高中數(shù)學(xué)第1章直線多邊形圓1.2.5相交弦定理學(xué)案北師大版.docx

2.5相交弦定理1.掌握相交弦定理及其證明過程.2.能靈活運用相交弦定理進(jìn)行計算與證明.基礎(chǔ)初探教材整理相交弦定理圖12104(1)文字?jǐn)⑹鰣A內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.(2)圖形表示如圖12104，弦AB與CD相交于圓內(nèi)一點P，則有：PAPBPCPD.1.在O中，弦AB和CD相交于點P，PA3 cm，PB5 cm，PC2.5 cm，則弦CD的長為() 【導(dǎo)學(xué)號：96990033】A.6 cmB.7.5 cmC.8 cmD.8.5 cm【解析】利用相交弦定理，得PAPBPCPD，即352.5PD，所以PD6 cm.所以PDPCCD8.5 cm.【答案】D2.圓內(nèi)兩條弦AB和CD相交于P點，AB8，AB把CD分成長為3和4兩部分，求AP.【解】設(shè)APx，則BP8x，由相交弦定理得x(8x)34，x2或6，即AP2或AP6.質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型相交弦定理的簡單應(yīng)用如圖12105，已知在O中，P是弦AB的中點，過點P作半徑OA的垂線分別交O于C，D兩點，垂足是點E.求證：PCPDAEAO.圖12105【精彩點撥】由相交弦定理知PCPDAPPB，又P為AB的中點，PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可.【證明】連接OP，P為AB的中點，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEAO.PDPCPAPBAP2，PDPCAEAO.1.相交弦定理的運用往往與相似三角形聯(lián)系密切，也經(jīng)常與垂徑定理、射影定理等相結(jié)合進(jìn)行某些計算與證明.2.由相交弦定理可得推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，且弦的一半是直徑被弦分成的兩條線段的比例中項.再練一題1.如圖12106，已知AB是O的直徑，OMON，P是O上的點，PM，PN的延長線分別交O于Q，R.求證：PMMQPNNR.圖12106【證明】OMON，OAOB，AMBN，BMAN，AMBMANBN，又PMMQAMBM，PNNRANBN，PMMQPNNR.相交弦定量的綜合應(yīng)用如圖12107，ABC內(nèi)接于O，P是ABC的高CE的延長線上一點，PC交O于D，若PA2PDPC，AE2，CE3，cosACB，求BE的長.圖12107【精彩點撥】由PA2PDPC知PA是O的切線，ACB等于PAE，則PA可求，在RtAPE中PE可求，由切割線定理求出PD，進(jìn)而求出DE，再由相交弦定理求BE.【自主解答】由PA2PDPC，知PA是O的切線，PAEACB.PCAB，AEP90.又cosACB，在RtPAE中，cosPAE.AE2，PA6.在RtPAE中，PE4，PCPECE437，PA2PDPC，PD，DEPEPD4.AEBEDECE，BE.1.解答本題時應(yīng)注意所求與已知的關(guān)系，通過所求明確已知轉(zhuǎn)化的方向，從而求得結(jié)論.2.在實際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理，見到切線和割線時要想到切割線定理及推論.再練一題2.如圖12108所示，已知O1和O2相交于A，B兩點，過點A作O1的切線，交O2于點C，過點B作兩圓的割線分別交O1，O2于點D，E，DE與AC相交于點P.圖12108(1)求證：PAPEPCPD；(2)當(dāng)AD與O2相切且PA6，PC2，PD12時，求AD的長.【解】(1)證明：連接AB，CE，CA切O1于點A，1D.又1E，DE.又23，APDCPE.，即PAPEPCPD.(2)PA6，PC2，PD12.6PE212，PE4.由相交弦定理，得PEPBPAPC.4PB62，PB3.BDPDPB1239，DEPDPE16.DA切O2于點A，DA2DBDE，即AD2916，AD12.探究共研型相交弦定理、切割線定理、切線長定理的關(guān)系探究1相交弦定理、切割線定理、切線長定理之間有什么聯(lián)系？【提示】相交弦定理中兩弦的交點在圓內(nèi)，若兩弦的交點從圓內(nèi)移到圓外便得到切割線定理的推論.若將一條割線變?yōu)閳A的切線便可得到切割線定理，最后兩條割線都變成切線便得到切線長定理，這些變化充分體現(xiàn)了運動變化的思想.探究2應(yīng)用相交弦定理應(yīng)注意什么？【提示】相交弦定理中要求是兩條相交弦，對于多條弦相交且不交于同一點時，要兩條兩條的利用定理方可.如圖12109所示，已知PA與O相切，A為切點，PBC為割線，弦CDAP，AD，BC相交于E點，F(xiàn)為CE上一點，且DE2EFEC.圖12109(1)求證：PEDF；(2)求證：CEEBEFEP；(3)若CEBE32，DE6，EF4，求PA的長.【精彩點撥】本題考查切割線定理、相交弦定理.以及相似三角形的判定與性質(zhì)與切線長定理的綜合應(yīng)用.解答本題需要分清各個定理的適用條件，并會合理利用.【自主解答】(1)證明：DE2EFEC，DECEEFED.DEF是公共角，DEFCED.EDFC.CDAP，CP.PEDF.(2)證明：PEDF，DEFPEA，DEFPEA.DEPEEFEA.即EFEPDEEA.弦AD，BC相交于點E，DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.CEBE32，BE6.CEEBEFEP，964EP.解得：EP.PBEPBE6，PCEPCE9，又AP2BPPC，PA.相交弦定理、割線定理、切割線定理及切線長定理是最重要的定理，在與圓有關(guān)的問題中經(jīng)常用到，這是因為這四個定理可得到的線段的比例或線段的長，而圓周角定理、弦切角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理得到的是角的關(guān)系，這兩者的結(jié)合，往往能綜合討論與圓有關(guān)的相似三角形問題.因此，在實際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦要想到相交弦定理；見到兩條割線要想到割線定理；見到切線和割線要想到切割線定理.再練一題3.如圖12110所示，已知：從圓外一點P，作切線PA.A為切點，從PA的中點B作割線BCD，交圓于C，D，連接PC，PD，分別交圓于E，F(xiàn).求證：EFPA.圖12110【證明】PBA是圓的切線，BCD是圓的割線.BA2BCBD.又B為PA中點，PBBA.即PB2BCBD，.又PBCDBP，BPCBDP，BPCD.又ED，BPCE，EFPA.構(gòu)建體系1.如圖12111所示，O的兩條弦AB，CD相交于點E，AC和DB的延長線交于點P，下列結(jié)論成立的是()圖12111A.PCCAPBBDB.CEAEBEEDC.CECDBEBAD.PBPDPCPA【解析】由切割線定理的推論知PBPDPCPA，故選項D正確.【答案】D2.如圖12112，A，B是圓O上的兩點，且OAOB，OA2，C為OA的中點，連接BC并延長交圓O于點D，則CD_. 【導(dǎo)學(xué)號：96990034】圖12112【解析】延長CO交圓于點E，依題意得，BC，BCCDCACE，CD13，因此CD.【答案】3.O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6 cm，BE2 cm，CD7 cm，那么CE_cm.【解析】AB與CD相交于E，AEBECEDE.AE6 cm，BE2 cm，CD7 cm，DECDCE7CE.62CE(7CE)，即CE27CE120，CE3(cm)或CE4(