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整式基本概念及加減運算考試內(nèi)容A（基本要求）B（略高要求）C（較高要求）代數(shù)式理解用字母表示數(shù)的意義會列代數(shù)式表示簡單的數(shù)量關(guān)系；能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義代數(shù)式的值了解代數(shù)式的值的概念會求代數(shù)式的值；能根據(jù)代數(shù)式的值或特征推斷代數(shù)式反映的規(guī)律能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算；能通過代數(shù)式的適當(dāng)變形求代數(shù)式的值整式了解整式的概念，理解單項式的系數(shù)與次數(shù)、多項式的次數(shù)、項與項數(shù)的概念，明確它們之間的關(guān)系整式的加減運算理解整式加、減運算的法則會進(jìn)行簡單的整式加、減運算能合理運用整式的概念及其加減運算對多項式進(jìn)行變形，進(jìn)一步解決有關(guān)問題板塊一 代數(shù)式、單項式、多項式代數(shù)式用基本的運算符號(加、減、乘、除、乘方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式.列代數(shù)式列代數(shù)式實質(zhì)上是把“文字語言”翻譯成“符號語言”。列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確地分析數(shù)量關(guān)系，要掌握和、差、積、商、冪、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等數(shù)學(xué)概念和有關(guān)知識.在列代數(shù)式時，應(yīng)注意以下幾點：1) 在同一問題中，要注意不同的對象或不同的數(shù)量必須用不同的字母來表示；2) 字母與字母相乘時可以省略乘號；3) 在所列代數(shù)式中，若有相除關(guān)系要寫成分?jǐn)?shù)形式；4) 列代數(shù)式時應(yīng)注意單位，單位名稱在代數(shù)式后面寫出來，如果結(jié)果為加減關(guān)系，必須用括號將代數(shù)式括起來；5) 代數(shù)式中不要使用帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時必須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)單項式像，這些代數(shù)式中，都是數(shù)字與字母的積，這樣的代數(shù)式稱為單項式.也就是說單項式中不存在數(shù)字與字母或字母與字母的加、減、除關(guān)系，特別的單項式的分母中不含未知數(shù).單獨的一個字母或數(shù)也叫做單項式，例：、.單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和.例如：單項式，它的指數(shù)為，是四次單項式.單獨的一個數(shù)(零除外)，它們的次數(shù)規(guī)定為零，叫做零次單項式. 特征：分母中無字母。一個數(shù)字也是一個單項式，它的次數(shù)是0。僅僅是字母的指數(shù)，而沒有系數(shù)的指數(shù)單項式的系數(shù)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項數(shù)的系數(shù).系數(shù)是對某些字母而言，例如對所有字母來講，它的系數(shù)是；而對字母而言，它的系數(shù)就是.在沒有明確交代的時候，我們規(guī)定單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式（或字母因數(shù)）的系數(shù).例如：的系數(shù)是.如果一個單項式，只含有字母因數(shù)，帶正號的單項式（例如ab2）的系數(shù)為1，帶負(fù)號的單項式（例如：ab2）的系數(shù)為1。的系數(shù)是，的系數(shù)是1。同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.多項式幾個單項式的和叫做多項式.例如：是多項式.有時，為了運算的方便，根據(jù)加法交換律，可以改變多項式中各項的位置（即移項），但在移項時一定要連同該項的符號一起移動。多項式的項其中每個單項式都是該多項式的一個項.多項式中的各項包括它前面的符號.多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項.多項數(shù)的次數(shù)多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)多項式的升（降）冪排列把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小（大）到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋?，叫做把多項式按這個字母升（降）冪排列.整式單項式和多項式統(tǒng)稱為整式. 整式的特征是分母不含字母。分母含有字母的叫分式。附：l 代數(shù)式：用基本的運算符號（包括加+、減-、乘、除、乘方、開方、（）等）把數(shù)、表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式，單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。說明：代數(shù)式書寫時需注意：1) 數(shù)與字母、字母與字母相乘時乘號省略不寫，數(shù)字要寫在字母前面，如；數(shù)字因數(shù)是1或1時，“1”省略不寫，如mn；2) 帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時要化成假分?jǐn)?shù)，如：要寫成的形式；3) 除號要改寫成分?jǐn)?shù)線，如：ab要寫成；4) 書寫單位時要把代數(shù)式用括號括起來，如（）平方米。5) 代數(shù)式的系數(shù)：在代數(shù)式中，每一項字母前的數(shù)字因數(shù)叫做這一項的系數(shù)。說明：當(dāng)系數(shù)是1或1時，1省略不寫，如ab，等。探究引導(dǎo)：在小學(xué)我們研究過一些圖形的面積，如三角形、正方形、長方形和圓的面積公式，我們知道三角形的面積底高2，正方形的面積邊長邊長，長方形的面積長寬；圓的面積。如下圖所示，我們用一些字母代替三角形的底和高、正方形的邊長、長方形的長和寬、圓的半徑，那么這些面積公式就可以分別表示為：三角形的面積為;長方形的面積為；正方形的面積為; 圓的面積為.這些面積公式的表現(xiàn)形式比文字表示要簡捷。象，st，這些式子都是代數(shù)式，它們都是數(shù)與字母的積，它們的系數(shù)分別是，1，1，。l 整式的有關(guān)概念u 單項式的定義：都是數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式說明：判斷一個代數(shù)式是不是單項式，主要是根據(jù)代數(shù)式中數(shù)字和字母間是否都是乘法運算關(guān)系如就不是一個單項式，因為2y與x之間是除法運算但是，ab2是單項式，因為是一個數(shù)a2是一個單項式，因為a2可以看作是aa特別地，單獨的一個數(shù)或單獨的一個字母也都是單項式，如3，0， ，x，等都是單項式1) 單項式次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)說明：單項式的次數(shù)，是指這個單項式中將所有字母指數(shù)相加得到的和如單項式3x2、2xy、x2y、x的次數(shù)分別是2、2、3、1特別地，單獨的一個數(shù)字，如3，等，可以當(dāng)做0次單項式來看待2) 單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)即為單項式的系數(shù)說明：在單項式中，系數(shù)只與數(shù)字因數(shù)有關(guān)；次數(shù)只與字母有關(guān)如x3yz4的系數(shù)是1，次數(shù)為3148u 多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式說明：多項式是由幾個單項式相加得到的，如多項式x22x1是由單項式x2，2x和1相加而得到的1) 多項式的次數(shù)：一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)說明：在確定多項式的次數(shù)時，應(yīng)先計算出多項式的每一項的次數(shù)，然后再確定多項式的次數(shù)，即取次數(shù)最大的項的次數(shù)作為該多項式的次數(shù)如，多項式x3x2y2x中，單項式x3的次數(shù)是3，單項式x2y2的次數(shù)是4，單項式x的次數(shù)是1，所以多項式x3x2y2x的次數(shù)是42) 多項式的項數(shù)：一個多項式中有幾個單項式就有幾項每一個單項式就是一項。說明：多項式的項，包括符號如多項式53x2中，二次項是3x23) 常數(shù)項的定義：在多項式中，不含有字母的項叫做多項式的常數(shù)項。4) 降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列5) 升冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列說明：把多項式按升冪或降冪排列時，一定要弄清是針對哪個字母的排列，排列時只看這個字母的指數(shù)，而后按照加法交換律交換項的位置對于不同的字母，排列后的順序往往不同，切記重新排列多項式時，各項一定要帶著符號移動位置如：x32x4y7xy3y472x4yx37xy3y477y47xy3x32x4y y47xy32x4yx37 7x32x4y7xy3y4 其中，是按x的降冪排列；是按x的升冪排列；是按y的降冪排列；是按y的升冪排列6) 整式的定義：單項式和多項式統(tǒng)稱整式說明：知道一個代數(shù)式，不論是單項式還是多項式，都一定是整式；反之，如果已知一個代數(shù)式是整式，那么它或者是單項式，或者是多項式，二者必具其一如單項式3x2，x等都是整式，多項式3x，x3x1等都是整式；在整式2x，x41中，2x是單項式，x41是多項式探究引導(dǎo)：4a, ,x,a2h等，都是數(shù)字與字母的乘積.例如4a是4與a的積，是與b2的積， x是與x的積，a2h是1與a2h的積.像這樣的代數(shù)式我們把它們都叫做單項式，其中的數(shù)字因式如“4”“”“”“1”是單項式的系數(shù).，每個單項式中所有字母的指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。如是二次單項式，這里要注意是一個常數(shù)，不是一個字母，所以單項式中只有一個字母b，它的指數(shù)是2，就是一個二次單項式。代數(shù)式4a4b是單項式4a,4b的和，像這樣的幾個單項式的和所形成的代數(shù)式，我們把它叫做多項式.，每個單項式就是這個多項式的一項，多項式4a4b中的項是4a和4b，要注意多項式的項包括符號，所以第二項是4b。在一個多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù). x2y這一項在x2y+2y1中次數(shù)最高，因此我們把x2y的次數(shù)3作為多項式x2y+2y1的次數(shù)，即x2y+2y1是一個三次三項式。l 例題頻道1、與代數(shù)式有關(guān)的題型 例1. 用代數(shù)式表示： （1）把溫度是t的水加熱到100，水溫升高了_。 （2）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，則這個兩位數(shù)可表示為_。 （3）用字母表示兩個連續(xù)奇數(shù)為_。 （4）若正方體的棱長是a1，則正方體的表面積為_。 （5）如圖，亮亮家裝飾新家，他為自己的房間選了一款窗簾（上方陰影固定），請你幫他計算可以射進(jìn)陽光的面積為_米2。 思維直現(xiàn)：（1）溫度差別就是末了溫度初始溫度；（2）一個兩位數(shù)的表示方法：十位數(shù)字10各位數(shù)字；（3）連續(xù)奇數(shù)之間相差2；（4）正方體的表面積棱長棱長6；（5）射進(jìn)陽光的面積長方形面積陰影部分的面積。 解：1） 2） 3）4）5） 閱讀筆記：用代數(shù)式表示，要仔細(xì)讀題，找到題目中的等量關(guān)系，將需要表示的量表達(dá)出來，書寫代數(shù)式時要注意：（1）數(shù)與字母、字母與字母相乘時乘號省略不寫，數(shù)字要寫在字母前面，如10ba；數(shù)字因數(shù)是1或1時，“1”省略不寫，如（100t）；（2）帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時要化成假分?jǐn)?shù)，如：要寫成的形式；（3）除號要改寫成分?jǐn)?shù)線，如：ab要寫成；（4）書寫單位時要把代數(shù)式用括號括起來，如（）平方米。例2. 用語言敘述下列代數(shù)式的實際意義。 解：（1）如果用a表示一支鉛筆的價格，那么3a表示3支鉛筆的價格。 （2）如果用a，b分別表示兩個正方形的邊長，那么a2b2表示這兩個正方形面積之和。 （3）如果用x表示過去的產(chǎn)量，那么（120%）x表示減少20%以后的產(chǎn)量。 圓面積與正方形面積之差。閱讀筆記：要解釋代數(shù)式，就要熟悉代數(shù)所能表示的問題背景，如可表示邊長為a的正方形的面積，可表示半徑為a的圓的面積等。這樣才能寫出合理的代數(shù)式的意義。2、單項式、多項式的概念有關(guān)的題型例3 一個五次多項式，它的任何一項的次數(shù)都A小于5B等于5C不小于5D不大于5思維直現(xiàn)：由于多項式的次數(shù)是“多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)”，因此五次多項式中，次數(shù)最高的項是五次的，其余的項的次數(shù)可以是五次的，也可以是小于五次的，卻不能是大于五次的因此，五次多項式中的任何一項都是不大于5次的解答：選D。閱讀筆記：多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)是多項式的次數(shù)，如果直接問是幾次多項式，要先求出每一項的次數(shù)，找出最高次作為多項式的次數(shù)，而本題是告訴是五次多項式，想象一下多項式中每一項的次數(shù)情況，這里有一個逆向思維的問題。例4說出下列各多項式分別是幾次幾項式(1)3x23；(2)a2b2a3b4；(3)；(4)(a3b31)；(5)x6x53x212xa；(6)2(xyx3y4)思維直現(xiàn)：需要找出多項式的每一項，算出每一項的次數(shù)，然后回答是幾次幾項式。解：(1)多項式3x23是次項式；(2)多項式a2b2a3b4是次項式；(3)因為x2x4，所以多項式是次項式；(4)因為(a3b31)a3b3，所以多項式(a3b31)是次項式；(5)多項式x6x53x212xa是次項式；(6)因為2(xyx3y4)2xyx32y24，所以多項式2(xyx3y4)是次項式閱讀筆記：當(dāng)所給的多項式不能直觀地辨別其次數(shù)和項數(shù)時，就需要對其整理變形，使其成為標(biāo)準(zhǔn)形式的多項式如第(3)、(4)、(6)小題，變形后便容易多了另外，常數(shù)項中的指數(shù)，不能做為多項式的次數(shù)如第(1)、(6)小題中23、4，不影響多項式的次數(shù)（二）思維重點突破例5若3axym是關(guān)于x、y的單項式，且系數(shù)為6，次數(shù)為3，則a_，m_思維直現(xiàn)：“關(guān)于x、y的單項式”說明只有x、y才是單項式中的字母，a只是系數(shù)的一部分，所以3a是系數(shù)，也就是6，即3a6，解得：a2而單項式的次數(shù)是x、y的指數(shù)和：（1m），也就是3因此1m3得m2例6當(dāng)x為何值時，下列多項式可化簡為關(guān)于y的一次單項式(1)x5y5；(2) 6思維直現(xiàn)：把一個多項式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一字母的單項式，就是指除符合題目要求的項保留外，其余各項的和等于0如(1)中，要使多項式x5y5化簡為關(guān)于y的一次單項式，只保留5y這一項，其余各項的和為0，即使x50的x的值即為所要求的x的值解：(1)由x50，即x5，得x所以當(dāng)x時，多項式x5y5可化簡為關(guān)于y的一次單項式(2)多項式6可化為xy4由x40，即x4，得x8所以當(dāng)x8時，多項式6可化簡為關(guān)于y的一次單項式l 方法頻道 由解題理解知識，由知識學(xué)會解題1. 對單項式、多項式、整式進(jìn)行判斷例1判斷下列各代數(shù)式，哪些是單項式，哪些是多項式，哪些不是整式(1)3xy2；(2)2x31；(3)(xy1)；(4)a2；(5)0；(6)；(7)；(8)；(9)x21；(10)；解：單項式有：(1)3xy2，(4)a2，(5)0，(7)；多項式有：(2)2x31，(3) (xy1)；不是整式的有：(6)，(8)，(9)x21，(10)知識體驗：只有數(shù)字與字母的乘積，這樣的代數(shù)式是單項式，幾個單項式的和組成多項式，單項式和多項式都是整式。在數(shù)字和字母之間只出現(xiàn)了乘法、加法、減法（可轉(zhuǎn)化為加法）的運算，這樣的代數(shù)式就是整式。沒有出現(xiàn)2x即,或x2即這樣的式子，那么,是整式嗎？可以寫成x,所以是單項式，而是數(shù)字與字母的商，所以不是單項式，更不是整式，所以整式最顯著的特征是字母不能作分母。所以(6)；(8)；(9)x21；(10)；這幾個代數(shù)式分母中含有字母，就不是整式。易錯提示：(6)和(7)這兩個代數(shù)式常會誤以為都是單項式，（7）可以看成，所以是單項式，而（6）是2xy，所以不是單項式也不是整式。(3) (xy1)；會誤以為是單項式，其實 (xy1)x+y+，所以是三個單項式的和，是一個多項式。2、說出單項式、多項式的次數(shù)和項例2 指出各單項式的系數(shù)與次數(shù)：（1） （2）-mn3; （3） （4）3；解：（1）的系數(shù)是，次數(shù)是3.（2）-mn3的系數(shù)是-1，次數(shù)是4.（3）的系數(shù)是，次數(shù)是5.（4）3的系數(shù)是3，次數(shù)是0。知識體驗：單項式的系數(shù)，包括前面的符號，當(dāng)單項式的系數(shù)是1或1時，“1”省略不寫，如-nm3中，系數(shù)是1，則把“1”省略不寫；圓周率只是一個常數(shù)符號，不能把它作為字母，如：的系數(shù)是，次數(shù)是5。另外，像3，0等這樣的常數(shù)，是零次單項式易錯提示：-nm3的系數(shù)是-1；的系數(shù)是，次數(shù)是5，如寫成系數(shù)是，次數(shù)是6就不對了.例3、填空：（1）多項式2x4-3x5-24是 次 項式，最高次項的系數(shù)是，四次項的系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ，補足缺項后按字母x升冪排列得 ；（2）多項式a3-3ab2+3a2b-b3是 次 項式，它的各項的次數(shù)都是 ，按字母b降冪排列得 .解：（1）五，三，-3，2，24，-24+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.應(yīng)用體驗：24是常數(shù)項，不是4次項。確定多項式項時不要漏掉前面的符號，移動多項式的某一項的位置時，要連同前面的符號一起移動，這些都是容易犯錯誤的地方，要引起高度重視。另外，第（2）小題所給多項式各項次數(shù)都等于3，一般稱這樣的三次多項式為三次齊次式.解題技巧：多項式應(yīng)看作是省略括號的和的形式因此，當(dāng)確定多項式的項時，應(yīng)包括符號另外，圓周率是一個常數(shù)回答多項式是幾次幾項式時，數(shù)字要大寫.如五次三項式，不能寫成5次3項式.；補足缺項，是把升（或降）冪排列中缺少次數(shù)的項的系數(shù)用零表示補入式中.，移動多項式的某一項的位置時，要連同前面的符號一起移動.，對含有兩個以上字母的多項式，一般按其中的某一個字母的指數(shù)大小順序排列，本題是按規(guī)定的字母指數(shù)大小排列。l 例題講解第 8 頁 共 8 頁【例1】 下列哪些是代數(shù)式，哪些不是代數(shù)式？ 0 【鞏固】 ，都是有理數(shù)，說出下列式子