二元一次方程公式.doc

二元一次方程組(一) 一、重點、難點 1、二元一次方程及其解集 (1)含有兩個未知數，并且未知數項的次數是1的整式方程叫二元一次方程 (2)二元一次方程的解是無數多組 2、二元一次方程組和它的解 (1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組 (2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做二元一次方程組的解 3、二元一次方程組的解法 (1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示，然后代入另一個方程，就可以消去一個未知數 (2)加減消元法：先利用等式的性質，用適當的數同乘以需要變形的方程的兩邊，使兩個方程中某個未知數的系數的絕對值相等，然后把兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數 4、三元一次方程組及其解法 (1)含有三個未知數，每個方程的未知數的次數都是1，并且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組 (2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把“三元”轉化為“二元”(將未知問題轉化為已知問題，再將“二元”轉化為“一元”) 二、例題分析： 例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代數式表示y2)用含y的代數式表示x 答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y 例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值 解：|x|=2 x=2,或x=-2 又x+y=0 y=-2,或y=2 故y+2=0,或y+2=4 例3：已知方程組 的解是 ，求a與b的值 分析：方程組的解就是適合原方程組，所以將 代入方程可以得到關于a,b的新的方程。 解：因為方程組 的解是 所以 （1）2得2a-4=2b (3) （3）-（2）得-5=2b-2 b=- 將b=- 代入（1）得a= 答案：a= , b=- 例4：方程x+3y=10在正整數范圍內的解有_組，它們是_。 答案：3； 例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為_ 答案：3x-5y+17=0 例6：已知關于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。 當 k=_時，方程為一元一次方程， 當 k=_時，方程為二元一次方程。 分析：題目中沒有規(guī)定未知數，所以x,y都可以。因此注意分兩種可能。 解：第一問關于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程， （1）或 （2） 方程組（1）的解為k=-1,(2)無解當k=-1時原方程為一元一次方程 第二問關于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程 解得k=1 當k=1時原方程為二元一次方程 例7：二元一次方程組 的解中x與y互為相反數，求a的值 解：原方程組的解中x與y互為相反數 x=-y （1） 將（1）代入原方程組，得 a= 二元一次方程組（二） 一、對應用題的觀察和分析 利用二元一次方程組解有關的應用題時，對應用題進行觀察和分析，要著重注意如下三點： (1)題中有哪幾個未知數(包括明顯的未知數和隱含的未知數)？ (2)題中的未知數與已知內容之間有哪幾個相等關系(包括明顯的相等關系和隱含的相等關系)？題中有幾個未知數，一般就要找出幾個相等關系. (3)設立哪幾個未知數，利用哪幾個相等關系，可以較方便地把其余未知數用所設未知數的代數式表示出來？(利用剩下的等量關系列方程組.) 二、常見幾類應用題及其基本數量關系 明確各類應用題中的基本數量關系，是正確列出方程的關鍵.常遇到的幾類應用題及其基本關系如下： 1.行程問題：基本關系式為: 速度時間=距離 2.工程問題：基本關系式為: 工作效率工作時間=工作總量 計劃數量超額百分數=超額數量 計劃數量實際完成百分數=實際數量 3.百分比濃度問題：基本關系式為: 溶液百分比濃度=溶質 4.混合物問題：基本關系式為: 各種混合物重量之和=混合后的總重量 混合前純物重量=混合后純物重量 混合物重量含純物的百分數=純物的重量 5.航行問題：基本關系式為: 靜水速度+水速=順水速度 靜水速度-水速=逆水速度 6.數字問題要注意各數位上的數字與數位的關系. 7.倍比問題，要注意一些基本關系術語，如：倍、分、大、小等. 三、例題精析 如何分析應用題： 例1. 某單位外出參觀.若每輛汽車坐45人，那么15人沒有座位；若每輛汽車坐 60人，則恰好空出一輛汽車，問共需幾輛汽車，該單位有多少人？ 思考如下： （1）題目中的已知條件是什么？ （2）“有人沒有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知條件“每輛車坐45人，15人沒有座位”可理解成什么？“每輛車坐60人，恰好空出一輛車”又可理解成什么？ 解：設該單位共有x輛車，y個人.依題意，得 解這個方程組，得 答：該單位共有5輛車，240人. 例2. 汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤 小時到達；若每小時行駛50千米，就可以提前 小時到達。求甲、乙兩地間的距離及原計劃行駛的時間。 思考問題： （1）路程、速度、時間三者關系是什么？ （2）本題中的“延誤”和“提前”都是以什么為標準的？ （3）基于上述分析，那么已知條件“汽車每小時行使45千米，則要延誤 小時到達目的地”可理解成什么？已知條件“若每小時行駛50千米，就可以提前 小時到達目的地”又可理解成什么？ 解：設甲、乙兩地的距離為x千米，原計劃行駛時間為y小時.依題意，得 解這個方程組，得 答：甲、乙兩地間的距離是450千米，原計劃行使時間為 小時。 例3. 甲、乙兩人在周長是400米的環(huán)形跑道上散步.若兩人從同地同時背道而行，則經過2分鐘就相遇.若兩人從同地同時同向而行，則經過20分鐘后兩人相遇.已知甲的速度較快，求二人散步時的速度.(只列方程，不求出) 分析：這個問題是環(huán)形線上的相遇、追及問題.其中有兩個未知數：甲、乙二人各自的速度.有兩個相等關系，即 (1)背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和=400米； (2)同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400米. 解：設甲人速度為每分鐘x米，乙人速度為每分鐘行走y米.依題意，得 四、如何設未知數 列方程解應用題的第一步是設未知數，設未知數的方法很多，有時可直接設所求量為未知數，有時應間接地設未知數，還有的時候需要增設輔助未知數.那么，如何巧設未知數，以達到迅速解題的目的呢？ 直接設所求量為未知數 例1. A，B兩地相距 20千米.甲、乙兩人分別從A，B兩地同時相向而行，兩小時后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍繼續(xù)前進，當甲回到A地時，乙離A地還有2千米.求甲、乙的速度. 分析：這個問題是直線行駛中的相遇、追及問題.其中設兩個未知數：甲、乙各自的速度，有兩個相等關系. 解：設甲人的速度是每小時行x千米，乙人的速度是每小時y千米.依題意，得 解這個方程組，得 合理選擇，間接設元 許多同學在解應用題時只考慮題目要求什么就設什么為未知數.這種方法有時很難尋找已知量與未知量之間的相等關系.因此，我們應根據題目條件選擇與要求的未知量有關的某個量為未知數，以便找出符合題意的相等關系，從而達到解題的目的. 例2. 從夏令營到學校，先下山然后走平路，某同學先騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度通過平路，到達學校共用55分鐘，他回來的時候以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山回到夏令營用了1 小時。從夏令營到學校有多少千米？ 分析：根據題設條件，若設山路長為未知數x，則由來回的平路長相等得方程： 9 ； 同樣可設平路長為未知數，由來回山路長相等得方程 12 還可設山路長和平路長分別為x千米，y千米，由來回的時間關系建立二元一次方程組 或設下山和上山的時間分別為x小時，y小時.由來回山路長和平路長分別相等得到二元一次方程組 設而不求，巧用輔助量 當應用題中涉及的量較多，各個量之間的關系又不明顯時，可適當地增設輔助未知數，目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作橋梁，溝通各個數量之間的關系，為列方程(組)創(chuàng)造條件.在解題過程中需將輔助未知數消去，以便求出所需未知數的值. 例1. 一客輪逆水行駛，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客發(fā)現(xiàn)后，輪船立即掉頭去追，已知輪船從掉頭到追上共用5分鐘，問乘客丟失了物品，是幾分鐘后發(fā)現(xiàn)