2015年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試卷.pdf

2015 年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試卷 2015 年 3 月 29 日上午 9 30 11 30 說明 解答本試卷不得使用計算器 解答解答本試卷不得使用計算器 解答請寫在答題紙上請寫在答題紙上 一一 填空題填空題 本題滿分 60 分 前 4 小題每小題 7 分 后 4 小題每小題 8 分 1 等差數(shù)列 n a中 對任意正整數(shù)n 都有 1 458 nn aan 則 2015 a 2 對整數(shù)3n 記 231 log 3 log 4lognf nn 則 23 2 2 ff 10 2 f 3 有 10 個大小相同的小球 其中 5 個是紅球 5 個是白球 現(xiàn)將這 10 個 球任意排成一排 并從左至右依次編號為 1 2 10 則紅球的編號數(shù)之和大 于白球的編號數(shù)之和的排法共有 種 4 在直角坐標(biāo)平面xOy上 圓 22 1O xy 圓 22 1 3 4Oxy 過x軸 的左半軸上一點M作圓O的切線 與圓O相切于點A 與圓 1 O分別相交于點 B C 若ABBC 則點M的坐標(biāo)為 5 已 知 55 cos 3 sincos 4 則 的 取 值 范 圍 是 6 投擲兩次骰子 設(shè)第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a 第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b 則使 得關(guān)于x的二次方程 2 0 xaxb 有兩個小于1 的不相等實根的概率 為 用數(shù)字作答 7 已知集合 32 Ax y xm ymmN 2 1 Bx y xn ya annN 則使得AB 的整數(shù)a共有 個 8 若實數(shù) x y滿足3132xxyy 則xy 的最大值為 二 解答題二 解答題 9 本題滿分 14 分 在直角坐標(biāo)平面xOy上 已知點 A B在雙曲線 22 240Cxxy 上 且使得 OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形 求 所有這樣的 OAB的個數(shù) 10 本題滿分 14 分 已知p為素數(shù) n為正整數(shù) 非負(fù)整數(shù) 01 n a aa均 小于p 且滿足 012 2 012 13 2015 n n n aaaa aa pa pa p 求素數(shù)p 11 本題滿分 16 分 如圖 已知 ABC的面積為 1 過 ABC內(nèi)一點O分 別引三條邊的平行線 DE FG HI 點 D E F G H I均在 ABC的邊上 求六 邊形DGHEFI的面積的最小值 G I H F ED O C B A 12 本題滿分 16 分 設(shè)n是正整數(shù) 數(shù)列 12 n A a aa是由數(shù) 0 或 1 組 成的數(shù)列 即0 k a 或 1 1 kn 1 若3n 由數(shù)列A定義另一個數(shù)列 12 n Aaaa 其中 11 11 0 1 kk k kk aa a aa 若 若 1 2 kn 這里 011 nn aaaa 求使得 1 1 2 kk aakn 的所有數(shù)列A 本小題只需寫出結(jié)果 不需 解題過程 2 求使得 12n aaa 除以 4 余 3 的數(shù)列A的個數(shù) 2015年上海市高中數(shù)學(xué)競賽答案 一 填空題一 填空題 本題滿分 60 分 前 4 小題每小題 7 分 后 4 小題每小題 8 分 1 4000 2 54 3 126 4 4 0 5 3 44 6 1 12 7 10 8 93 15 二 解答題二 解答題 9 本題滿分 14 分 在直角坐標(biāo)平面xOy上 已知點 A B在雙曲線 22 240Cxxy 上 且使得 OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形 求 所有這樣的 OAB的個數(shù) 解解 設(shè) OA l 0 ykx k 則 1 OB lyx k 由 22 240 ykx xxy 得 22 240kxx 所以 2 20k 2 4 2 A x k 于是 2 2 4 1 2 OAk k 4 分 同理可得 22 2 2 144 1 1 1 21 2 k OBk kk k 6 分 因為 OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形 所以O(shè)AOB 于是 22 22 44 11 221 k kk kk 所以 22 1 221 k kk 若 22 1 221 k kk 則 32 2210kkk 即 2 1 31 0kkk 解得 123 3535 1 22 kkk 10 分 若 22 1 221 k kk 則 32 2210kkk 即 2 1 31 0kkk 解得 456 3535 1 22 kkk 12 分 因為 142536 1k kkkkk 所以由 1 k和 4 k得到的兩個三角形是相同的 同樣 由 2 k和 5 k得到的兩個三角形是相同的 3 k和 6 k得到的兩個三角形也是相 同的 綜上所述 滿足題意的 ABC共有 3 個 14 分 10 本題滿分 14 分 已知p為素數(shù) n為正整數(shù) 非負(fù)整數(shù) 01 n a aa 均 小于p 且滿足 012 2 012 13 2015 n n n aaaa aa pa pa p 求素數(shù)p 解解 由題設(shè)可得 2 12 1 1 1 2002 n n a papap 于是1p 是20022 7 11 13 的正約數(shù) 4 分 若2p 則 10 2 n aa a 是2015的二進(jìn)制表示 因為 2201511111011111 而1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1113 矛盾 6 分 若2p 則p是奇數(shù) 于是1p 是偶數(shù) 12 7 2 11 2 13 2 7 11 2 7 13 2 11 13 2 7 11 13p 又p是素數(shù) 故p只可能是3 23 2003 8 分 若3p 則 10 3 n aa a 是2015的三進(jìn)制表示 因為 320152202122 而 22 120221113 矛盾 10 分 若23p 則 10 23 n aa a 是2015的23進(jìn)制表示 因為 2 20153 2318 23 14 而14 18313 矛盾 12 分 若2003p 則 10 2003 n aa a 是2015的2003進(jìn)制表示 因為 20151 2003 12 而1 1213 滿足題設(shè)條件 綜上所述 欲求的素數(shù)p為2003 14 分 11 本題滿分 16 分 如圖 已知 ABC的面積為 1 過 ABC內(nèi)一點O 分別引三條邊的平行線 DE FG HI 點 D E F G H I均在 ABC的邊上 求六 邊形DGHEFI的面積的最小值 解解 由題設(shè) 四邊形AGOH 四邊形BIOD 四邊形CEOF均為平行四邊形 又由題設(shè)知 GDO ABC OIF ABC HOE ABC 而 相似三角形的面積比等于相似比的平分 于是 222 GDOOIFHOE ABCABCABC SSSDOIFOE SSSBCBCBC 222 BIIFFC BCBCBC 2 11 33 BIIFFC BCBCBC 從而 1 3 GDOOIFHOE SSS 10 分 所以 1 2 AGHBIDCEFAGOHBIODCEOF SSSSSS 1111 1 2233 ABCGDOOIFHOE SSSS 故 DGHEFIABCAGHBIDCEF SSSSS 12 1 33 14 分 當(dāng)O為 ABC的重心時 上述不等式等號成立 所以 六邊形DGHEFI的 面積的最小值為 2 3 16 分 G I H F ED O C B A 12 本題滿分 16 分 設(shè)n是正整數(shù) 數(shù)列 12 n A a aa 是由數(shù) 0 或 1 組 成的數(shù)列 即0 k a 或 1 1 kn 1 若3n 由數(shù)列A定義另一個數(shù)列 12 n Aaaa 其中 11 11 0 1 kk k kk aa a aa 若 若 1 2 kn 這里 011 nn aaaa 求使得 1 1 2 kk aakn 的所有數(shù)列A 本小題只需寫出結(jié)果 不需 解題過程 2 求使得 12n aaa 除以 4 余 3 的數(shù)列A的個數(shù) 解解 1 數(shù)列 1 1 1A 當(dāng)n是3的倍數(shù)時 數(shù)列A還有如下三個解 0 1 0 0 1 0 0 1 0A 0 0 1 0 0 1 0 0 1A 1 0 0 1 0 0 1 0 0A 4 分 2 設(shè) nnnn xyzu分別表示 12n aaa 除以4余數(shù)為0 1 2 3的數(shù)列A的 個數(shù) n x其實表示 12 n a aa 中有0個1 4個1 的數(shù)列A的個數(shù) 于是 04 nnn xCC 同理 15 nnn yCC 26 nnn zCC 37 nnn uCC 6 分 因為 0122 1 iiiiii n nn nnnnnnnn CCCCxyzu 1 ii i n nnnn xyzu 所以 1 i 1 i 2i nn nn yu 又 1351 2n nnnnn yuCCC 所以 2 1 i 1 i 2 4i nn n n u 12 分 注意到 22 1 i 1 i 2i 1 i 1 i 4i 3344 1 i 1 i 4i 1 i 1 i 0 及 44 1 i 1 i 4 1 i 1 i