材料力學(xué)第05章(彎曲內(nèi)力)-06 (2)

51 彎曲的概念和實例 52 受彎桿件的簡化 53 剪力和彎矩 54 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖 55 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系 56 平面曲桿的內(nèi)力圖 第五章 彎曲內(nèi)力 一、彎曲的概念 受力特點 ： 桿件受垂直于軸線的外力（包括外力偶）的作用。 梁：以 彎曲變形為主要變形的構(gòu)件通常稱為梁。 51 彎曲的概念和實例 變形特點 ：軸線變成了曲線。 F 工程實例 工程實例 縱向?qū)ΨQ面 軸線 C 二、平面 彎曲的概念 梁的橫截面有一對稱軸，外載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，是一條平面曲線 。 F1 F2 非對稱彎曲 若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或者，梁雖具有縱向?qū)ΨQ面但外力并不作用在對稱面內(nèi)，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。 下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計算。 C 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計算簡圖。 1. 構(gòu)件本身的簡化 52 受彎桿件的簡化 取梁的軸線來代替梁 F a l A B F a l A B (1)固定鉸支座 2個約束， 1個自由度。 (2)可動鉸支座 1個約束， 2個自由度。 2. 支座簡化 (3)固定端 Fx Fy M 3個約束， 0個自由度。 固定鉸 可動鉸 固定鉸 可動鉸 固定端 3. 梁的三種基本形式 (1)簡支梁 (2)外伸梁 (3)懸臂梁 F A B q F F A B F 4. 載荷的簡化 M q F A B 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型： 集中力、集中力偶和分布載荷。 5. 靜定梁與超靜定梁 靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。 超靜定梁：由靜力學(xué)方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。 F A B q F A B F F A B q A B F 已知： F， a， l。 解 ： (1)求支座反力 53 剪力和彎矩 0 , 0 Axx FFlFaFM BA , 0lFbFMAyB , 0求：距 A 端 x處截面上內(nèi)力。 F A B FAy FAx FB F a l A B b x FB F A FAy C （ 2）求內(nèi)力 截面法 剪力 FS 彎矩 M FS M M FS AyFF S 取左段： A B F FB x m m FAy , 0yFxFM Ay , 0CMlFb0 MxF AyxlFb 0 S FF Ay內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定 （ 1） 剪力 FS: 左上右下為正 ；反之為負(fù)。 + 左上右下為正 FS FS + FS FS FS FS （ 2） 彎矩 M：使梁變成上凹下凸的為正彎矩；反之為負(fù)彎矩。 M M (+) 左順右逆為正 可以裝水為正 M M M M (+) M M () （ 2） 彎矩 M：使梁變成上凹下凸的為正彎矩；反之為負(fù)彎矩。 M M (+) 左順右逆為正 可以裝水為正 M M M M (+) M M () M M 求 D截面上的內(nèi)力。 , 0 yF解： , 0 BMFA 截面法求 D截面 內(nèi)力： , 023 2 qaaF A qaF A 32 , 02 qaFF BA, 34 qaF B MD 例 2 取左段： FS FA a a q A q B D a C a a FB , 0 OM F y , 0, 0S FqaF A, 0 OM F y , 02212 qaaFMA qaFF A Sqaqa 32, 0212 2 MqaaF A221232 qaaqa 剪力 =截面左側(cè)所有外力在 y軸上投影代數(shù)之和，向上為正。 彎矩 =截面左側(cè)所有外力對該截面之矩的代數(shù)和，順時針為正。 qa31265 qaMD FS FA a a q (P117) 例 3 求 1-1、 2-2截面上的內(nèi)力。 A e221 MqaaFM qaFF S qaqa 22 221 qaqaaqa FS M q F=qa Me=2qa2 解： 1-1截面 qa2221 qaB a q a 2 2 1 C 1 F=qa Me=2qa2 e232 MaqaaFM qaFF S qaqaqa 222 2232 qaqaaqa 223 qa2-2截面 FS M q F=qa Me=2qa2 A B a q a 2 2 1 C 1 F=qa Me=2qa2 54 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖 求 x截面上的內(nèi)力。 解： qxF S22xqM FS= FS(x) 剪力方程 ) ( x M M 彎矩方程 FS x ql 22qlM 0M0x， lx， l x M x 22ql ,0S F, S qlF A B F a C l b 例 5.4（ P77） 建立梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。 FA FB x1 x2 解 :(1)求支座反力 FlbF A FlaF B (2)寫出內(nèi)力方程 AFxF )( 1S11 )( xFxM AFFxF A )( 2S)()( 22 xlFxM B AC段： CB段： 1FxlbFFlb Fl lb )( 2xlFla Fla FlbFlbxF )( 1SFS x M x + FlbFla(3)根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 FlaxF )( 2S A B F a C l b FA FB x1 x2 M x FS x + FlbFla)( 1xM1Fxlb)( 2xM )(2xlFla lFab+ 0MlF a bM , 01 x, 1 ax 0MlF a bM , 2 ax , 2 lx A B F a C l b FA FB x1 x2 FlbxF )( 1S(3)根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 FlaxF )( 2S (4)內(nèi)力圖特征 在集中力作用的地方，剪力圖有突變，外力 F向下， 剪力 圖向下變，變化值 =F 值；彎矩圖有折角。 + FlbFla+ lFabA B F a C l b FA FB x1 x2 例 6 建立梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。 x1 x2 解： (1)求支座反力 lMFAelMFBe(2)寫出內(nèi)力方程 AS FxF )( 111 )( xFxM ABS FxF )( 2)()( 22 xlFxM B AC段： CB段： 1e xlMlM e)( 2e xllM A B Me a C l b lM eFA FB lMxF e1S )( )( 2S xFlMex M x lMe+ FS (3)根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 x1 x2 A B Me a C l b FA FB M x )( 1xM1e xlM)( 2xM )( 2e xllM eMla+ eMlbx lMe+ FS 0MeMlaM , 01 x, 1 ax 0Me MlbM , 2 ax , 2 lx x1 x2 A B Me a C l b FA FB lMxF e1S )( )( 2S xFlMe(3)根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 (4)內(nèi)力圖特征 在集中力偶作用的地方，剪力圖無突變；彎矩圖有突變，Me逆時針轉(zhuǎn)， 彎矩圖向負(fù)方向變，變化值 =Me值。 eMlaeMlbM圖 lMe+ FS圖 + x1 x2 A B Me a C l b FA FB A B q a 例 5.3 （ P76） 建立梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。 FA FB 解： (1)求支座反力 AF BF(2)寫出內(nèi)力方程 qxFxF A )(SxFxM A)(qxqa 222121 qxq a x 221 qx2qax x 2qaFS )(S xFqxqa 2+ 2qa（ 3）根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 2SqaF , 0x2 SqaF , ax FA FB A B a x q M x x 2qaFS + 2qa82qa)( xM22121 qxq a x + 2a0M0M, 0x, ax 8 2qaM , 2ax )(S xFqxqa 2（ 3）根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 2SqaF , 0x2 SqaF , ax FA FB A B a x q M x (4)內(nèi)力圖特征 在均布力作用的梁段上，剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線，均布力向下作用，拋物線開口向負(fù)方向。 拋物線的極值在剪力為零的截面上。 M圖 2qaFS圖 + 2qa82qa+ 2aA B a x q B 2a a A q C 2qaF 例 8 建立梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。 x1 x2 解： (1)寫出內(nèi)力方程 FxF )( 1S11 )( FxxM 222 )(2121 axqqax )()( 22S axqFxF 2222 )(21)( axqFxxM )(2 2axqqa 121 qax2qax 23qaFS 2qa(2)根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 2)( 1SqaxF )(2)( 22S axqqaxF + , 2 ax , 32 ax M x B 2a a A q C 2qaF x1 x2 2SqaF 23 SqaF M x x 23qaFS 2qa + 11 21)( qaxxM 222 )(2121 axqqax )( 2xM22qa22qa0, 01 Mx2 , 21qaMax 2 , 22qaMax 2 , 322qaMax 二次拋物線的升降，開口方向，極值點 B 2a a A q C 2qaF x1 x2 x x 23qaFS 2qa + 222 )(2121 axqqax )( 2xM22d)(dxxM )( 2 2 axqqa )( 2S xF極值點： 0)( 2S xF令0 )( 2 2 axqqa即 ： 得： ax 230 23a20 85 qaM 85 2qa+ B 2a a A q C 2qaF x1 x2 M 22qa22qa一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系 取一微段 dx， 進(jìn)行平衡分析。 , 0 yF)(dd)( S xFxxq q(x) q(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx A xqxxFdd S剪力的導(dǎo)數(shù)等于該點處荷載集度的大小。 55 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系 dx x )(S xF xxq d)( )(d)( SS xFxF 0, 0 AM)(d )(d S xFx xM 彎矩圖的導(dǎo)數(shù)等于該點處剪力的大小。 )(d )(d 22xqx xM 彎矩與荷載集度的關(guān)系。 忽略高階微量 22d)(dxxM )(xqq(x) M(x)+d M(x) FS(x)+dFS (x) FS(x) M(x) dx A xxFd)(d SxxF )d(S 2) ( d(21 xxq )( xM )(d)( xMxM 0xxF )d(S 0)(d xM)(d )(d S xFx xM )(d )(d 22xqx xM xqxxFdd S 1、若 q=0，則 FS=常數(shù)， M是斜直線； 2、若 q=常數(shù)，則 FS是斜直線 ，M為二次拋物線； 3、 M的極值發(fā)生在 FS=0的截面上。 二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系 外力 無外力段 均布載荷段 集中力 集中力偶 q=0 q0 q0 FS FS0 x 斜直線 增函數(shù) x FS x FS 降函數(shù) x FS C FS1 FS2 FS1FS2=F 向下突變 x FS C 無變化 斜直線 x M 增函數(shù) x M 降函數(shù) 曲線 x M 有折角 向下突變 mMM 12 M x M2 M1 C F x M )(d )(d S xFx xM 4、將微分關(guān)系轉(zhuǎn)為積分關(guān)系 baab xxqFF )d(SSxxFxM d)()(d S ba xxFxMbMaM)d()(d S baab xxFMM )d(S的面積區(qū)間上 SFab)(d)(d SxqxxFxxqxF d)()(d S ba xxqxFFF )d()(dSbSa S的面積區(qū)間上 qab的面積區(qū)間上 SFabMM ab 的面積區(qū)間上 qabFF ab SS簡易作圖法 : 利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及 特殊點 的內(nèi)力值來作 圖的方法。 例 4 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。 解 : 特殊點 :端點、分區(qū)點（外力變化點）和駐點等。 a a qa q A C B FS x 223 qaqa2 qa x M 根據(jù) 及 FS圖和 M圖的特征作