第八章_Black-Scholes_模型(金融衍生品定價(jià)理論講義).doc

第八章 Black-Scholes 模型金融學(xué)是一門具有高度分析性的學(xué)科，并且沒有什么能夠超過連續(xù)時(shí)間情形。概率論和最優(yōu)化理論的一些最優(yōu)美的應(yīng)用在連續(xù)時(shí)間金融模型中得到了很好地體現(xiàn)。Robert C. Merton，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，在他的著名教科書連續(xù)時(shí)間金融的前言中寫到：過去的二十年證明，連續(xù)時(shí)間模型是一種最具有創(chuàng)造力的多功能的工具。雖然在數(shù)學(xué)上更復(fù)雜，但相對離散時(shí)間模型而言，它能夠提供充分的特性來得到更精確的理論解和更精練的經(jīng)驗(yàn)假設(shè)。LL因此，在動(dòng)態(tài)跨世模型中引入的真實(shí)性越多，就能夠得到比離散時(shí)間模型越合理的最優(yōu)規(guī)則。在這種意義上來說，連續(xù)時(shí)間模型是靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之間的分水嶺。直到目前為止，我們已經(jīng)利用二項(xiàng)樹模型來討論了衍生證券的定價(jià)問題。二項(xiàng)樹模型是一種離散時(shí)間模型，它是對實(shí)際市場中交易離散進(jìn)行的一種真實(shí)刻畫。離散時(shí)間模型的極限情況是連續(xù)時(shí)間模型。事實(shí)上，大多數(shù)衍生定價(jià)理論是在連續(xù)時(shí)間背景下得到的。與離散時(shí)間模型比較而言，盡管對數(shù)學(xué)的要求更高，但連續(xù)時(shí)間模型具有離散時(shí)間模型所沒有的優(yōu)勢：（1）可以得到閉形式的解。閉形式解對于節(jié)省計(jì)算量、深入了解定價(jià)和套期保值問題至關(guān)重要。（2）可以方便的利用隨機(jī)分析工具。任何一個(gè)變量，如果它的值隨著時(shí)間的變化以一種不確定的方式發(fā)生變化，我們稱它為隨機(jī)過程。如果按照隨機(jī)過程的值發(fā)生變化的時(shí)間來分，隨機(jī)過程可以分為離散時(shí)間隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程。如果按照隨機(jī)過程的值所取的范圍來分，隨機(jī)過程可以分為連續(xù)變量隨機(jī)過程和離散變量隨機(jī)過程。在這一章中，我們先介紹股票價(jià)格服從的連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量的隨機(jī)過程：布朗運(yùn)動(dòng)和幾何布朗運(yùn)動(dòng)。理解這個(gè)過程是理解期權(quán)和其他更復(fù)雜的衍生證券定價(jià)的第一步。與這個(gè)隨機(jī)過程緊密相關(guān)的一個(gè)結(jié)果是Ito引理，這個(gè)引理是充分理解衍生證券定價(jià)的關(guān)鍵。In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula.本章的第二部分內(nèi)容在連續(xù)時(shí)間下推導(dǎo)Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式，我們分別利用套期保值方法和等價(jià)鞅測度方法。并對所需的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最后討論標(biāo)的股票支付紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題。1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程我們先介紹Markov過程。定義：一個(gè)隨機(jī)過程稱為Markov過程，如果預(yù)測該過程將來的值只與它的目前值相關(guān)，過程過去的歷史以及從過去運(yùn)行到現(xiàn)在的方式都是無關(guān)的，即（1）這里，表示直到時(shí)間的信息。我們通常假設(shè)股票的價(jià)格過程服從Markov過程。假設(shè)IBM公司股票的現(xiàn)在的價(jià)格是100元。如果股票價(jià)格服從Markov過程，則股票一周以前、一個(gè)月以前的價(jià)格對于預(yù)測股票將來價(jià)格是無用的。唯一相關(guān)的信息是股票當(dāng)前的價(jià)格100元。由于我們對將來價(jià)格的預(yù)測是不確定的，所以必須按照概率分布來表示。股票價(jià)格的Markov性質(zhì)說明股票在將來任何時(shí)間的價(jià)格的概率分布不依賴于價(jià)格在過去的特殊軌道。股票價(jià)格的Markov性質(zhì)與市場的弱形式的有效性有關(guān)。這說明股票現(xiàn)在的價(jià)格已經(jīng)包含了隱含在過去價(jià)格中的有用信息?？紤]一個(gè)隨機(jī)過程的變量。假設(shè)它現(xiàn)在的值為10，在任何時(shí)間區(qū)間內(nèi)它的值的變化量，服從正態(tài)分布，且不相交時(shí)間區(qū)間變化量是獨(dú)立的。在任何兩年內(nèi)它的值的變化量為，滿足=+由假設(shè)，與獨(dú)立，且服從，服從。兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的和為正態(tài)分布隨機(jī)變量，均值為各個(gè)均值的和，方差為各個(gè)方差的和。所以服從正態(tài)分布在任何半年內(nèi)，服從正態(tài)分布不確定性與時(shí)間的平方根成比例。上面假設(shè)的過程稱為布朗運(yùn)動(dòng) (Brownian motion)，也稱為Wiener process。這是一種特殊的Markov隨機(jī)過程，在每年的變化量的均值為0，方差為1。定義：一個(gè)(標(biāo)準(zhǔn)的、 1-維) 布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)的適應(yīng)過程z=,; 0t ，其值域?yàn)榍覞M足如下性質(zhì)：（1） a.s. （2） 對任意的 0s0, 這個(gè)概念可以類似地定義。性質(zhì)： 1）一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)既是 Markov 過程又是鞅。 2）在任何小時(shí)間區(qū)間內(nèi)的變化量為這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3）任何兩個(gè)小時(shí)間區(qū)間的變化量是獨(dú)立的?？紤]變量在時(shí)間內(nèi)的值的增加量?？梢园阉暈閦 在個(gè)小時(shí)間區(qū)間的增量的和，這里因此（2）這里是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。例子：推廣的Wiener 過程（3）這里視常數(shù)。為了理解（3），分別考慮它右邊的兩部分（1）說明在單位時(shí)間的期望漂移率為或者 這里是在時(shí)間0的值。（2）是加在軌道上的噪聲或者擾動(dòng)。在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間，的變化量為因此服從正態(tài)分布在一個(gè)時(shí)間區(qū)間，的變化量為正態(tài)分布所以推廣的Wiener過程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 為，方差率(variance per unit of time)為。Ito過程（4）在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間，的變化量為所以Ito過程在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間的期望漂移率為，方差率為。Ito引理2. 股票的價(jià)格過程我們討論不支付紅利股票價(jià)格服從的隨機(jī)過程。我們可以假設(shè)股票的價(jià)格過程服從推廣的Wiener 過程，即常的期望漂移率和常數(shù)方差率。但是，這個(gè)過程不滿足股票價(jià)格的一個(gè)關(guān)鍵特征：投資者要求的股票期望回報(bào)率應(yīng)該獨(dú)立于股票價(jià)格，股票回報(bào)率在短時(shí)間內(nèi)的變動(dòng)也應(yīng)該獨(dú)立于股票的價(jià)格。如果當(dāng)股票價(jià)格是10元時(shí)，投資者要求的每年期望回報(bào)率是14%，則當(dāng)股票的價(jià)格是50元時(shí)，投資者要求的每年期望回報(bào)率也是14%。通常我們也假設(shè)在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)，回報(bào)率的變動(dòng)也獨(dú)立于股票的價(jià)格。如下的Ito過程滿足要求這里為常數(shù)。我們稱之為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。這是應(yīng)用最廣泛的描述股票的價(jià)格過程。是股票價(jià)格的波幅，是股票價(jià)格的期望回報(bào)率。如果沒有隨機(jī)項(xiàng)，則在極限狀態(tài)下從而這說明，當(dāng)方差率為0時(shí)，股票價(jià)格以每單位時(shí)間連續(xù)復(fù)利率增長。例子：幾何布朗運(yùn)動(dòng)的離散時(shí)間版本為The variable is the change in the stock price, , in a small interval of time, ; and is a random drawing from a standardized normal distribution. The parameter, , is the expected rate of return per unit of time from the stock and the parameter, , is the volatility of the stock price. Both of these parameters are assumed constant. The left hand the above equation is the return provided by the stock in a short period of time, . The term is the expected value of this return, and the term is the stochastic component of the return. The variance of the stochastic component (and, therefore, of the whole return) is . This is consistent with the definition of the volatility, , that is , is such that is the standard deviation of the return in a short time period, . 正態(tài)分布參數(shù)和The process for the stock prices developed in this chapter involves two parameters and . The parameter, , is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock. Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of in any detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of . The parameter , the stock price volatility, is, by contrast, critically important to the determination of the value of most derivatives. Typical values of for a stock are in the range 0.20 to 0.40.對利用Ito引理得到這說明服從推廣的Wiener過程。從而在時(shí)間0和之間的變化量過程正態(tài)分布即的期望值的方差例子：股票在時(shí)間0和之間連續(xù)復(fù)利回報(bào)率的分布：例子：3. Black-Scholes公式：套期保值方法有許多種方法可以得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。我們在本節(jié)中給出的方法盡管不是最短的，卻是最直觀、最具有創(chuàng)造性的一種方法。Black-Scholes-Merton微分方程是以不支付紅利股票為標(biāo)的物的衍生證券價(jià)格都必須服從的方程。得到這個(gè)方程是得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的關(guān)鍵。Black-Scholes-Merton分析類似于二項(xiàng)樹模型中的套期保值方法。由標(biāo)的股票和期權(quán)構(gòu)成的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，所以由無套利原理，該證券組合的回報(bào)率應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)利率。能夠構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的原因在于，導(dǎo)致股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的不確定因素是相同的：股票價(jià)格的波動(dòng)。在任何短時(shí)間內(nèi)，看漲期權(quán)價(jià)格和標(biāo)的股票價(jià)格是完全正相關(guān)的?？吹跈?quán)價(jià)格和標(biāo)的股票價(jià)格是完全負(fù)相關(guān)的。在任何情況下，利用股票和期權(quán)，通過恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造證券組合，股票上的收益或者損失總是正好抵消期權(quán)上的損失或者收益。從而這個(gè)證券組合的回報(bào)是無風(fēng)險(xiǎn)的。這個(gè)特點(diǎn)是Black-Scholes-Merton分析的中心和得到定價(jià)公式的關(guān)鍵。例子：Black-Scholes-Merton分析和二項(xiàng)樹模型之間的主要差別在于，在Black-Scholes-Merton分析中，證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)的只是瞬間的事，所以必須時(shí)時(shí)刻刻調(diào)整股票和期權(quán)的頭寸來保證無風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)。 假設(shè)1：標(biāo)的股票的價(jià)格服從如下的隨機(jī)微分方程，這里， 為常數(shù)， 為常數(shù)， 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， 為常數(shù)。 假設(shè)2：無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)格服從如下的方程， （5） 這里，、為常數(shù)。假設(shè)3：市場無摩擦（無交易成本，無買賣差價(jià)bid-ask spread，無抵押，無賣空限制，無稅收）假設(shè)4：無違約風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)5：市場是完全競爭的假設(shè)6：價(jià)格一直調(diào)整到市場無套利 下面，我們給出求Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的方法。對于給定的歐式看漲期權(quán)，由于它的到期日支付是標(biāo)的股票的函數(shù)，我們假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為標(biāo)的股票價(jià)格的函數(shù)，這里，我們并不知道函數(shù)的具體形式，只知道它在是兩次連續(xù)可微的。 對函數(shù)利用It引理，我們得到， （6）這里，。下面，我們利用套期保值的思想，希望通過股票和債券構(gòu)造證券組合來模擬歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。假設(shè)自融資交易策略=滿足此要求，這里，表示在時(shí)間購買的股票份數(shù)，表示在時(shí)間購買的債券的份數(shù)，則，。 （7）由(4)、(5)和上式，我們得到 ，（8）通過比較(6)與(7)兩式中與的系數(shù)，我們來確定滿足要求的自融資交易策略。首先，我們比較的系數(shù)，得到。由(7)，我們得到，從而。其次，我們比較的系數(shù)，得到，對于有 (9)為了(9)成立，只需滿足如下的偏微分方程， (10)，方程（10）稱為Black-Scholes-Merton微分方程。針對以股票為標(biāo)的物的不同的衍生證券，該方程有不同的邊界條件，解帶邊界條件的Black-Scholes-Merton微分方程就得到衍生證券的價(jià)格。注：1）證券市場是動(dòng)態(tài)完備的，即任何證券都可以由股票和債券來模擬其支付。2）為了模擬衍生證券的價(jià)格，交易策略需要每時(shí)每刻進(jìn)行調(diào)整。3）方程（10）的任何解是一種可交易的衍生證券的理論價(jià)格。如果這種衍生證券存在，不會產(chǎn)生任何套利機(jī)會。但如果一個(gè)函數(shù)不是方程（10）的解，在不產(chǎn)生套利機(jī)會的條件下，它不會是某種衍生證券的價(jià)格。4）方程（10）不包含。例子：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約是一種衍生證券，它的價(jià)格滿足方程（10）：由歐式期權(quán)的到期日支付得邊界條件，。 (11)利用Feynman-Kac公式，通過解帶邊界條件(10)的偏微分方程(11)，我們得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式（12）這里。根據(jù)平價(jià)公式我們可以歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為（13）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的性質(zhì)下面我們討論Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的性質(zhì)。當(dāng)股票價(jià)格變的充分大的時(shí)候，看漲期權(quán)一定會被執(zhí)行。這時(shí)，看漲期權(quán)非常類似于執(zhí)行價(jià)格為遠(yuǎn)期合約。由遠(yuǎn)期合約的價(jià)值方程，我們預(yù)期期權(quán)的價(jià)格為由公式（12）我們知道，當(dāng)變的充分大的時(shí)候，看漲期權(quán)價(jià)格確實(shí)趨近于這個(gè)價(jià)格?？吹跈?quán)價(jià)格趨近于0。當(dāng)股票價(jià)格的波幅趨近于0時(shí)，股票的風(fēng)險(xiǎn)趨近于0，股票價(jià)格以增長。到時(shí)間，股票價(jià)格為，看漲期權(quán)的支付為以進(jìn)行折現(xiàn)，看漲期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)格為為了證明這個(gè)價(jià)格與方程（12）給出的價(jià)格一致，我們分情況討論：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)類似的可以證明，當(dāng)股票價(jià)格的波幅趨近于0時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)格為。4Black-Scholes公式：等價(jià)鞅測度方法我們在二項(xiàng)樹模型中證明了，市場不存在套利機(jī)會等價(jià)于存在唯一的等價(jià)鞅測度。在連續(xù)時(shí)間模型中我們也能夠證明同樣的結(jié)論：在目前的框架下，市場不存在套利機(jī)會等價(jià)于存在唯一的等價(jià)鞅測度。我們在這里不給出正式的證明，而是通過分析Black-Scholes-Merton微分方程的一個(gè)重要性質(zhì)來得到這一重要的定價(jià)理論。Black-Scholes-Merton微分方程的一個(gè)重要性質(zhì)是，方程中不包含任何與投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)的變量，只包括股票現(xiàn)在價(jià)格、時(shí)間、波幅和無風(fēng)險(xiǎn)利率。這些變量都獨(dú)立于投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好。這與我們在二項(xiàng)樹模型中得到的結(jié)論一樣。如果方程Black-Scholes-Merton微分方程包含，則不獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好，因?yàn)橐蕾囉陲L(fēng)險(xiǎn)偏好。投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，越大。既然Black-Scholes-Merton微分方程不依賴于任何投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好，所以它對于任何投資者都成立，或者說任何投資者都認(rèn)為衍生證券的價(jià)格應(yīng)該滿足該方程。特別地，對于風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，衍生證券地價(jià)格也滿足該方程。在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的市場中，在等價(jià)鞅測度下，所有證券的回報(bào)率應(yīng)該為無風(fēng)險(xiǎn)利率，原因是投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)不需要酬金。同樣的，在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性市場中，任何現(xiàn)金流的目前值等于該現(xiàn)金流的期望值的以無風(fēng)險(xiǎn)利率為折現(xiàn)率的折現(xiàn)值。這個(gè)性質(zhì)簡化了衍生證券的定價(jià)問題?？紤]一種衍生證券，在特定的時(shí)間提供一次支付。利用等價(jià)鞅測度方法，我們可以按照如下的程序來計(jì)算價(jià)格：1 假設(shè)標(biāo)的物的期望回報(bào)率是無風(fēng)險(xiǎn)利率，即。2 在等價(jià)鞅測度下，計(jì)算衍生證券在到期日的期望支付。3 以無風(fēng)險(xiǎn)利率對這個(gè)期望值進(jìn)行折現(xiàn)。應(yīng)該提到的是，等價(jià)鞅測度方法僅僅是一種人為構(gòu)造的定價(jià)方法，這種方法為Black-Scholes-Merton微分方程提供了一種求解的方法。盡管這個(gè)解是在等價(jià)鞅測度下得到的，但是這個(gè)解在原始的概率測度下也成立，因?yàn)锽lack-Scholes-Merton微分方程不依賴具