IIR數字濾波器.doc

數字信號課程設計報告設計題目： IIR數字濾波器的設計并實現 專業(yè)班級 學 號 學生姓名 指導教師 王科平 2016年12月26日目 錄一: 摘要3二：正文4 1設計內容4 2. 設計原理52.1.用脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器52.2雙線性變換法設計IIR數字濾波器73.設計過程93.1雙線性變換法設計IIR數字濾波器9 3.2用脈沖響應不變性設計IIR濾波15三：結論16四：參考文獻17一 摘要數字濾波器是現代數字信號處理系統(tǒng)的重要組成部分之一。R數字濾波器又是其中非常重要的一類濾波器，因其可以較低的階次獲得較高的頻率選擇特性而得到廣泛應用。本文研究了R數字濾波器的常用設計方法，在分析各種R實現結構的基礎上，利用MATLAB針對并聯型結構的R數字濾波器做了多方面的仿真，從理論分析和仿真情況確定了所要設計的R數字濾波器的實現結構以及中間數據精度。一種采用MATLAB的數字濾波器設計工具箱FDATOOL快速有效設計IIR數字濾波器的方法，可實時調整濾波器的參數從而使濾波器的設計達到最優(yōu)。概述了FDATOOL的使用方法，采用DSPBuilder建立了實現模型，給出了基于FPGA的IIR數字濾波器的實現流程，并且在最后使用Simulink進行仿真，給出了仿真波形。隨著信息與數字技術的發(fā)展,數字信號處理已成為當今極其重要的學科與技術之一,它在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數字信號處理的基本方法中,通常會涉及到變換、濾波、頻譜分析、調制解調和編碼解碼等處理。其中,濾波是應用非常廣泛的一個環(huán)節(jié),數字濾波器的理論與相關設計也一直都是人們研究的重點之一。數字濾波器根據其單位沖擊響應函數的時域特性可分為兩類:無限沖擊響應(IIR)濾波器和有限沖擊響應(FIR)濾波器。在給定濾波器階數時,與FIR濾波器相比,無限沖擊響應IIR(infiniteimpulsere2sponse)濾波器在達到某種性能屬性方面可以有更好的效率。這是因為IIR濾波器引入了反饋,且適合于系統(tǒng)傳遞函數的0點和極點的實現。 IIR數字濾波器具有無限寬的沖激響應,與模擬濾波器相匹配,所以IIR濾波器的設計可以采取在模擬濾波器設計基礎上進一步變換的方法。其設計方法主要有脈沖響應不變法、雙向性變換法。一般數字濾波器從功能上可分為低通、高通、帶通、帶阻等濾波器，它們的幅頻特性是離線規(guī)定，但這種理想濾波器是不可能實現的，因為它們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的，我們只能按照某些準則盡可能逼近它，這些濾波器可以為逼近的原則。數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖相應分類，可以為無限長脈沖響應和有限長脈沖響應。 二 正文1. 設計內容濾波器的指標常常在頻域給出。數字濾波器的頻響特性函數 一般為復函數，所以通常表示為： 其中，稱為幅頻特性函數，稱為相頻特性函數。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般IIR數字濾波器，通常只用幅頻響應函數來描述設計指標，相頻特性一般不作要求。IIR濾波器指標參數如下圖所示。圖中，和分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數表示，通帶內所允許的最大衰減（dB）和阻帶內允許的最小衰減（dB）分別為p和s表示：一般要求 圖1低通濾波器的技術要求2. 設計原理IIR數字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數為假設MN，當MN時,系統(tǒng)函數可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯。IIR數字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數ka和kb，它是數學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數字濾波器。21用脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。圖2脈沖響應不變法的映射關系數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。圖3脈沖響應不變法中的頻響混疊現象對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。2.2雙線性變換法設計IIR數字濾波器脈沖響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖4所示圖4雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現式中,T仍是采樣間隔。當1由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，也即映射了整個j軸。將上式寫成將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為以上兩式是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換首先,把z=ej，可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入上式因此由此看出，當0時，|z|0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩(wěn)定的。IIR數字濾波器的設計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設計方法進行。其設計步驟是，先設計模擬濾波器，再按照某種方法轉換成數字濾波器。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設計方法已經非常成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內進行，由于需要解聯立方程，設計時需要計算機做輔助設計。其設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數)(sHa，然后將)(sHa按某種方法轉換成數字濾波器的系統(tǒng)函數)(zH。這是因為模擬濾波器的設計方法已經很成熟，不僅有完整設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉換后的)(zH穩(wěn)定且滿足技術指標要求，對轉換關系提出兩點要求:(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關系。利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數字濾波器的過程是：(1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率pw、通帶最大衰減pa、阻帶截止頻率sw、阻帶最小衰減sa。(2)將數字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。(3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器。(4)用所選的轉換方法，將模擬濾波器)(sHa轉換成數字低通濾波器系統(tǒng)函數)(zH。IIR數字濾波器的設計流程圖如下：圖5 IIR數字濾波器的設計步驟流程圖3. 設計過程3.1雙線性變換法設計IIR數字濾波器 低通clearwp=12*pi; ws=35*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title(幅頻、相頻圖);n =4wc =96.0575num = 0.0172 -0.0121 0.0255 -0.0121 0.0172den =1.0000 -2.7303 2.9423 -1.4522 0.2759高通clearwp=35*pi; ws=12*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title(幅頻、相頻圖);n =4wc =43.1537num =0.0104 -0.0294 0.0401 -0.0294 0.0104den =1.0000 -3.4194 4.4215 -2.5587 0.5587帶阻clearwp=85*pi;ws=139*pi;rp=0.5;rs=40;fs=600;n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)z,p,k=cheb2ap(n,rs);a,b,c,d=zp2ss(z,p,k);at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc);at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs);num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2)figure(1);freqz(num,den,128,fs);gridon;title(幅頻、相頻圖);n =6wc = 431.0781num =0.0143 -0.0295 0.0441 -0.0428 0.0441 -0.0295 0.0143帶通clearwp=89*pi;ws=225*pi;rp=0.5;rs=40;fs=600;n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)z,p,k=cheb2ap(n,rs);a,b,c,d=zp2ss(z,p,k);at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc);at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs);num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2)figure(1);freqz(num,den,128,fs);gridon;title(幅頻、相頻圖);n =5wc =537.0759num =0.0167 -0.0134 0.0145 0.0145 -0.0134 0.0167den = 1.0000 -3.1304 4.1669 -2.8750 1.0225 -0.14853.2用脈沖響應不變性設計IIR濾波fp=2100; fs=8000; Fs=20000; Rp=0.5; Rs=30; T=1/Fs; % W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;% N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,s);%butterworthNWn z,p,k=buttap(N);%bp,ap=zp2tf(z,p,k); %bs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);%bz,az=impinvar(bs,as,Fs); %sys=tf(bz,az,T); %H,W=freqz(bz,az,512,Fs); %subplot(2,1,1); plot(W,20*log10(abs(H); %grid on; %xlabel(/Hz); ylabel(/dB);subplot(2,1,2); plot(W,abs(H); grid on; xlabel(/Hz); ylabel(/H); 三 結論 本次數字濾波器設計方法是基于MATLAB的數字濾波器的設計，是用學過的數字信號理論為依據，用MATLAB代碼來實現的。通過IIR數字濾波器的設計過程，說明如何利用MATLAB來完成數字濾波器的設計。脈沖響應不變法中相位響應有嚴格的線性,不存在穩(wěn)定性問題,設計簡單。雙線性變換不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，但會產生頻率混碟現象，使數字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻響。在同樣的技術指標的要求下，IIR濾波器所要求的階數N也比較小，實現起來比較容易。同時，除了典