體的部分面的字母。那么這個(gè)正方體到底哪個(gè)面與哪個(gè)面相對(duì)？分析與解 觀察題中給出的三個(gè)圖，不容易看出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對(duì)。那就換一種思考方法，看看哪個(gè)面不對(duì)著哪個(gè)面，從而得出哪個(gè)面與哪個(gè)面相對(duì)的正確結(jié)論。觀察圖（1）可知，A面不對(duì)著D面、E面；觀察圖（2）可知，A面不對(duì)著B面、F面。由此得出，A面一定對(duì)著C面。再觀察圖（2），可以知道，F(xiàn)面不對(duì)著A面、B面；觀察（3）可以知道，F(xiàn)面不對(duì)著C面、D面。那么F面一定對(duì)著E面。這樣剩下的B面一定對(duì)著D面。答：這個(gè)正方體的A面對(duì)著C面；B面對(duì)著D面；E面對(duì)著F面。例95 一次乒乓球比賽，共有512名乒乓球運(yùn)動(dòng)員參加比賽。比賽采用淘汰制賽法，兩個(gè)人賽一場(chǎng)，失敗者被淘汰，將不再參加比賽；獲勝者進(jìn)入下輪比賽，如此進(jìn)行下去，直到?jīng)Q賽出第一名為止。問這次乒乓球比賽一共要比賽多少場(chǎng)？分析與解 如果這樣去想，第一輪512名運(yùn)動(dòng)員參賽，要賽256場(chǎng)；第二輪256名運(yùn)動(dòng)員參賽，要賽128場(chǎng)；直到?jīng)Q賽出第一名為止，再將各輪比賽場(chǎng)次加起來，計(jì)算出一共要比賽多少場(chǎng)。這種方法是可以的，不過太復(fù)雜了。如果按下面的思路思考，那就簡(jiǎn)單得多了。根據(jù)題中所說，比賽采取淘汰制，每比賽一場(chǎng)淘汰掉1人，到最后決賽得出第一名，只有這第一名未被淘汰。也就是說，512名運(yùn)動(dòng)員參賽，有511人被淘汰。淘汰一個(gè)人就要賽一場(chǎng)，所以這次乒乓球比賽一共要進(jìn)行511場(chǎng)比賽。答：這次乒乓球比賽，一共要比賽 511場(chǎng)。例96 一只杯子里裝著紅葡萄酒，一只杯子里裝著白酒，都是300毫升?，F(xiàn)在從裝著紅葡萄酒的杯中倒出30毫升紅葡萄酒與白酒混合，混合均勻后，再?gòu)幕旌系木浦腥〕?0毫升倒回裝紅葡萄酒的杯中，每個(gè)杯中的酒仍然是300毫升。問這時(shí)是紅葡萄酒杯中的白酒多呢？還是白酒杯中的紅葡萄酒多呢？分析與解 解答這題不應(yīng)從具體數(shù)量上分析入手，因?yàn)槟菢佑?jì)算就太復(fù)雜了。根據(jù)題中條件，紅葡萄酒和白酒的數(shù)量都是300毫升，我們用V表示。白酒中紅葡萄酒的含量用a表示，紅葡萄酒中白酒的含量用b表示。于是白酒杯中的酒是V=（V-b）+a紅葡萄酒杯中的酒是V=（V-a）+b因此，（V-b）+a=（V-a）+b那么 a-b=b-a2a=2b所以 a=b這就是說，白酒里的紅葡萄酒與紅葡萄酒里的白酒是一樣多的。當(dāng)然題目還可以改為：“不等混合均勻，又倒回30毫升”，那該是怎樣的結(jié)果呢？這個(gè)問題的回答是：結(jié)果與前面完全一樣，其中的道理也就不用再說了。答：紅葡萄酒中的白酒與白酒中的紅葡萄酒一樣多。例97 甲盒中有1993個(gè)白棋子和1994個(gè)黑棋子，乙盒中有足夠多的黑棋子。現(xiàn)在每次從甲盒中任取2個(gè)棋子放在外面。如果被取出的2個(gè)棋子是同顏色的，就從乙盒中取1個(gè)黑棋子放入甲盒；如果取出的2個(gè)棋子是不同顏色的，便將那個(gè)白棋子再放回到甲盒中去。這樣經(jīng)過3985次取、放之后，甲盒中還剩下幾個(gè)棋子？它們是什么顏色的？分析與解 根據(jù)題意，甲盒中共有1993+1994= 3987（個(gè)）棋子。每次取出2個(gè)棋子后又放回到甲盒中1個(gè)棋子，實(shí)際每次取、放后，甲盒中減少1個(gè)棋子。因此，經(jīng)過3985次取、放后，甲盒中還剩下3987-3985=2個(gè)棋子。根據(jù)題中所說的取、放方法，每次取、放之后，甲盒中要么減少1個(gè)黑棋子，要么減少2個(gè)白棋子增加1個(gè)黑棋子。顯然，甲盒中的白棋子總是兩個(gè)兩個(gè)地減少。而甲盒中有1993個(gè)白棋子，那么，最后必定剩下1個(gè)白棋子。另外剩下的那個(gè)棋子一定是黑色的。答：甲盒中還剩下2個(gè)棋子，1個(gè)白色的，1個(gè)黑色的。例98 某市電話403局的各戶電話號(hào)碼是40300004039999。那么除局號(hào)外其余4個(gè)數(shù)碼中的前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號(hào)碼共有多少個(gè)？分析與解 我們知道，403局的電話號(hào)碼00009999，共有10000個(gè)號(hào)碼。而前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號(hào)碼的個(gè)數(shù)，比前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的號(hào)碼的個(gè)數(shù)少得多。因此，要求前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)，應(yīng)該先求出前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的個(gè)數(shù)，再?gòu)?10000中減去這個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果就是題目所要求的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)了。那么除局號(hào)外，在其余4個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號(hào)碼有多少個(gè)呢？我們知道，在這些號(hào)碼中，兩個(gè)號(hào)碼之和最小的是0，最大的是18。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0的，只用到數(shù)字0，即0000。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為18的，只用到數(shù)字9，即9999。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為0或18的，都只用到1個(gè)數(shù)字，各有1個(gè)號(hào)碼。再看前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1的情況。這時(shí)只用到0和1兩個(gè)數(shù)字，它們是0101、0110、1010、1001，共4個(gè)號(hào)碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為17的，只用到8和9兩個(gè)數(shù)字，它們是8989、8998、9898、9889，共4個(gè)號(hào)碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為1或17的，都用到2個(gè)數(shù)字，各有4個(gè)號(hào)碼。我們?cè)倏纯辞?、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2的情況。這時(shí)只用到0、1、2三個(gè)數(shù)字，它們是0202、0220、2020、2002、1102、0211、2011、1120、1111，共9個(gè)號(hào)碼。前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為16的，用到 7、8、9三個(gè)數(shù)字，它們是7979、7997、9797、9779、8879、7988、8897、9788、8888，共9個(gè)號(hào)碼。顯然，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和為2或16的，都用到3個(gè)數(shù)字，各有9個(gè)號(hào)碼。從以上列舉的三種情況看，我們發(fā)現(xiàn)，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和相等的號(hào)碼，如果用到1個(gè)數(shù)字，就有1個(gè)號(hào)碼，即12個(gè)；用到2個(gè)數(shù)字，就有4個(gè)號(hào)碼，即22；用到3個(gè)數(shù)字，就有9個(gè)號(hào)碼，即32個(gè)。前面已經(jīng)說了，前、后兩個(gè)數(shù)碼之和最小的是0，最大的是18，共有19種情況。我們把這19種情況，即用到數(shù)字的個(gè)數(shù)及號(hào)碼的數(shù)，列成下表。從上表不難看出，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)之和相等的號(hào)碼共有（12+22+32+42+52+62+72+82+92）2+102=（1+4+9+16+25+36+49+64+81）2+100=2852+100=570+100=670（個(gè)）于是得出，除局號(hào)外，在其余的四個(gè)數(shù)碼中，前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號(hào)碼共有10000-670=9330（個(gè)）答：前兩個(gè)數(shù)碼之和與后兩個(gè)數(shù)碼之和不相等的電話號(hào)碼共有 9330個(gè)。例99 用紅、黃、藍(lán)三種顏色把圖57中8個(gè)圓圈涂上顏色，每個(gè)圓圈只許涂一種顏色，并且有連線的兩端的圓