高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題(1).doc

專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題一方法綜述立體幾何的動態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性。一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動點(diǎn)軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等。此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用，很多學(xué)生一籌莫展，無法形成清晰的分析思路，導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易失分點(diǎn)。究其原因，是因為學(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決問題的策略造成的。動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口。求解動態(tài)范圍的選擇、填空題，有時應(yīng)把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍。對于探究存在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時，可以引進(jìn)參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題。具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計算，以算促證。二解題策略類型一 立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題例1.【2015高考四川，理14】如圖，四邊形abcd和adpq均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)m在線段pq上，e、f分別為ab、bc的中點(diǎn)。設(shè)異面直線em與af所成的角為，則的最大值為.【答案】，當(dāng)時取等號.所以，當(dāng)時，取得最大值.【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，一種方法，代數(shù)法，只要便于建立空間直角坐標(biāo)系均可建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用公式求解；另一種方法，幾何法，幾何問題要結(jié)合圖形分析何時取得最大（?。┲怠．?dāng)點(diǎn)m在p處時，em與af所成角為直角，此時余弦值為0（最?。?dāng)m點(diǎn)向左移動時，em與af所成角逐漸變小時，點(diǎn)m到達(dá)點(diǎn)q時，角最小，余弦值最大?！九e一反三】1、【2014四川，理8】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）a b c d【答案】b ，.又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選b. 2、【2017屆內(nèi)蒙古包頭市十校高三聯(lián)考】在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則異面直線與所成角的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d 3、【2017屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖，已知平面，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且， ，是平面上的一動點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ）a b c d【答案】c類型二 立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題【例2】如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，有一棱長為的正方體，和分別是體對角線和棱上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【指點(diǎn)迷津】求兩點(diǎn)間的距離或其最值。一種方法，可建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，尋找那兩點(diǎn)間的距離最大（?。?，求其值。【舉一反三】1、【2016屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下第六次月考】如圖，已知正方體棱長為4，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，的最小值是（ ）a21 b22 c23 d25【答案】b【解析】在上取點(diǎn)，使得，則面，連結(jié)，則在平面上，以所在直線為軸，以所在直線為軸，由題意可知，點(diǎn)軌跡為拋物線，其方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則（其中，當(dāng)時，故2、如圖,在棱長為2的正方體abcd-a1b1c1d1中,e為bc的中點(diǎn),點(diǎn)p在線段d1e上,點(diǎn)p到直線cc1的距離的最小值為_.【答案】 3、【2017屆浙江省溫州市高三第二次模擬考試】如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（ ） a. b. c. d. 【答案】b類型三 立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】在棱長為6的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在的平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（ ）a. 36 b. c. 24 d. 【答案】b【指點(diǎn)迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點(diǎn)p到平面bcd的距離的最大值，選擇公式，可求最值?！九e一反三】1、【2017屆山東棗莊市高三理上學(xué)期末】 九章九術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，若，當(dāng)陽馬體積最大時，則塹堵的體積為（ ）a b c. d【答案】c2、【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2017屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知矩形中， ， 分別是上兩動點(diǎn)，且，把四邊形沿折起，使平面平面，若折得的幾何體的體積最大，則該幾何體外接球的體積為（ ） a. b. c. d. 【答案】d 3、【2015新課標(biāo)2文10】已知是球的球面上兩點(diǎn),為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）a. b. c. d. 【答案】c 【解析】類型四 立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題【例4】如圖直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，動點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動，并且始終有平面，則動點(diǎn)的軌跡長度為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因為分別為的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，又因為,所以平面平面，要使平面，則平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，點(diǎn)的軌跡長度為.故本題正確答案為.【指點(diǎn)迷津】由已知可知平面平面，要始終有平面，點(diǎn)m為定點(diǎn)，所以點(diǎn)p的軌跡為線段hf，求其長度即可?！九e一反三】1、如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）a直線 b拋物線 c橢圓 d雙曲線的一支【答案】c.2、【2017屆浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三月考】在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（ ）a直線 b橢圓 c圓 d拋物線【答案】d3、【2017屆浙江省名校協(xié)作體高三下學(xué)期考試】已知平面平面，且.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為 ( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，設(shè)，易知直線與平面所的角分別為，均為銳角，類型五 立體幾何中動態(tài)問題中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題【例5】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ）a. b. c. d.【答案】b.【解析】試題分析：設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，過作，連結(jié)，則就是二面角的平面角，在中，【舉一反三】 1、【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為o，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形abc的中心為o.d、e、f為圓o上的點(diǎn)，dbc，eca，fab分別是以bc，ca，ab為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以bc，ca，ab為折痕折起dbc，eca，fab，使得d、e、f重合，得到三棱錐.當(dāng)abc的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_.【答案】【解析】2、【浙江省2017屆高三3月聯(lián)考】矩形中， ， ，將與沿所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線與直線成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】初始狀態(tài)直線與直線成的角為 ，翻折過程中當(dāng)時, 直線與直線成的角為直角，因此直線與直線成的角范圍為，選c.3、如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是（ ）a動點(diǎn)在平面上的射影在線段上 b恒有平面平面c三棱錐的體積有最大值 d異面直線與不可能垂直【答案】d三強(qiáng)化訓(xùn)練1、【2017課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形abc的直角邊ac所在直線與a，b都垂直，斜邊ab以直線ac為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線ab與a成60角時，ab與b成30角；當(dāng)直線ab與a成60角時，ab與b成60角；直線ab與a所成角的最小值為45；直線ab與a所成角的最小值為60.其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】【解析】試題分析：由題意，是以ac為軸,bc為底面半徑的圓錐的母線，由，又ac圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)b，作，交底面圓于點(diǎn)d，如圖所示，連結(jié)de，則debd，連結(jié)ad，等腰abd中， ,當(dāng)直線ab與a成60角時，故，又在中，過點(diǎn)b作bfde，交圓c于點(diǎn)f，連結(jié)af，由圓的對稱性可知 ,為等邊三角形，即ab與b成60角，正確，錯誤.由最小角定理可知正確；很明顯，可以滿足平面abc直線a，直線與所成的最大角為90，錯誤.正確的說法為. 2、【2015高考山東，理7】在梯形中， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（a）（b）（c）（d）【答案】c 3、【2017屆河北定州市月考卷】設(shè)動點(diǎn)在棱長為1的正方體的對角線上，記，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍是 【答案】【解析】4、【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三3月月考】如右圖所示，在棱長為2的正方體中， 為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面和線段上的動點(diǎn)，則周長的最小值為_ 【答案】【解析】將面與面折成一個平面，設(shè)e關(guān)于的對稱點(diǎn)為m，e關(guān)于 對稱點(diǎn)為n,則周長的最小值為. 5、如圖所示，在棱長為2的正四面體中，是棱的中點(diǎn)，若是棱上一動點(diǎn)，則的最小值為 a b c d【答案】b6、在直三棱柱中，底面為直角三角形， ，是上一動點(diǎn)，則的最小值是（ ）a b c d 【答案】b7、在長方體中，點(diǎn)為對角線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動點(diǎn)（點(diǎn)，可以重合），則的最小值為（ ）a b c d【答案】c【解析】由題意易得：，作平面于，由對稱性可知，因此，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，體對角線上找一點(diǎn)使得最小，如下圖所示，過點(diǎn)作它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn), 再過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長度即為所求的最小值，易得，故選c8、已知直角梯形，沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時，兩點(diǎn)間的距離是 .【答案】 9、如圖，矩形中，平面，若在上只有兩個點(diǎn)滿足，則的取值范圍是 .【答案】.【解析】由，得：，設(shè) ，則由勾股定理可計算：，代入整理得： ，由題意得方程有兩個正根，.10、【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（a） （b） （）2 （）4 【答案】11、【2017屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為上任意兩點(diǎn)，且的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是（ ）a點(diǎn)到平面的距離 b三棱錐的體積c直線與平面所成的角 d二面角的大小【答案】c【解析】試題分析：a：平面也就是平面，既然和平面都是固定的，到平面的距離是定值；b：的面積是定值（定長，到的距離就是到的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據(jù)的結(jié)論到平面的距離也是定值，三棱錐的高也是定值，于是體積固定三棱錐的體積是定值；c：是動點(diǎn)，也是動點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，就不是定值直線與平面所成的角不是定值；d：，為上任意一點(diǎn)，、為上任意兩點(diǎn)，二面角的大小為定值故選：c12、長方體中，已知，棱在平面內(nèi)，則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 【答案】.【考點(diǎn)】立體幾何中的動態(tài)問題.（其中，），因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，因此.13、如圖所示，正方體的棱長為, 分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，給出以下四個命題：（1）平面平面；（2）當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形的面積最??；（3）四邊形周長，則是偶函數(shù)；（4）四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號為_.【答案】.，則，則是偶函數(shù)；（4）根據(jù)分割思想，有，又，到平面的距離為1，又，為常函數(shù)14、【2014高考北京理第8題】如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，動點(diǎn)e，f在棱a1b1上，動點(diǎn)p，q分別在棱ad，cd上若ef1，a1ex，dqy，dpz(x，y，z大于零)，則四面體pefq的體積 ()a與x，y，z都有關(guān)b與x有關(guān)，與y，z無關(guān)c與y有關(guān)，與x，z無關(guān)d與z有關(guān)，與x，y無關(guān)【答案】d【解析】試題分析：dca1b1，ef1，sefq12 (定值)而點(diǎn)p到面efq的距離為p到面a1dcb1的距離，為dpsin45z.v四面體pefqzz. 15、【2017屆廣西陸川縣中學(xué)高三9月月考】正四棱錐的底面邊長為2，高為2，是邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)在棱錐表面上運(yùn)動，并且總保持，則動點(diǎn)的軌跡的周長為_【答案】【解析】16、如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下面四個命題中不正確的是（ ）a是定值 b點(diǎn)在某個球面上運(yùn)動c存在某個位置，使 d存在某位置，使平面【答案】c【解析】取中點(diǎn)，連接，則，平面平面，平面，故d正確；由，為定值，為定值，由余弦定理可得，是定值，故a正確；是定點(diǎn)，是在以為圓心，為半徑的圓上，故b正確；在平面中的射影為，與不垂直，存在某個位置，使錯誤，故選c17、在平行四邊形中， ，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）a b c d【答案】c18、直角梯形，滿足，現(xiàn)將其沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積取最大值時其外接球的體積為（ ）a b c d【答案】b.19、【江西省2017屆