8無窮級數(shù).doc

無窮級數(shù)一、無窮項級數(shù)的概念和性質(zhì) 如果給定一個數(shù)列 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 叫做（常數(shù)項）無窮級數(shù)記為 其中第n項un叫做級數(shù)的一般項。 作前n項的和 定義如果級數(shù)的部分和數(shù)列Sn有極限S，即 則稱無窮級數(shù)收斂，這時極限S叫做這個級數(shù)的和，并寫成 如果Sn沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。例1判斷下面無窮級數(shù)的收斂性解：如果q1，則部分和 當(dāng)|q|1時，從而 這時，次數(shù)發(fā)散 |q|=1，當(dāng)q=1時，Sn=Sn=na級數(shù)發(fā)散 當(dāng)q=1時，級數(shù)變?yōu)閍a+aa+ 從而Sn的極限不存在，從而級數(shù)發(fā)散例2 判斷無窮級數(shù) 的收斂性解：由于 故 從而 所以級數(shù)收斂，它的和是1。性質(zhì)：1. 如果級數(shù)收斂于和S，則它的各項同乘以一個常數(shù)k，所得的級數(shù)也收斂，且其和為kS。2. 如果級數(shù)，分別收斂于S，則級數(shù)也收斂，且其和為S + 。性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性。性質(zhì)4 （級數(shù)收斂的必要條件）如果級數(shù) 收斂，則它的一般項un趨于零，即二、常數(shù)項級數(shù)斂散性判別 1. 正項級數(shù) 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)，稱為正項級數(shù)，對于正項級數(shù)有 若Sn有界，則級數(shù)必收斂。定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和序列Sn有界。定理（比較判別法） 設(shè)和都是正項級數(shù)，且（n=1,2,）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂，反之，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。例3 討論p級數(shù) 的收斂性，其中常數(shù)p0解：設(shè)p1則 由于級數(shù)發(fā)散。 所以級數(shù)發(fā)散。設(shè)p1，因為當(dāng)n1xn，有所以 （n=2，3，）考慮 其部分和 因所以級數(shù)收斂由比較判別法 級數(shù)當(dāng)p1時收斂綜上述結(jié)果，得出：p一級數(shù)當(dāng)p1時收斂，當(dāng)p1時發(fā)散。比較判別法的極限形式（定理 ）： 設(shè)和都是正項級數(shù)，如果 （0l） 則級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散。注：調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的例4 證明級數(shù)是發(fā)散的證：因為 由定理知此級數(shù)發(fā)散。例5 判別級數(shù)的收斂性 解：因為 所以級數(shù)發(fā)散。 又級數(shù)發(fā)散。 所以級數(shù)發(fā)散定理（比值判別法，達(dá)朗貝爾判別法） 若正項級數(shù)的后項與前項的比值的極限等于，即 則當(dāng)1（或）時，級數(shù)發(fā)散 =1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例6 判別級數(shù) 的收斂性解：因為 由比值判別法知所給級數(shù)發(fā)散。定理（根值判別法，柯西判別法） 設(shè)為正項級數(shù)，如果它的一般項un的n次根的極限等于，即 則當(dāng)1（或）時級數(shù)發(fā)散； =1時級靈敏可能收斂也可能發(fā)散；例7 證明級數(shù) 收斂。證明，因 （n） 所以由根值判另法知所給級數(shù)收斂。交錯級數(shù)及其判別法 交錯級數(shù) 或 其中都是正數(shù)。萊布尼茨定理如果交錯級數(shù)滿足條件： （1） （n=1,2,3,） （2）則級數(shù)收斂，且共和，其余項rn的絕對值例8 判斷級數(shù)的斂散性解： 所以級數(shù)收斂。絕對收斂和條件收斂 對于一般級數(shù) 如果正項級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂。定理 如果級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定收斂。例9 判別級數(shù)的收斂性。解：因為而級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂。三、冪級數(shù) 1. 函數(shù)項級數(shù)的概念 如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 稱為定義在區(qū)間I上的（函數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項）級數(shù)。 2. 冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù)的形式： 其中叫做冪級數(shù)的系數(shù)。阿貝爾定理 如果級數(shù)當(dāng)時收斂，則適合不等式 的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂，反之，如果級數(shù)當(dāng)x=x0時發(fā)散，則適合不等式的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散。推論（收斂半徑） 如果冪級數(shù)不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)R存在，使得 當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂。 當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)x=R與x=R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。 正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑。 由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂區(qū)間（R，R）,可能含端點。收斂半徑的求法定理 如果 其中是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù)，則這冪級數(shù)的收斂半徑。 例10 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂區(qū)間。 解：因為 所以收斂半徑 對于端點x=1，級數(shù)為交錯級數(shù) 級數(shù)收斂 對于端點x=1級數(shù)成為 級數(shù)發(fā)散，因此，收斂區(qū)間為（1，1），且含端點1例11 求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 解：因為 所以收斂半徑R=+，從而收斂區(qū)間是（，+）例3 求冪級的收斂半徑（記號0！=1）解 因為 所以收斂半徑R=0，即級數(shù)僅在x=0處收斂。冪級數(shù)和函數(shù)的重要性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R（R0）則其和函數(shù)S（x）在區(qū)間（R，R）內(nèi)連續(xù)，如果冪級數(shù)在x=R（或x=R）也收斂，則和函數(shù)S（x）在（R，R）連續(xù)。性質(zhì)2 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R（R0）則其和函數(shù)S(x)在區(qū)間（R，R）內(nèi)可導(dǎo)的，且有逐項求導(dǎo)公式。 其中|x|0），則其和函數(shù)S(x)在區(qū)間（R，R）內(nèi)可積，且有逐項積分公式： 其中|x|R，逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。例14 在收斂半徑內(nèi)求級數(shù)的和函數(shù) 解 因 所以 故級數(shù)在（1，1）內(nèi)收斂。令由性質(zhì)3 有 兩邊求導(dǎo)得 函數(shù)展開成冪級數(shù)。 應(yīng)收斂區(qū)間內(nèi)用泰勒展式。