正余弦定理的應用.doc

1正余弦定理的邊角互換功能對于正、余弦定理，同學們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它其實，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們兩個定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關系轉化為角的關系，也可以把角的關系轉化為邊的關系，從而使許多問題得以解決例1已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，求的值解：(這是角的關系)， (這是邊的關系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且a、b、c成等差數(shù)列求證：sinAsinC2sinB證明：a、b、c成等差數(shù)列，ac2b(這是邊的關系)又將、代入，得整理得sinAsinC2sinB(這是角的關系)2正、余弦定理的巧用某些三角習題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一個三角形的三個內角設這三個內角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（）而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入()式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150原式例4在ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長()分析：由于題設條件中給出了三角形的兩角之間的關系，故需利用正弦定理建立邊角關系其中利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關于邊長的方程，從而達到求邊長的目的解：設三角形的三邊長分別為，1，2，其中*，又設最小角為，則 ,又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos將代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三邊長為4，5，6評述： 此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉化，從而建立關于邊長的方程例5已知三角形的一個角為60，面積為10c2，周長為20c，求此三角形的各邊長分析：此題所給的題設條件除一個角外，面積、周長都不是構成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關系，故可以設出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)，所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公式ABCabsinC表示面積，其三是周長條件應用解：設三角形的三邊長分別為a、b、c，B60，則依題意得 由式得：b220（ac）2400a2c22ac40（ac） 將代入得4003ac40（ac）0再將代入得ac13由 b17，b27所以，此三角形三邊長分別為5c，7c，8c評述： (1)在方程建立的過程中，應注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應用(2)由條件得到的是一個三元二次方程組，要注意要求學生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運算能力六、講解范例：例1在任一ABC中求證：證：左邊=0=右邊例2 在ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120當A=60時C=75 當A=120時C=15 解二：設c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之：當時 從而A=60 ，C=75當時同理可求得：A=120 ，C=15例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120（2）由題設： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長解：在ABD中，設BD=x則即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 例5 ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 ; 2求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1設三邊 且C為鈍角 解得 或3 但時不能構成三角形應舍去當時 2設夾C角的兩邊為 S當時S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長分析：此題所給題設條件只有邊長，應考慮在假設BC為后，建立關于的方程而正弦定理涉及到兩個角，故不可用此時應注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然用利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質建立方程解：設BC邊為，則由D為BC中點，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC解得，2, 所以，BC邊長為2評述：此題要啟發(fā)學生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質的應用，并注意總結這一性質的適用題型另外，對于本節(jié)的例