小學(xué)五年級數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程第16-30講

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 巧算 24 同學(xué)們可能都玩過“數(shù)學(xué) 24”的游戲，它把枯燥的基本數(shù)字計算變得趣味盎然，能大大提高計算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂的智力競賽游戲。 游戲規(guī)則： 給定四個自然數(shù)，通過 +， -，四則運(yùn)算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運(yùn)算的算式，使最后得數(shù)是 24。 “數(shù)學(xué) 24”游戲通常是用撲克牌進(jìn)行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在 1 13范圍內(nèi)了?！皵?shù)學(xué) 24”游戲可以 1 個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的 52 張牌洗好后，每人分 13 張，然后每人出一張牌，每張牌的點數(shù)代表一個自然數(shù)，其中 J， Q， K分別代表 11， 12 和 13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出 24，就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進(jìn)行。最后誰的牌最多誰獲勝。 要想算得又快又準(zhǔn)，這就要靠平時的基本功了。最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運(yùn)算順序，也可以改變運(yùn)算符號。 請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出 24。 例 1 3， 3， 5， 6。 解一： 根 據(jù) 3 8=24， 3已有，將另三個數(shù)湊成 8，得 3（ 5+6-3）=24。 解二： 根據(jù) 6 4=24， 6已有，將另三個數(shù)湊成 4，得 6（ 5-3 3）=24 或 6（ 3 3-5） =24。 解三： 還是根據(jù) 3 8=24，把 3 和 8各分成兩數(shù)，得（ 6-3）（ 3+5）=24。 解四： 先把其中兩數(shù)相乘，積不足 24 的用另兩數(shù)補(bǔ)足，得 35+3+6=24。 解五： 先把其中兩數(shù)相乘，積超過 24 的用另兩數(shù)割去，得 56-3-3=24。 例 2 2， 2， 4， 8。 解一： 根據(jù) 8 3=24，得 8 （ 2+4） 2=24 或 8（ 4-2 2） =24。 解二： 根據(jù) 4 6=24，得 4（ 2+8 2） =24。 解三： 根據(jù) 2 12=24，得 2（ 2 8-4） =24。 解四： 根據(jù) 8+16=24， 8 已有，將另三個數(shù)湊成 16，得 8+2 2 4=24或 8+（ 2+2） 4=24。 解五： 根據(jù) 8+16=24，把 8 和 16各分成兩數(shù)，得 2 4+2 8=24。 解六： 根據(jù) 4+20=24， 4已有，將另三個數(shù)湊成 20，得 4+2（ 2+8）=24。 具體玩法很多，在這里特別要注意的是： 2 12， 3 8， 4 6 是三個最基本的算式，在 玩的過程中，你可以先固定某數(shù)為一個因數(shù)，看另三個數(shù)能否湊成相應(yīng)的另一個因數(shù)。你也可以把每一個因數(shù)分別看成由兩個數(shù)湊成。下面，我們借助“乘法分配律”來玩“數(shù)學(xué) 24”游戲。 例 3 1， 4， 4， 5。 分析： 很明顯，我們看到 4（ 1+5） =24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出 24了，可惜的是還有一個 4沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個 4 也用進(jìn)去，怎么辦？怎樣把這個多余的 4用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？ 解： 利用“乘法分配律”： 4（ 1+5） =4 1+4 5=24。 例 4 6， 8， 8， 9。 解： 8（ 9-6） =8 9-8 6=24。 例 5 5， 7， 12， 12。 解： 12（ 7-5） =12 7-12 5=24。 在例 3例 5中，我們利用了： a（ b+c） =a b+a c， a（ b-c） =a b-a c。 例 6 2， 2， 6， 9。 分析：很明顯，我們看到 2 9+6=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出 24 了，可惜的是還有一個 2 沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個 2也用進(jìn)去，怎樣把這個多余的 2 用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？ 解： 利用“乘法分配律”： 24=2 9+6=2 9+6 2 2=2（ 9+6 2）。 例 7 2， 6， 9， 9。 解： 24=2 9+6=2 9+6 9 9 =9（ 2+6 9） 例 8 2， 4， 10， 10。 解： 24=2 10+4=2 10+4 10 10 =10（ 2+4 10）。 在例 6例 8中，我們利用了 a b+c a（ b+c a）， a b-c a（ b-c a）。 我們知道，符合“數(shù)學(xué) 24”游戲規(guī)則的每個具體算式中，一定要出現(xiàn)四個數(shù)和三個運(yùn)算符號。也就是說，一定要進(jìn)行三次運(yùn)算，出現(xiàn)三個運(yùn)算結(jié)果。其中前兩次結(jié)果是運(yùn)算過程中的 中間結(jié)果，第三次即最后一次的運(yùn)算結(jié)果必須是 24。 當(dāng)我們還是小學(xué)低年級的學(xué)生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運(yùn)算結(jié)果是整數(shù)展開討論。當(dāng)我們升入小學(xué)高年級，接觸到分?jǐn)?shù)以后，我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數(shù)這個框框，允許前兩次的運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。 例 9 1， 5， 5， 5。 有效的思考辦法。 由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的 2 12， 3 8，4 6 三個整數(shù)乘法基本算式?，F(xiàn)在我們學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，乘法基本算式就增加了許多： 在這些分?jǐn)?shù)乘法基本算式中，固定的一個因數(shù)只能是 5， 7， 9， 10， 至此，應(yīng)用乘法玩“數(shù)學(xué) 24”游戲的過程才是完整的。 下面，我們再來看看用分?jǐn)?shù)除法來玩“數(shù)學(xué) 24”游戲。 例 10 3， 3， 8， 8。 8（ 3-8 3） =24。 例 11 1， 4， 5， 6。 在解題過程中，我們先想到基本算式 成。這是基本的思考辦法。 一般地，應(yīng)用分?jǐn)?shù)除法玩“數(shù)學(xué) 24”游戲的思考過程為： 固定的一個自然數(shù)只能是被除數(shù)，除數(shù)恰好由另外三個自然數(shù)湊成。 另外，我們還是要強(qiáng)調(diào)一下分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的相同處與不同處。學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算。因此，在玩“數(shù)學(xué) 24”游戲的過程中，很多除法算式可以轉(zhuǎn)化到乘法算式中去。但是它們之間還是有區(qū)別 握用分?jǐn)?shù)除法這種工具來玩“數(shù)學(xué) 24”游戲是必不可少的。 練習(xí) 16 用給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出 24。 1.（ 1） 1， 3， 3， 7； （ 2） 2， 2， 5， 7； （ 3） 1， 4， 4， 7； （ 4） 1， 2， 8， 8； （ 5） 1， 5， 6， 6； （ 6） 5， 8， 8， 8。 2.（ 1） 2， 7， 7， 10； （ 2） 3， 5， 5， 9； （ 3） 5， 5， 7， 11； （ 4） 2， 6， 6， 12； （ 5） 4， 4， 5， 5； （ 6） 2， 5， 5， 10； （ 7） 4， 9， 9， 12； （ 8） 3， 7， 9， 13。 3.（ 1） 1， 3， 4， 6； （ 2） 2， 8， 9， 13； （ 3） 1， 6， 6， 8； （ 4） 2， 3， 5， 12； （ 5） 3， 4， 6， 13； （ 6） 1， 8， 12， 12； （ 7） 3， 4， 8， 13； （ 8） 2， 7， 12， 13。 練習(xí) 16 以下題目可能有多種解法，僅給出一種解。 1.（ 1） 3 7+3 l=24；（ 2） 2 5+2 7=24； （ 3） 1+7+4 4=24；（ 4） 1 2 8+8=24； （ 5） 5 6-1 6=24；（ 6） 8 8-5 8=24。 2.（ 1） 7（ 2+10 7） =24；（ 2） 5（ 3+9 5） =24； （ 3） 5（ 7-11 5） =24；（ 4） 6（ 2+12 6） =24； （ 5） 5（ 4+4 5） =24；（ 6） 5（ 5-2 10） =24； （ 7） 9（ 4-12 9） =24；（ 8） 9（ 7-13 3） =24。 3.（ 1） 6（ 1-3 4） =24；（ 2） 9（ 2-13 8） =24； （ 3） 6（ 1-6 8） =24；（ 4） 12（ 3-5 2） =24； （ 5） 6（ 13 4-3） =24；（ 6） 12（ 12 8-1） =24； （ 7） 8（ 13 3-4） =24；（ 8） 12（ 7-13 2） =24。 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 位值原則 同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“ 5”，寫在個位上，就表示 5個一；寫在十位上，就表示 5個十；寫在百位上，就表示 5 個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。 我們通常使用的是十進(jìn)制計數(shù)法，其特點是“滿十進(jìn)一”。就是說，每 10 個某一單位就組成和它相鄰的 較高的一個單位，即 10 個一，叫做“十”， 10 個十叫做“百”， 10 個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。 用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如， 926 表示 9個百， 2 個十， 6個一，即 926=9 100+2 10+6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉 伯?dāng)?shù)字表示數(shù)，如： 其中 a可以是 1 9 中的數(shù)碼，但不能是 0， b 和 c 是 0 9 中的數(shù)碼。 下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。 個數(shù)之差必然能被 9 整除。例如，（ 97531-13579）必是 9 的倍數(shù)。 例 2 有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼 1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差 666。求原來的兩位數(shù)。 分析與解 ：由位值原則知道，把數(shù)碼 1 加在一個兩位數(shù)前面，等于加了 100；把數(shù)碼 1 加在一個兩位數(shù)后面，等于這個兩位數(shù)乘以 10 后再加 1。 設(shè)這個兩位數(shù)為 x。由題意得到 （ 10x+1） -（ 100+x） =666， 10x+1-100-x=666， 10x-x=666-1+100， 9x=765， x=85。 原來的兩位數(shù)是 85。 例 3 a， b， c是 1 9中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（ a+b+c）的多少倍？ 分析與解 ：用 a， b， c 組成的六個不同數(shù)字是 這六個數(shù)的和等于將六個數(shù)的百位、十位、個位分別相加，得到 所以，六個數(shù)的和是（ a+b+c）的 222 倍。 例 4 用 2， 8， 7 三張數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？ 解： 由例 3 知，可以組成的六個三位數(shù)之和是（ 2+8+7） 222， 所以平均值是（ 2+8+7） 222 6=629。 例 5 一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的 5倍比原數(shù)大 6，求這個兩位數(shù)。 （ a+b） 5-（ 10a+b） =6， 5a+5b-10a-b=6， 4b-5a=6。 當(dāng) b=4， a=2 或 b=9， a=6 時， 4b-5a=6 成立，所以這個兩位數(shù)是 24或 69。 例 6 將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小 的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。 分析與解 ：設(shè)原來的三位數(shù)的三個數(shù)字分別是 a， b， c。若 由上式知，所求三位數(shù)是 99 的倍數(shù)，可能值為 198， 297， 396， 495，594， 693， 792， 891。經(jīng)驗證，只有 495 符合題意，即原來的三位數(shù)是495。 練習(xí) 17 1.有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼 1 加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)之和是 970。求原來的兩位數(shù)。 2.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼 1 加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼 3 加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是 2351，求原來的三位數(shù)。 5.從 1 9中取出三個數(shù)碼，用這三個數(shù)碼組成的六個不同的三位數(shù)之和是 3330。這六個三位數(shù)中最小的能是幾？最大的能是幾？ 6.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的 6 倍比原數(shù)小 9，求這個兩位數(shù)。 7.一個三位數(shù)，抹去它的首位數(shù)之后剩下的兩位數(shù)的 4倍比原三位數(shù)大 1，求這個三位數(shù)。 練習(xí) 17 1.79。 解：設(shè)原來的兩位數(shù)為 x，則（ 100+x） +（ 10x+1） =970。 解得 x=79。 2.372。 解：設(shè)原來的三位數(shù)為 x， 則 （ 10x+3） -（ 1000+x） =2351。解得 x=372。 3.6。 =100a+10b+c-（ a+b+c） 4.3814。 5.159； 951。 提示：由例 3知， a+b+c=3330 222=15。 6.63。 （ 10a+b） -（ a+b） 6=9， 化簡得 4a-5b=9。解得 a=6， b=3，所求兩位數(shù)為 63。 7.267。 解：設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為 a，后兩位數(shù)為 x，則有 4x-（ 100a+x） =1， 3x=100a+1。 因為 x是兩位數(shù)，所以 3x 300，推知 a=1 或 2。 若 a=1，則 x=101 3 不是整數(shù)，不合題意； 若 a=2，則 x=201 3=67。所求三位數(shù)為 267。 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 本教程共 30 講 最大最小 同學(xué)們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常能碰到求最大最小或最多最少的問題，這一講就來講解這個問題。 例 1 兩個自然數(shù)的和是 15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？ 分析與解 ：將兩個自然數(shù)的和為 15 的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面 7 種情況： 15=1+14， 1 14=14； 15=2+13， 2 13=26； 15=3+12， 3 12=36； 15=4+11， 4 11=44； 15=5+10， 5 10=50； 15=6+9， 6 9=54； 15=7+8， 7 8=56。 由此可知把 15 分成 7 與 8 之和，這兩數(shù)的乘積最大。 結(jié)論 1 如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。 特別地，當(dāng)這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大。 例 2 比較下面兩個乘積的大?。?a=57128463 87596512， b=57128460 87596515。 分析與解 ：對于 a， b 兩個積，它們都是 8 位數(shù)乘以 8 位數(shù)，盡管兩組對應(yīng)因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個 8 位數(shù)的乘積是很繁的。仔細(xì)觀察兩組對應(yīng)因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為 57128463 比 57128460多 3， 87596512 比 87596515 少 3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515。 因為 a 的兩個因數(shù)之差小于 b 的兩個因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論 1 可得 ab。 例 3 用長 36 米的竹籬笆圍成一個長方形 菜園，圍成菜園的最大面積是多少？ 分析與解 ：已知這個長方形的周長是 36 米，即四邊之和是定數(shù)。長方形的面積等于長乘以寬。因為 長 +寬 =36 2=18（米）， 由結(jié)論知，圍成長方形的最大的面積是 9 9=81（米 2）。 例 3 說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。 例 4 兩個自然數(shù)的積是 48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最小？ 分析與解 ： 48 的約數(shù)從小到大依次是 1， 2， 3， 4， 6， 8， 12， 16，24， 48。 所以，兩個自然數(shù)的乘積是 48，共有以下 5 種情況： 48=1 48， 1+48=49； 48=2 24， 2+24=26； 48=3 16， 3+16=19； 48=4 12， 4+12=16； 48=6 8， 6+8=14。 兩個因數(shù)之和最小的是 6+8=14。 結(jié)論 2 兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。 例 5 要砌一個面積為 72 米 2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？ 解： 將 72 分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。由結(jié)論 2，豬圈圍墻長 9 米、寬 8 米時，圍墻總長最少 ，為（ 8+9） 2=34（米）。 答：圍墻最少長 34 米。 例 6 把 17 分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？ 分析與解 ：假設(shè)分成的自然數(shù)中有 1， a 是分成的另一個自然數(shù)，因為 1 a 1+a，也就是說，將 1+a 作為分成的一個自然數(shù)要比分成 1 和 a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有 1。 如果分成的自然數(shù)中有大于 4 的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如， 5=2+3 2 3， 8=3+5 3 5。也就是說，只要有大于 4 的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自 然數(shù)中不應(yīng)該有大于 4 的數(shù)。 如果分成的自然數(shù)中有 4，因為 4=2+2=2 2，所以可以將 4 分成兩個 2。 由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有 2 和 3 兩種。因為 2+2+2=6，2 2 2=8， 3+3=6， 3 3=9，說明雖然三個 2 與兩個 3 的和都是 6，但兩個 3 的乘積大于三個 2 的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個 2，其余都是 3。由此得到，將 17 分為五個 3 與一個 2 時乘積最大，為 3 3 3 3 3 2=486。 由例 6 的分析得到： 結(jié)論 3 把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的乘積最大，那 么這些自然數(shù)應(yīng)全是 2 或 3，且 2 最多不超過兩個。 例 7 把 49 分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？ 解： 根據(jù)結(jié)論 3，由 49=3 15+2+2，所以最大的積是 練習(xí) 18 1.試求和是 91，乘積最大的兩個自然數(shù)。最大的積是多少？ 之和的最小值是多少？ 3.比較下面兩個乘積的大小： 123456789 987654321， 123456788 987654322。 4.現(xiàn)計劃用圍墻圍起一塊面積為 5544 米 2的長方形地面，為節(jié)省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？ 5.把 19 分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的積最大？ 6.1 8 這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么 這兩個四位數(shù)各是多少？ 7.在數(shù) 123456789101112 9899100 中劃去 100 個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個新數(shù)，這個新數(shù)最大是多少？最小是多少？ 練習(xí) 18 1.45 和 46，最大積是 2070。 3.123456789 987654321 大。 4.298 米。 提示： 5544=23 32 7 11。因為 5544 的 兩個最接近的因數(shù)是 2332=72 和 7 ll=77，所以這塊地長 77 米，寬 72 米。最短的圍墻長是（ 77+72） 2=298（米）。 5.19=3+3+3+3+3+2+2。 6.8531 和 7642。 提示：高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是 8， 7，百位分別是 6， 5。兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個數(shù)的前兩位是 85，另一個數(shù)的前兩位是 76。同理可確定十位和個位數(shù)。 7.最大數(shù)是 9999978596061 99100， 最小數(shù)是 10000012340616263 99100。 解：要得到最大的數(shù)，左邊應(yīng)盡量多地保留 9。因為 1 59 中有 109個數(shù)碼，其中有 6 個 9，所以剩下的數(shù)如果左邊保留 6 個 9，那么必須劃掉 109-6=103（個）數(shù)碼，不合要求。因此左邊只能保留 5 個 9，即保留1 49 之中的 5 個 9，劃掉 1 49 中其余的 84 個數(shù)碼，然后在后面再劃掉16 個數(shù)碼，盡量留下大數(shù)（見下圖）： 所以最大數(shù)是 9999978596061 99100。 同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個數(shù)是 1，之后應(yīng)盡量保留 0。 250 中有 90 個數(shù)碼，其中有 5 個 0，劃掉非 0 的 90-5=85（個）數(shù)碼，然后在后面再劃掉 15 個數(shù)碼，盡量留下小數(shù)（見下圖）： 所以最小數(shù)是 100000123406162 99100。 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 圖 形的分割與拼接 怎樣把一個圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個圖形？這就是本講要解決的問題。 例 1 請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形。 分析與解 ：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來分割。 方法一： 將某一邊等分成四份，連結(jié)各分點與頂點（見左下圖）。 方法二： 畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結(jié)分點與另兩個頂點（見右上圖）。 方法三： 找出三條邊上的中點，然后如左下圖所示連結(jié)。 方法四： 將三條邊上的中點兩兩連結(jié)（見右上圖）。 前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相等的兩部分，然后分別將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。 例 2 將右 圖分割成五個大小相等的圖形。 分析與解 ：因為圖中共有 15個小正方形，所以分割成的圖形的面積應(yīng)該等于 15 5=3（個）小正方形的面積。 3個小正方形有 和兩種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。 例 3 右圖是一個 4 4的方格紙，請在保持每個小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。 分析與解 ：因為分割成完全相同的兩塊，所以每塊有 8個小方格，并且這兩塊關(guān)于中心點對稱。下面是六種分割方法。 例 4 將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形。 分析與解 ：圖形的面積等于 16 個小方格，如果以每個小方格的邊長為 1，那么拼成的正方形的邊長應(yīng)是 4。因為題圖是缺角長方形，長為 6寬為 3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移 1（原來寬為 3，向上平移 1 使寬為 4），向左平移 2（原來長為 6，向左平移 2使長為 4）。考慮到缺角這一特點，可做下圖所示的分割和拼接。 例 5 有一塊長 4.8 米、寬 3米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長 4 米、寬 3.6 米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。 分析與解 ：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何 以可將原來的長分為 4份，寬分為 3份（見下頁左上圖），現(xiàn)在的長與寬如下頁右上圖 。 容易得到下圖所示的分割與拼接的方法。 例 6 用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個外面是正方形，里面有正方形孔的圖形。 分析與解 ：右圖所示的三角板， A是直角， B+ C=90。因為要拼的圖形有內(nèi)外兩個正方形，所以有將 A 作為外正方形的角（左下圖）和拼內(nèi)正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以重疊放置，還有右下圖所示的拼法。 練習(xí) 19 1.試將一個等邊三角形分割成 8個全等的直角三角形。 2.用四種方法將左下圖分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整。 3.將右上圖分成四個大小相等、形狀相同的圖形。 4.將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形。 5.將一塊 30 20 的方格紙分成大小、形狀都相同的兩塊，然后拼成一個 24 25 的長方形。 6.將一個正方形分成相等的 4 塊，然后用這 4 塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形。 練習(xí) 19 5. 6. 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 多邊形的面積 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計算，圖形及計算公式如下： 正方形面積 =邊長邊長 =a2， 長方形面積 =長寬 =ab， 平行四邊形面積 =底高 =ah， 圓面積 =半徑半徑 = r2， 扇形面積 =半徑半徑圓心角的度數(shù) 360 在實際問 題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計算。在本講和后面的兩講中，我們將學(xué)習(xí)如何計算它們的面積。 例 1 小兩個正方形組成下圖所示的組合圖形。已知組合圖形的周長是 52 厘米， DG=4 厘米，求陰影部分的面積。 分析與解 ：組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因為CG 部分重合了。用 組合圖形的周長減去 DG，就得到大、小正方形邊長之和的三倍，所以兩個正方形的邊長之和等于（ 52-4） 3=16（厘米）。 又由兩個正方形的邊長之差是 4 厘米，可求出 大正方形邊長 =（ 16+4） 2=10（厘米）， 小正方形邊長 =（ 16-4） 2=6（厘米）。 兩個正方形的面積之和減去三角形 ABD 與三角形 BEF 的面積，就得到陰影部分的面積。 102+62-（ 10 10 2） -（ 10+6） 6 2=38（厘米 2）。 例 2 如左下圖所示，四邊形 ABCD 與 DEFG 都是平行四邊形，證明它們的面積相等 。 分析與證明： 這道題兩個平行四邊形的關(guān)系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié) CE（見右上圖），這時通過三角形 DCE，就把兩個平行四邊形聯(lián)系起來了。在平行四邊形 ABCD 中，三角形 DCE的底是 DC，高與平行四邊形 ABCD 邊 DC 上的高相等，所以平行四邊形ABCD 的面積是三角形 DCE 的兩倍；同理，在平行四邊形 DEFG 中，三角形 DCE 的底是 DE，高與平行四邊形 DEFG 邊 DE上的高相等，所以平行四邊形 DEFG 的面積也是三角形 DCE 的兩倍。 兩個平行四邊形的面積都是三角形 DCE 的兩倍，所以它們的面積相等。 例 3 如左下圖所示，一個腰長是 20 厘米的等腰三角形的面積是 140厘米 2，在底邊上任意取一點，這個點到兩腰的垂線段的長分別是 a 厘米和 b 厘米。求 a+b 的長。 分析與解 ： a， b 與三角形面積的關(guān)系一下子不容易看出來。連結(jié)等腰三角形的頂點和底邊上所取的點，把等腰三角形分為兩個小三角形，它們的底都是 20 厘米，高分別為 a 厘米和 b 厘米（見右上圖）。大三角形的面積與 a， b 的關(guān)系就顯露出來了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個小三角形的面積分別為 20 a 2 和 20 b 2。 因為這兩個小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有 20 a 2+20 b 2=140， 10（ a+b） =140， a+b=14（厘米）。 在例 2、例 3 中，通過添加輔助線，使圖形間的關(guān)系更清 晰，從而使問題得解。下面再看一例。 例 4 如左下圖所示，三角形 ABC 的面積是 10 厘米 2，將 AB， BC，CA 分別延長一倍到 D， E， F，兩兩連結(jié) D， E， F，得到一個新的三角形DEF。求三角形 DEF 的面積。 分析與解 ：想辦法溝通三角形 ABC 與三角形 DEF 的聯(lián)系。連結(jié) FB（見右上圖）。 因為 CA=AF，所以三角形 ABC 與三角 ABF 等底等高，面 積相等。因為 AB=BD，所以三角形 ABF 與三角形 BDF 等底等高，面積相等。由此得出，三角形 ADF 的面積是 10+10=20（厘米 2）。 同理可知，三角形 BDE 與三角形 CEF 的面積都等于 20 厘米 2。 所以三角形 DEF 的面積等于 20 3+10=70（厘米 2）。 例 5 一個正方形，將它的一邊截去 15 厘米，另一邊截去 10 厘米，剩下的長方形比原來正方形的面積減少 1725 厘米 2，求剩下的長方形的面積。 分析與解 ：根據(jù)已知條件畫出下頁左上圖，其中甲、乙、丙為截去的部分。 由左上圖知，丙是長 15 厘米、寬 10 厘米的矩形，面積為 15 10=150（厘米 2）。 因為甲、丙形成的矩形的長等于原正方形的邊長，乙、丙形成的矩形的長也等于原正方形的邊長，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于 10+15=25（厘米），長等于原正方形的邊長，面積等于 （甲 +丙） +（乙 +丙） = 甲 +乙 +丙） +丙 = 1725+150 = 1875（厘 米 2）。 所以原正方形的的邊長等于 1875 25=75（厘米）。剩下的長方形的面積等于 75 75-1725=3900（厘米 2）。 例 6 有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見右圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是 20，黃色面積是 14，綠色面積是 10，求正方形盒子底部的面積。 分析與解 ：把黃 色正方形紙片向左移動并靠緊盒子的左邊。由于三個正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁右上圖。此時露出的黃、綠兩部分的面積相等，都等于 （ 14+10） 2=12。 因為綠：紅 =A黃，所以 綠黃 =紅 A， A=綠黃紅 =12 12 20=7.2。 正方形盒子底部的面積是紅 +黃 +綠 +A=20+12+12+7.2=51.2。 練習(xí) 20 1.等腰直角三角形的面積是 20 厘米 2，在其中做一個最大的正方形，求這個正方形的面積。 2.如左下圖所示，平行四邊形 ABCD 的周長是 75 厘米，以 BC 為底的高是 14 厘米，以 CD 為底的高是 16 厘米。求平行四邊形 ABCD 的面積。 3.如右上圖所示，在一個正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬 2 米的小路，小路的面積是 80 米 2，正方形水池的面積是多少平方米？ 4.如右圖所示，一個長方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是 28 厘米 2，梯形的上底長是多少厘米？ 5.如下圖，在三角形 ABC 中， BD=DF=FC， BE=EA。若三角形 EDF的面積是 1，則三角形 ABC 的面積是多少？ 6.一個長方形的周長是 28 厘米，如果它的長、寬都分別增加 3 厘米，那么得到的新長方形比原長方形的面積增加了多少平方厘米？ 7.如下圖所示，四邊形 ABCD 的面積是 1，將 BA， CB， DC， AD 分別延長一倍到 E， F， G， H，連結(jié) E， F， G， H。問：得到的 新四邊形 EFGH的面積是多少？ 練習(xí) 20 1.10 厘米 2。 提示：右圖中四個小三角形的面積都相等。 2.280 厘米 2。 解： 14 BC=16 CD，所以 BC CD=16 14=8 7。 因為 BC+CD=75 2=37.5，所以 平行四邊形 ABCD 的面積等于 14 20=280（厘米 2）。 3.64 米 2。 提示：右圖中每個 小矩形的寬是 2，面積是 80 4，所以水池的邊長是 80 4 2-2=8（米）。 4.4 厘米。 提示：見左下圖。上底 =28 7=4（厘米）。 5.6。 提示：如右上圖， S ACF=S BCF， S BFD=S EFD=S CFE。 6.51 厘米 2。 解：左下圖陰影部分即為增加部分，如右下圖重新拼合，所得陰影部分的長為（ 28 2+3）厘米，寬為 3 厘米，面積為（ 28 2+3） 3=51（厘米 2）。 7.5。 提示：連結(jié) AF 和 AC（見右圖）。容易求出 S EBF=2S ABC。同理可求出 S HDG=2S ADC。 所以 S EBF+S HDG=2S ABCD。同理可 知 S EAH+S GCF=2S ABCD，所以 S EFGH=S EBF+S HDG+S EAH+S GCF+S ABCD =5S ABCD=5。 小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 用等量代換求面積 一個量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個性質(zhì)在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積，或?qū)蓚€圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。 例 1 兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。 分析與解 ：陰影部分是一個高為 3 厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形 ABC 與三角形DEF 完全相同，都減去三角形 DOC 后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形 OEFC 面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形 OEFC 的面積。直角梯形 OEFC 的上底為 10-3=7（厘米），面積為（ 7+10） 2 2=17（厘米 2）。 所以，陰影部分的面積是 17 厘米 2。 例 2 在右圖中，平行四邊形 ABCD 的邊 BC 長 10 厘米，直角三角形ECB 的直角邊 EC 長 8 厘米。已知陰影部分的總面積比三角形 EFG 的面積大 10 厘米 2，求平行四邊形 ABCD 的面積。 分析與解 ：因為陰影部分比三角形 EFG 的面積大 10 厘米 2，都加上梯形 FGCB 后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面積大 10 厘米 2，所以平行四邊形 ABCD 的面積等于 10 8 2+10=50（厘米 2）。 例 3 在右圖中， AB=8 厘米， CD=4 厘米， BC=6 厘米，三角形 AFB比三角形 EFD 的面積大 18 厘米 2。求 ED 的長。 分析與解 ：求 ED 的長，需求出 EC 的長；求 EC 的長，需求出直角三角形 ECB 的面積。因為三角形 AFB 比三角形 EFD 的面積大 18 厘米 2，這兩個三角形都加上四邊形 FDCB 后，其差不變，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面積大 18 厘米 2。也就是說，只要求出梯形 ABCD 的面積，就能依次求出三角形 ECB 的面積和 EC 的長，從而求出 ED 的長。 梯形 ABCD 面積 =（ 8+4） 6 2=36（厘米 2） ， 三角形 ECB 面積 =36-18=18（厘米 2）， EC=18 6 2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。 例 4 下頁上圖中， ABCD 是 7 4 的長方形， DEFG 是 10 2 的長方形，求三角形 BCO 與三角形 EFO 的面積之差。 分析：直接求出三角形 BCO 與三角形 EFO 的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之 差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。 解法一： 連結(jié) B， E（見左下圖）。三角形 BCO 與三角形 EFO 都加上三角形 BEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形 BEC 與三角形 BEF 的面積之差。所求為 4（ 10-7） 2-2（ 10-7） 2=3。 解法二： 連結(jié) C， F（見右上圖）。三角形 BCO 與三角形 EFO 都加上三角形 CFO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形 BCF 與三角形 ECF 的面積之差。所求為 4（ 10-7） 2-2（ 10-7） 2=3。 解法三： 延長 BC 交 GF 于 H（見下頁左上圖）。三角形 BCO 與三角形 EFO 都加上梯形 COFH，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形 BHF 與矩形CEFH 的面積之差。所求為（ 4+2）（ 10-7） 2-2（ 10-7） =3。 解法四： 延長 AB， FE 交于 H（見右上圖）。三角形 BCO 與三角形EFO 都加上梯形 BHEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形 BHEC 與直角三角形 BHF 的面積之差。所求為 4（ 10-7） -（ 10-7）（ 4+2） 2=3。 例 5 左下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是 4 厘米，求三角形 ABC 的面積。 分析與解 ：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個 條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系。連結(jié) AD（見右上圖），可以看出，三角形 ABD 與三角形 ACD 的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因為三角形 AFD 是三角形 ABD 與三角形 ACD的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形 ABF 與三角形 FCD 面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形ABC 的面積等于求三角形 BCD 的面積，等于 4 4 2=8（厘米 2）。 練習(xí) 21 1.左下圖中，等腰直角三角形 ABC 的腰為 10 厘米，以 C 為圓心、 CF為半徑畫弧 線 EF，組成扇形 CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？ 2.右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。 3.左下圖 中，扇形 ABD 的半徑是 4 厘米，甲比乙的面積大 3.44 厘米2。求直角梯形 ABCD 的面積。（ =3.14） 4.在右上圖的三角形中， D， E 分別是所在邊的中點，求四邊形 ADFE的面積。 5.下頁左上圖中，矩形 ABCD 的邊 AB為 4 厘米， BC 為 6厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF 的面積大 9 厘米 2，求 ED 的長。 6.右上圖中， CA=AB=4 厘米，三角形 ABE 比三角形 CDE 的面積大 2厘米 2，求 CD 的長。 影部分的面積和。 練習(xí) 21 1.400 厘米 2。 解：扇形 CEF 與直角三角形 ABC 的面積相等， C=45，所求圓的面 2.140 厘米 2。 提示：所求面積等于右圖中陰影部分的面積，為 （ 20-5+20） 8 2 =140（厘米 2）。 3.24 厘米 2。 提示：扇形 ABD 的面積為 4 4 4=12.56（厘米 2）， 直角三角形 ABC 的面積為 12.56+3.44=16（厘米 2）， BC=16 4 2=8（厘米）， 梯形 ABCD 面積為（ 4+8） 4 2=24（厘米 2）。 4.8。 提示：由三角形 ADC 與三角形 EBC 的面積相等，推知陰影部分與三角形 BCF 面積相等。 5.1 厘米。 解：（ 4 6-9） 6 2=1（厘米）。 6.3 厘米。 解：連結(jié) CB（見右圖）。三角形 DCB 的面積為 4 4 2-2=6（厘米 2）， CD=6 4 2=3（厘米）。 7.12 厘米 2。 解：連結(jié) DF（見右圖）。因為 AE=ED，所以 BED 與 ABE 面積相等， 解得 S ABF=12，即陰影部分的面積和為 12 厘米 2。 小 學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (五年級 ) 本教程共 30 講 用割補(bǔ)法求面積 在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計算它們的面積，常常需要變動圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計算面積，有時也要用到割補(bǔ)的方法。 例 1 求下列各圖中陰影部分的面積： 分析與解 ：（ 1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中 AB 弧所形成的弓形，其面積等于扇形 OAB與三角形 OAB 的面積之差。 4 4 4-4 4 2=4.56。 （ 2）在題圖虛線分割的兩個正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為 5 的四分之一個圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為 5 的四分之一個圓。 如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分正好等于一個正方形的面積，為 5 5=25。 例 2 在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾。 分析與解 ：陰影部分是一個梯形。我們用三種方法解答。 （ 1）割補(bǔ)法 從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形。將這兩個直角三角 （ 2）拼補(bǔ)法 將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）。 積和平行四邊行面積同時除以 2，商不變。所以原題陰影部分占整個圖形面 （ 3）等分法 將原圖等分成 9 個小三角形（見右上圖），陰 影部分占 3 個小三角形， 注意，后兩種方法對任意三角形都適用。也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。 例 3 如左下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長 5 厘米、下底長 9 厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面積。 分析與解 ：因為不知道梯形的高，所以不能直接求