VAR模型(1).doc

第8章 VAR模型與協(xié)整 8.1 向量自回歸（VAR）模型1980年Sims提出向量自回歸模型（vector autoregressive model）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經濟理論為基礎，在模型的每一個方程中，內生變量對模型的全部內生變量的滯后值進行回歸，從而估計全部內生變量的動態(tài)關系。8.1.1 VAR模型定義VAR模型是自回歸模型的聯(lián)立形式，所以稱向量自回歸模型。假設y1t，y2t之間存在關系，如果分別建立兩個自回歸模型y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, )y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, )則無法捕捉兩個變量之間的關系。如果采用聯(lián)立的形式，就可以建立起兩個變量之間的關系。VAR模型的結構與兩個參數有關。一個是所含變量個數N，一個是最大滯后階數k。以兩個變量y1t，y2t滯后1期的VAR模型為例， y1, t = m1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t y2, t = m2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。寫成矩陣形式是， =+ (8.2)設， Yt =, m =, P1 =, ut =,則， Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.3)那么，含有N個變量滯后k期的VAR模型表示如下： Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.4)其中， Yt = (y1, t y2, t yN, t) m = (m1 m2 mN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),Yt為N1階時間序列列向量。 m為N1階常數項列向量。P1, , Pk 均為NN階參數矩陣，ut IID (0, W) 是N1階隨機誤差列向量，其中每一個元素都是非自相關的，但這些元素，即不同方程對應的隨機誤差項之間可能存在相關。因VAR模型中每個方程的右側只含有內生變量的滯后項，他們與ut是不相關的，所以可以用OLS法依次估計每一個方程，得到的參數估計量都具有一致性。VAR模型的特點是：（1）不以嚴格的經濟理論為依據。在建模過程中只需明確兩件事：共有哪些變量是相互有關系的，把有關系的變量包括在VAR模型中；確定滯后期k。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。（2）VAR模型對參數不施加零約束。（參數估計值有無顯著性，都保留在模型中）（3）VAR模型的解釋變量中不包括任何當期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關的問題在VAR模型中都不存在。（4）VAR模型的另一個特點是有相當多的參數需要估計。比如一個VAR模型含有三個變量，最大滯后期k = 3，則有k N 2 = 3 32 = 27個參數需要估計。當樣本容量較小時，多數參數的估計量誤差較大。（5）無約束VAR模型的應用之一是預測。由于在VAR模型中每個方程的右側都不含有當期變量，這種模型用于預測的優(yōu)點是不必對解釋變量在預測期內的取值做任何預測。西姆斯（Sims）認為VAR模型中的全部變量都是內生變量。近年來也有學者認為具有單向因果關系的變量，也可以作為外生變量加入VAR模型。 8.1.2 VAR模型的穩(wěn)定性特征現(xiàn)在討論VAR模型的穩(wěn)定性特征。穩(wěn)定性是指當把一個脈動沖擊施加在VAR模型中某一個方程的新息（innovation）過程上時，隨著時間的推移，分析這個沖擊是否會逐漸地消失。如果是逐漸地消失，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。下面分析一階VAR模型Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.5)為例。當t = 1時，有Y1 = m + P1 Y0 + u1 (8.6)當t = 2時，采用迭代方式計算，Y2 = m + P1 Y1 + u2 = m + P1 (m + P1 Y0 + u1) + u2 = (I + P1) m + P12 Y0 + P1 u1 + u2 (8.7)當t = 3時，進一步迭代，Y3 = m + P1 Y2 + u3 = m + P1 (I + P1) m + P12 Y0 + P1 u1 + u2 + u3 = (I + P1 + P12) m + P13 Y0 + P12 u1 + P1 u2 + u3 (8.8) 對于t期，按上述形式推導 Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) m + P1t Y0 + ut-i (8.9)由上式可知，P10 = I。通過上述變換，把Yt表示成了漂移項向量m、初始值向量Y0和新息向量ut的函數?？梢娤到y(tǒng)是否穩(wěn)定就決定于漂移項向量m、初始值向量Y0和新息向量ut經受沖擊后的表現(xiàn)。假定模型是穩(wěn)定的，將有如下3個結論。（1）假設t = 1時，對m 施加一個單位的沖擊，那么到t期的影響是 (I + P1 + P12 + + P1t-1)當t 時，此影響是一個有限值，(I - P1) -1。（2）假設在初始值Y0上施加一個單位的沖擊。到t期的影響是 P1t。隨著t ，P1t 0，影響消失（因為對于平穩(wěn)的VAR模型，P1中的元素小于1，所以隨著t ，取t次方后，P1t 0）。（3）從ut-i項可以看出，白噪聲中的沖擊離t期越遠，影響力就越小。=(I - P1) -1，稱作長期乘子矩陣，是對ut-i求期望得到的。對單一方程的分析知道，含有單位根的自回歸過程對新息中的脈動沖擊有長久的記憶能力。同理，含有單位根的VAR模型也是非平穩(wěn)過程。當新息中存在脈動沖擊時，VAR模型中內生變量的響應不會隨時間的推移而消失。平穩(wěn)變量構成的一定是穩(wěn)定（stability）的模型，但穩(wěn)定的模型不一定由平穩(wěn)變量構成。也可能由非平穩(wěn)（nonstationary）變量（存在協(xié)整關系）構成。8.1.3 VAR模型穩(wěn)定的條件VAR模型穩(wěn)定的充分與必要條件是P1（見 (8.3) 式）的所有特征值都要在單位圓以內（在以橫軸為實數軸，縱軸為虛數軸的坐標體系中，以原點為圓心半徑為1的圓稱為單位圓），或特征值的模都要小于1。1先回顧單方程情形。以AR(2)過程yt = f1 y t-1 + f2 y t-2 + ut (8.11)為例。改寫為(1- f1 L - f2 L 2) yt = F(L) yt = ut (8.12)yt穩(wěn)定的條件是F(L) = 0 的根必須在單位圓以外。2對于VAR模型，用特征方程判別穩(wěn)定性。以 (8.3) 式，Yt = m + P1 Yt-1 + ut，為例，改寫為 (I - P1 L) Yt = m + ut (8.13)其中A(L) = (I - P1 L)。VAR模型穩(wěn)定的條件是特征方程 | P1 - l I | = 0的根都在單位圓以內。特征方程 | P1 - l I | = 0的根就是P1的特征值。例8.1 以二變量（N = 2），k = 1的VAR模型為例分析穩(wěn)定性。=+ (8.14)其中 P1 =特征方程| P1 - l I | = = = 0即 (5/8 - l)2 1/8 = (5/8 - l)2 = (0.978 - l) (0.271 - l) = 0 (8.15)得 l1 = 0.9786, l2 = 0.2714。l1，l2是特征方程 | P1 - l I | = 0的根，也是P1的特征值。因為l1 = 0.978, l2 = 0.271，都小于1，所以對應的VAR模型是穩(wěn)定的。3VAR模型的穩(wěn)定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function），| I L P1 | = 0判別。即保持VAR模型平穩(wěn)的條件是相反的特征方程 | I - L P1| = 0的根都在單位圓以外。例8.2 仍以VAR模型(8.14) 為例，相反的特征方程| I - L P1| = = = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.16)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,因為L 1，L 2都大于1，所以對應的VAR模型是穩(wěn)定的。注意：（1）特征方程與相反的特征方程的根互為倒數，l = 1/L。（2）在單方程模型中，通常用相反的特征方程 F(L) = 0的根描述模型的穩(wěn)定性；而在VAR模型中通常用特征方程 | P1 - l I | = 0的根描述模型的穩(wěn)定性。即單變量過程穩(wěn)定的條件是（相反的）特征方程F(L) = 0的根都要在單位圓以外。VAR模型穩(wěn)定的條件是，相反的特征方程| I L P1 | = 0的根都要在單位圓以外，或特征方程 | P1 - l I | = 0的根都要在單位圓以內。4對于k1的k階VAR模型可以通過友矩陣變換（companion form），改寫成1階分塊矩陣的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判別穩(wěn)定性。具體變換過程如下。給出k階VAR模型，Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut (8.17)再給出如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt -k +1 = Yt - k +1把以上k個等式寫成分塊矩陣形式，=+ (8.18)其中每一個元素都表示一個向量或矩陣。令Yt = (Yt-1 Yt-2 Yt-k+1) NK1A0 = (m 0 0 0) NK1A1 =Ut = (ut 0 0 0) NK1上式可寫為Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.19)注意，用友矩陣變換的矩陣（向量）用正黑體字母表示。k階VAR模型用友矩陣表示成了1階分塊矩陣的VAR模型。 例如，2變量2階VAR模型的友矩陣變換形式是=+ (8.20)其中等式的每一個元素（項）都表示一個41階向量或44階矩陣。 例如，2變量3階VAR模型的友矩陣變換形式是=+ (8.21)其中等式的每一個元素（項）都表示一個61階向量或66階矩陣。VAR模型的穩(wěn)定性要求A1的全部特征值，即特征方程 | A 1 - l I | = 0的全部根必須在單位圓以內或者相反的特征方程 | I - L A 1| = 0的全部根必須在單位圓以外。注意：特征方程中的A 1是NkNk階的。特征方程中的I也是NkNk階的。以2階VAR模型的友矩陣變換為例，| I - L A 1| = |1- L P1 - L 2 P2 | = 0 (8.22)的全部根必須在單位圓以外。以3階VAR模型的友矩陣變換為例，| I - L A 1| = | I- L P1 - L 2 P2 - L 3 P3 | = 0 (8.23)的全部根必須在單位圓以外。因此，對于k階VAR模型的友矩陣變換形式，特征方程是，| I - P1 L - P2 L 2 - - Pk L k | = 0 (8.24)例8.3 用以具體數字為系數的2變量、2階VAR模型做進一步說明。有Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + ut其中，P1 = , P2 =友矩陣變換形式是=+ (8.25)或 =+ (8.26)或 Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.27)因為A1的階數為44（注意，因為N=2，k=2，所以A1的階數為44），所以有4個特征根。特征方程是| A 1 - l I | = 0 (8.28)4個根見下表：根模l1 = 1.0001.000l2 = 0.9470.947l3 = 0.380-0.144 i0.406l4 = 0.380-0.144 i0.406盡管有3個根在單位圓內，因為有一個根為1，落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿足。8.1.4 VAR模型的脈沖響應函數和方差分解由于VAR模型參數的OLS估計量只具有一致性，單個參數估計值的經濟解釋是很困難的。要想對一個VAR模型做出分析，通常是觀察系統(tǒng)的脈沖響應函數和方差分解。（1）脈沖響應函數。脈沖響應函數描述一個內生變量對誤差沖擊的反應。具體地說，它描述的是在隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對內生變量的當期值和未來值所帶來的影響。對于如下VAR模型，y1, t表示GDP，y2, t表示貨幣供應量， y1, t = m1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t y2, t = m2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)在模型（8.1）中，如果誤差u1t 和u2t不相關，就很容易解釋。u1t是y1, t的誤差項；u2t是y2, t的誤差項。u2t的脈沖響應函數衡量當期一個標準差的貨幣沖擊對GDP和貨幣存量的當前值和未來值的影響。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA()過程。具體方法是對于任何一個VAR(k)模型都可以通過友矩陣變換改寫成一個VAR(1)模型（見8.1.3節(jié)）。Yt = A1 Yt -1 + Ut (I - L A 1) Yt = UtYt = (I - L A 1)-1 Ut = Ut + A1Ut-1 + A12 Ut-2 + + A1s Ut-s + 這是一個無限階的向量MA()過程?；驅懗桑琘t+s = Ut+s + A1Ut+s -1 + A12 Ut+s -2 + + A1s Ut + Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + (8.29)其中Y1 = A1, Y2 = A12, , Y s = A1 s,顯然，由 (8.29)式有下式成立， Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其他誤差項在任何時期都不變的條件下，當第j個變量對應的誤差項uj t在t期受到一個單位的沖擊后，對第i個內生變量在t+ s期造成的影響。 把Y s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數, s = 1, 2, 3, 稱作脈沖響應函數（impulse-response function），脈沖響應函數描述了其他變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi, t+s對 yj, t時一次沖擊的響應過程。對脈沖響應函數的解釋出現(xiàn)困難源于誤差項從來都不是完全非相關的。當誤差項相關時，它們有一個共同的組成部分，不能被任何特定的變量所識別。為處理這一問題，常引入一個變換矩陣M與ut相乘， vt = M ut (0, W)從而把ut的方差協(xié)方差矩陣變換為一個對角矩陣W?，F(xiàn)在有多種方法。其中一種變換方法稱作喬利斯基（Cholesky）分解法，從而使誤差項正交。原誤差項相關的部分歸于VAR系統(tǒng)中的第一個變量的隨機擾動項。在上面的例子里，u1 t和u2t的共同部分完全歸于u1t，因為u1t在u2 t之前。雖然喬利斯基分解被廣泛應用，但是對于共同部分的歸屬來說，它還是一種很隨意的方法。所以方程順序的改變將會影響到脈沖響應函數。因此在解釋脈沖響應函數時應小心。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA()過程。 Yt = m + ut + Y1 ut -1 + Y2 ut -2 + (8.29)對于ut中的每一個誤差項，內生變量都對應著一個脈沖響應函數。這樣，一個含有4個內生變量的VAR將有16個脈沖響應函數。要得到VAR模型的脈沖響應函數，可以在VAR的工具欄中選擇Impulse功能健。（2）方差分解。另一個評價VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分解能夠給出隨機新息的相對重要性信息。EViews對于每一個內生變量都計算一個獨立的方差分解。3個變量的VAR跨時為10的方差分解如下圖。S.E.所對應的列是相對于不同預測期的變量的預測誤差。這種預測誤差來源于新息的當期值和未來值。其他的幾欄給出關于源于某個特定的新息所引起的方差占內生變量總方差的百分比。向前一個時期，一個變量的所有變動均來自其本身的新息。因此第一個數字總是100%。同樣，方差分解主要取決于方程的順序。8.1.5 VAR模型滯后期k的選擇建立VAR模型除了要滿足平穩(wěn)性條件外，還應該正確確定滯后期k。如果滯后期太少，誤差項的自相關會很嚴重，并導致參數的非一致性估計。正如在第4章介紹ADF檢驗的原理一樣，在VAR模型中適當加大k值（增加滯后變量個數），可以消除誤差項中存在的自相關。但從另一方面看，k值又不宜過大。k值過大會導致自由度減小，直接影響模型參數估計量的有效性。下面介紹幾種選擇k值的方法。1 用LR統(tǒng)計量選擇k值。LR（似然比）統(tǒng)計量定義為， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) (8.34)其中l(wèi)og L(k) 和log L(k+1) 分別是VAR(k) 和 VAR(k+1) 模型的極大似然估計值。k表示VAR模型中滯后變量的最大滯后期。LR統(tǒng)計量漸近服從分布。顯然當VAR模型滯后期的增加不會給極大似然函數值帶來顯著性增大時，即LR統(tǒng)計量的值小于臨界值時，新增加的滯后變量對VAR模型毫無意義。應該注意，當樣本容量與被估參數個數相比不夠充分大時，LR的有限樣本分布與LR漸近分布存在很大差異。2 用赤池（Akaike）信息準則 (AIC) 選擇k值。 AIC = log+ (8.35)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇k值的原則是在增加k值的過程中使AIC的值達到最小。EViews 3.0的計算公式是AIC = -2+ 3用施瓦茨（Schwartz）準則 (SC) 選擇k值。 SC = log+ (8.36)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇最佳k值的原則是在增加k值的過程中使SC值達到最小。EViews 3.0的計算公式是SC =-2+8.1.6格蘭杰非因果性檢驗VAR模型還可用來檢驗一個變量與另一個變量是否存在因果關系。經濟計量學中格蘭杰（Granger）非因果性定義如下：格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決定的yt的條件分布與僅由yt滯后值所決定的條件分布相同，即 ( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, ), (8.37)則稱xt -1對yt存在格蘭杰非因果性。 格蘭杰非因果性的另一種表述是其他條件不變，若加上xt的滯后變量后對yt的預測精度不存在顯著性改善，則稱xt -1對yt存在格蘭杰非因果性關系。為簡便，通常總是把xt-1 對yt存在非因果關系表述為xt（去掉下標 -1）對yt存在非因果關系（嚴格講，這種表述是不正確的）。在實際中，除了使用格蘭杰非因果性概念外，也使用“格蘭杰因果性”概念。顧名思義，這個概念首先由格蘭杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定義。這兩個定義是一致的。根據以上定義，xt 對yt 是否存在因果關系的檢驗可通過檢驗VAR 模型以yt 為被解釋變量的方程中是否可以把xt 的全部滯后變量剔除掉而完成。比如VAR 模型中以yt 為被解釋變量的方程表示如下： yt = + u1 t (8.38)如有必要，常數項，趨勢項，季節(jié)虛擬變量等都可以包括在上式中。則檢驗xt 對yt存在格蘭杰非因果性的零假設是 H0: b1 = b2 = = bk = 0顯然如果（8.24）式中的xt 的滯后變量的回歸參數估計值全部不存在顯著性，則上述假設不能被拒絕。換句話說，如果xt 的任何一個滯后變量的回歸參數的估計值存在顯著性，則結論應是xt 對yt 存在格蘭杰因果關系。上述檢驗可用F統(tǒng)計量完成。 F = (8.39)其中SSEr 表示施加約束（零假設成立）后的殘差平方和。SSEu 表示不施加約束條件下的殘差平方和。k表示最大滯后期。N表示VAR模型中所含當期變量個數，本例中N = 2，T表示樣本容量。在零假設成立條件下，F(xiàn)統(tǒng)計量近似服從F( k, T - k N ) 分布。用樣本計算的F值如果落在臨界值以內，接受原假設，即xt 對yt 不存在格蘭杰因果關系。例：（file: stock）以661天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盤價格綜合指數為例，滯后10期的Granger因果性檢驗結果如下：（當概率小于0.05時，表示推翻原假設）上表中概率定義為，P(F1.36) = 0.19316圖示如下：1.36 臨界值 P(F23.44) = 0.00000 因為F值（1.36）落在原假設接受域，所以原假設“上海股票價格綜合指數對深圳股票價格綜合指數不存在Granger因果關系” 被接受。因為F值（23.44）落在原假設拒絕域，所以原假設“深圳股票價格綜合指數對上海股票價格綜合指數不存在Granger因果關系” 被推翻。用滯后110期的檢驗式分別檢驗，結論都是深圳股票價格綜合指數是上海股票價格綜合指數變化的原因，但上海股票價格綜合指數不是深圳股票價格綜合指數變化的原因，EViews操作方法是，打開數劇組窗口，點View鍵，選Granger Causility。在打開的對話窗口中填上滯后期（下面的結果取滯后期為10。），點擊OK鍵。VAR模型的EViews估計步驟。點擊Quick, 選Estimate VAR功能。輸出結果如下（部分）8.2 VAR模型與協(xié)整如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.40)的內生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個平穩(wěn)的VAR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* (8.41)然而，當這些變量存在協(xié)整關系時，這種建模方法不是最好的選擇。如果Yt I(1)，且非平穩(wěn)變量間存在協(xié)整關系。那么非平穩(wěn)變量的由協(xié)整向量組成的線性組合則是平穩(wěn)的。這時，采用差分的方法構造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。建立單純的差分VAR模型將丟失重要的非均衡誤差信息。因為變量間的協(xié)整關系給出了變量間的長期關系。同時用這種非均衡誤差以及變量的差分變量同樣可以構造平穩(wěn)的VAR模型。從而得到一類重要的模型，這就是向量誤差修正模型。下面推導向量誤差修正（VEC）模型的一般形式。對于k = 1的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + ut，兩側同減Yt-1，得D Yt = (P1 I )Yt-1 + ut (8.42)對于k=2的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + ut，兩側同減Yt-1，在右側加、減 P2 Yt-1，并整理得D Yt = (P1 + P2 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 + ut (8.43)對于k=3的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + P3 Yt-3 + ut，兩側同減Yt-1，在右側加、減 P2 Yt-1和P3 Yt-1并整理得DYt = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 Yt-1 - P3 Yt-1 + P2 Yt-2 + P3 Yt-3 + ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 P2 DYt-1 - P3 Yt-1 + P3 Yt-3+ ut 在右側加、減 P3 Yt-2并整理得 DYt = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 - P3 Yt-1 + P3 Yt-2 - P3 Yt-2 + P3 Yt-3+ ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 - P3 DYt-1 - P3 DYt-2 + ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 (P2 +P3 ) DYt-1 - P3 DYt-2 + ut (8.44)對于k階VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型的推導規(guī)律，見(8.42) - (8.44)式，其向量誤差修正模型（VEC）的表達式是DYt = (P1 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) DYt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut (8.45)令 Gj = -, j = 1, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk - I， (8.46)則上式寫為DYt = P Yt-1 + G1 DYt-1 + G2 DYt-2 + + Gk-1 DYt - (k-1) + ut (8.47)這是向量誤差修正模型（VEC）的一般表達式。P 稱為壓縮矩陣（影響矩陣）。P 是全部參數矩陣的和減一個單位陣。P 為多項式矩陣，其中每一個元素都是一個多項式。運算規(guī)則于一般矩陣相同。滯后期的延長不影響對協(xié)整向量個數的分析。根據Granger定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達式是 A(L) (1- L) Yt = a b Yt-1 + d (L) ut (8.48)其中A(L) 是多項式矩陣A(L)分離出因子(1- L)后降低一階的多項式矩陣，d (L)是由滯后算子表示的多項式矩陣。 上式與 (8.47) 式完全相同。其中A(L) (1- L) Yt = A(L) DYt = DYt - G1 DYt-1 - G2 DYt-2 - - Gk-1 DYt - (k-1)d(L) ut = ut在這里d (L) 退化為單位陣。若Yt CI(1, 1)，比較 (8.47) 和 (8.48) 式必然有P = a b 其中b是協(xié)整矩陣，a 是調整系數矩陣。a 和b 都是Nr階矩陣。表示有r個協(xié)整向量，b1, b2 , br，存在r個協(xié)整關系。因為Yt I(1)，所以 DYt I(0)。從模型 (8.45) 變換為模型 (8.47) 稱為協(xié)整變換。壓縮矩陣 P 決定模型 (8.47) 中是否存在，以及以什么規(guī)模存在協(xié)整關系。因為 DYt I(0)，所以除了P Yt-k ，模型 (8.47) 中各項都是平穩(wěn)的。而對于P Yt-k有如下三種可能。1 當Yt 的分量不存在協(xié)整關系，P的特征根為零，P = 0。2 若rank (P) = N（滿秩），保證 P Yt-k平穩(wěn)的唯一一種可能是Yt I(0)。3 當Yt I(1)，若保證 P Yt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即Yt 的分量存在協(xié)整關系。 b Yt I(0)VEC模型是帶有誤差修正機制的關于DYt 的VAR模型。增加DYt-1滯后項的目的是吸收ut中的自相關成分，使其變?yōu)榘自肼?。沒有這些項，等于丟掉了動態(tài)成分。假定Yt I(1) 具有一般性。如果某個變量的單整階數高于1，可通過差分取其相應單整階數為1的序列加入模型。上式也可以加入位移項與趨勢項。若 P = a b 成立，且存在r個協(xié)整關系，則P Yt-1的一般表達式是 P Yt-1 = a b Yt-1 = = = (8.49)為便于理解，現(xiàn)在以N =2, k=1的VEC模型為例，說明VEC模型中的協(xié)整關系。例8.4 有VEC模型 D y1, t = -( y1, t-1 y2, t-1) + u1 t (8.50) D y2, t =( y1, t-1 y2, t-1) + u2 t (8.51)看(8.50)式，令誤差修正項 y1, t-1 (1/8) y2, t-1 = v1, t-1。當v1, t-1增加，系統(tǒng)偏離了均衡點，y1, t-1 (1/8) y2, t-1，因為調整系數為負（- 1/2），在t期將導致 D y1, t減小，也即y1, t減小。從而使y1, t移向均衡點。反之亦然。把 (8.51) 式改寫如下，D y2, t = -( y2, t-1 8 y1, t-1) + v 2 t誤差修正機制的解釋與上類似。把 (8.50)，(8.51) 寫成矩陣形式。 =+= P Yt-1 + ut (8.52)現(xiàn)在分析矩陣P。因為 | P | = 0，P是降秩的。為求 P 的特征值，解如下特征方程，| P - l I | = = = 1/32 + 9/16l + l 2 1/32 = l 2 + 9/16l = l (l + 9/16) = 0 (8.53)兩個根是l1 = 0，l2 = - 9/16。l1 = 0，說明 P 是降秩的。一般來說，非零根的個數既是 P 的秩。P 有三種情形。（1）當 P 完全降秩，即rank(P) = 0時，任意形式的 P 通過適當線性變換，可以得到 P = 0。于是（8.52）式變?yōu)椋?D Yt = ut這是一階差分形式的平穩(wěn)的VAR模型。說明Yt中含有一個單位根。VAR模型中沒有協(xié)整向量?，F(xiàn)在討論多于一個協(xié)整關系的情形。例8.5 設三個變量的k = 1的誤差修正模型如下， D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u1 t D y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u2 t D y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u3 t矩陣形式是 = + (8.54)P = a b =P 的特征值是 -0.7928，-0.4416，0。存在兩個協(xié)整關系。注意：在第一個協(xié)整向量中，y3, t的系數被約束為零。在第二個協(xié)整向量中，y1, t的系