對數(shù)學(xué)建模題目難度預(yù)測.doc

對數(shù)學(xué)建模題目難度預(yù)測摘要本題的目的是通過對數(shù)學(xué)建模題目難度進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而對高校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)起到一定意義上的指導(dǎo)作用。本題解決方案是以難度趨勢為突破口，利用層次分析法評價(jià)得到相關(guān)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，定性預(yù)測未來一段時(shí)間內(nèi)數(shù)學(xué)建模難度的變化。建模題難度從單方面評定不是很有意義，為此我們將數(shù)學(xué)建模的難度分解到數(shù)據(jù)量、專業(yè)度、程序量、復(fù)雜度這四個(gè)方面的指標(biāo)，通過這四個(gè)方面的數(shù)據(jù)對數(shù)學(xué)建模開辦20年來的難度進(jìn)行間接地衡量。由于數(shù)據(jù)量龐大,我們首先對時(shí)間較早的題目的數(shù)據(jù)進(jìn)行不均勻采樣，對近些年的題目的數(shù)據(jù)進(jìn)行全部采樣，共選取1992年到2012年中17年的題目，利用層次分析法進(jìn)行處理，得到的權(quán)向量即為這17年題目的數(shù)據(jù)量、專業(yè)度、程序量、復(fù)雜度等的大小。結(jié)合樣本估計(jì)總體的思想，利用線性回歸得到得到數(shù)學(xué)建模題目的數(shù)據(jù)量、專業(yè)度、程序量、復(fù)雜度都在不斷增大的結(jié)論。其次通過查閱資料，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的，對歷年題目的方法使用頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果表明，優(yōu)化的相關(guān)內(nèi)容及方法所占比重最大，圖論、概率、統(tǒng)計(jì)等也是主流內(nèi)容。但僅憑借方法的使用頻率來評價(jià)方法的重要性較為片面，故在模型改進(jìn)中，我們運(yùn)用模糊綜合評價(jià)，從方法使用頻率、難易程度、引用廣度等三個(gè)方面進(jìn)行評價(jià)，得到方法的重要性排序：概率微積分與差分優(yōu)化統(tǒng)計(jì)圖論評判最后，我們根據(jù)以上預(yù)測與評價(jià)結(jié)果對建模培訓(xùn)給出了一些建議。關(guān)鍵詞：難度分解、不均勻采樣、層次分析法、趨勢評估一、問題提出：1.1 背景知識概述：近半個(gè)多世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，所謂數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。這種應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。建模題目的難度預(yù)測，有助于提高高校人才培養(yǎng)的針對性與適應(yīng)性，對高校建模培訓(xùn)具有指導(dǎo)意義。1.2 要解決的問題:1.2.1根據(jù)以往數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)，對未來一段時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)建模題目的難度趨勢將進(jìn)行評價(jià)和預(yù)測。1.22根據(jù)這些題目常用的建模方法統(tǒng)計(jì)，對常用的建模方法重要性進(jìn)行排序。1.2.3對建模培訓(xùn)的內(nèi)容給出建議報(bào)告。二、基本假設(shè)： 2.1假設(shè)1試題難度由數(shù)據(jù)量、專業(yè)度、程序量、復(fù)雜度這四個(gè)方面指標(biāo)共同決定，以題目難度作為評價(jià)總指標(biāo)；2.2 假設(shè)2在建模比賽中，越接近現(xiàn)在的試題越具有代表性;2.3假設(shè)3數(shù)學(xué)建模題目難度變化規(guī)律總體上呈線性變化，忽略“突變”因素；2.4假設(shè)4用層次分析法對歷年實(shí)體的評估都是合理的2.5假設(shè)5某種方法的使用頻率決定其在建模比賽中的重要程度。三、建立模型： 3.1模型數(shù)據(jù)準(zhǔn)備對建模題目難度進(jìn)行預(yù)測，需要以長期的數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)做為依據(jù)。本文采集的數(shù)據(jù)主要取自數(shù)學(xué)建模官方網(wǎng)站以及CNKI中對數(shù)學(xué)建模研究的學(xué)報(bào)。3.2模型建立方法3.2.1利用層次分析法評價(jià)題目3.2.2統(tǒng)計(jì)各個(gè)方法的使用頻率3.2.3使用模糊綜合評價(jià)法評估重要性詳細(xì)敘述模型、變量、參數(shù)代表的意義和滿足的條件及建模的思想；3.3參數(shù)設(shè)定I方法重要性分解集J建模方法集A1復(fù)雜度A2專業(yè)度A3程序量A4數(shù)據(jù)量B評價(jià)矩陣R1微分法與差分R2評判R3 概率R4 優(yōu)化R5 圖論R6 統(tǒng)計(jì)四、模型求解：4.1建模難度相關(guān)數(shù)據(jù)求解4.1.1復(fù)雜度求解對1992年到2012年中所采樣的17年題目復(fù)雜度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下評價(jià)矩陣： 用Matlab處理歸一化得到如下數(shù)據(jù)：0.0085 0.0131 0.0119 0.0194 0.0153 0.0387 0.0583 0.0362 0.0652 0.0388 0.0411 0.0499 0.0612 0.0914 0.1068 0.1478 0.1964將所得數(shù)據(jù)繪制成表格年份199219941996199820002001200220032004復(fù)雜度0.00850.01310.01190.01940.01530.03870.05830.03620.0652年份20052006200720082009201020112012復(fù)雜度0.03880.04110.04990.06120.09140.10680.14780.1964得到如下復(fù)雜度-年份曲線圖線性擬合后得到：4.1. 2專業(yè)度求解對1992年到2012年中所采樣的17年題目復(fù)雜度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下評價(jià)矩陣用Matlab處理歸一化得到如下數(shù)據(jù)：0.0126 0.0112 0.0091 0.0179 0.0216 0.0354 0.0397 0.0195 0.0438 0.0473 0.0456 0.0727 0.1004 0.1205 0.1220 0.1220 0.1588 將所得數(shù)據(jù)繪制成表格年份199219941996199820002001200220032004專業(yè)度0.01260.01120.00910.01790.02160.03540.03970.01950.0438年份20052006200720082009201020112012專業(yè)度0.04730.04560.07270.10040.12050.1220.1220.1588得到如下復(fù)雜度-年份曲線圖線性擬合后得到：4.1.3程序量求解對1992年到2012年中所采樣的17年題目復(fù)雜度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下評價(jià)矩陣用Matlab處理歸一化得到如下數(shù)據(jù)：0.0090 0.0130 0.0136 0.0203 0.0396 0.0795 0.0631 0.0375 0.0758 0.0619 0.0629 0.0440 0.0632 0.0791 0.0449 0.1191 0.1734將所得數(shù)據(jù)繪制成表格年份199219941996199820002001200220032004程序量0.0090.0130.01360.02030.03960.07950.06310.03750.0758年份20052006200720082009201020112012程序量0.06190.06290.0440.06320.07910.04490.11910.1734得到如下程序量-年份曲線圖線性擬合后得到：4.1.4數(shù)據(jù)量求解對1992年到2012年中所采樣的17年題目復(fù)雜度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下評價(jià)矩陣用Matlab處理歸一化得到如下數(shù)據(jù)：0.0086 0.0249 0.0134 0.0154 0.0463 0.0196 0.0160 0.0331 0.0285 0.0479 0.0530 0.0634 0.0669 0.0922 0.1301 0.1027 0.2380將所得數(shù)據(jù)繪制成表格年份199219941996199820002001200220032004數(shù)據(jù)量0.00860.02490.01340.01540.04630.01960.0160.03310.0285年份20052006200720082009201020112012數(shù)據(jù)量0.04790.0530.06340.06690.09220.13010.10270.238得到如下數(shù)據(jù)量-年份曲線圖線性擬合后得到：4.2建模難度評價(jià)及預(yù)測將圖1、圖2、圖3、圖4疊加后得到如下曲線圖?？蛇M(jìn)一步可得到結(jié)論：數(shù)學(xué)建模難度大致呈逐年上升趨勢4.3統(tǒng)計(jì)建模方法4.3.1從題目來源上分析：為了細(xì)致的了解大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的歷年題目，我們首先對其題目的來源進(jìn)行了分析我們針對從1992年到2012年所有的A、B題題目來源進(jìn)行了分析與統(tǒng)計(jì)。從這總共44各題目的實(shí)際意義方面分析來說,大體上可以分為國際大事、國際關(guān)注、社會熱點(diǎn)、社會問題、國家項(xiàng)目、工業(yè)問題、國內(nèi)大事、行業(yè)問題八個(gè)大類。以下是歷年題目從屬于這八大類的次數(shù)統(tǒng)計(jì): 序號題目來源次數(shù)序號題目來源次數(shù)1國際大事25社會熱點(diǎn)82國際關(guān)注36社會問題53國家項(xiàng)目37工業(yè)問題104國內(nèi)大事38行業(yè)問題10其中：在表格的左半邊，這些關(guān)乎國家以及國際上大事的題目總共有11個(gè)，占到了總數(shù)的25%,而在表格的右半邊，這些貼近生活，與人們的生活息息相關(guān)的問題總共達(dá)到了33個(gè)，達(dá)到了總數(shù)的75%?？梢姶髮W(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的試題總體上是貼近生活的。4.3.2從問題的解決方法上分析 以下是各個(gè)賽題的解法對照表：方法相關(guān)賽題方法數(shù)使用總數(shù)優(yōu)化概率模型2000a、2002b、2005b、2009b1829組合優(yōu)化1992b、1998b、2000b規(guī)劃1993a分步優(yōu)化處理2007b數(shù)值模擬2004b、2005b、2009b混合整數(shù)規(guī)劃1999b、2005b蒙特卡羅法2001a隨機(jī)規(guī)劃2005a、2005b、2009b單目標(biāo)決策2002b動態(tài)規(guī)劃1994a、1995b、2007b、2009b組合數(shù)學(xué)1994b非線性規(guī)劃1995a、1996b、1997a、2000b、2001b、2002a、2004b、2006a、2010a線性規(guī)劃1995a、1998a、2004a、2004b、2005b、2006a整數(shù)規(guī)劃1993b、2003b、2005b、2006a、2009b、0-1規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃1998a、2001b、2006a、2007b計(jì)算機(jī)仿真優(yōu)化2009b、1999a、2004a二次規(guī)劃2000b評判Fisher判別2000a611綜合評價(jià)方法2001b、2002b、2005a、2006b、2008b、2010b模糊數(shù)學(xué)方法2002b模糊規(guī)劃1998a模式識別2000a層次分析1993b、2009b、2010bFisher判別2000a概率線性目標(biāo)函數(shù)的多約束的非線性規(guī)劃問題2003b57隨機(jī)模擬1997b、排隊(duì)論1995b、2001b、2009b隨機(jī)優(yōu)化1999a滿意度函數(shù)2005b線性目標(biāo)函數(shù)的多約束的非線性規(guī)劃問題2003b圖論距離矩陣2007b513最短路算法2000b、2007b網(wǎng)絡(luò)流2005b、2006a運(yùn)輸問題2000b、2003b圖論1993b、1994a、1994b、1995b、1997b、1998b、1999b、2004a、2007b統(tǒng)計(jì)回歸分析1992a、2004a、2005a、2006b、2007a、2008b816數(shù)據(jù)擬合1992a、1993a、2000a、2003a、2004b、2005a、2006b、2010a數(shù)據(jù)收集處理2010b曲線擬合2001a統(tǒng)計(jì)分析2000a、2004a、2008b數(shù)據(jù)處理2004a、2005a、2006a、2007a插值1994a、2003a、2005a、2006b抽樣分析2005b微分與差分?jǐn)?shù)據(jù)擬合1992a、1993a、2000a、2003a、2004b、2005a、2006b、2010a414數(shù)據(jù)收集處理2010b曲線擬合2001a微元分析法2009a差分方程2003a、2005a、2007a微分方程1996a、2003a、2005a、2006b、2007a2002a、2009a、2010a其他時(shí)間序列分析2003a、2005a、2006b、2010b44灰色預(yù)測2003a、2005a、2006b、2008b4人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2000a、2003a2枚舉法1999b1從以上分析可以看出：歷年試題主要以優(yōu)化，統(tǒng)計(jì)，評判為主，再在其中穿插一些其他運(yùn)籌知識，如：圖論、概率等，以及其他離散數(shù)學(xué)，組合數(shù)學(xué)等相關(guān)知識。 4.4常用的建模方法重要性排序。針對以上我們對信息的整合，我們做出了如下統(tǒng)計(jì)：首先我們對各個(gè)小方法數(shù)目進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：方法大類數(shù)量所占比重微積分與差分48.69%評判613.04%概率510.86%優(yōu)化1839.13%圖論510.86%統(tǒng)計(jì)48.69%其他48.69%總和461在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中所使用的各種小方法所隸屬的大方法中，優(yōu)化所包含的小方法最多，占到了總數(shù)的39.13%。其次是占總數(shù)13.04%的評判，再次之則是10.86%的統(tǒng)計(jì)，最后是均占總數(shù)8.69%的統(tǒng)計(jì)、圖論和微積分與差分。由此可見優(yōu)化是在數(shù)學(xué)建模競賽中所使用方法分支最多的。由此我們可以到的到方法數(shù)量從大到小的的排序：優(yōu)化評判概率圖論=統(tǒng)計(jì)=微積分與差分以下是每種大方法的使用次數(shù)統(tǒng)計(jì)：方法大類使用次數(shù)所占比重微積分與差分140.138614評判110.108911概率70.069307優(yōu)化290.287129圖論130.128713統(tǒng)計(jì)160.158416其他110.108911總和1011由此可見：在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽所有方法的總共使用次數(shù)101次之中，優(yōu)化所占的比重最大，達(dá)到了總數(shù)的28.71%。對所有方法的使用次數(shù)占總數(shù)的百分比進(jìn)行從大到小的排序，得到以下結(jié)果（由于其他各項(xiàng)所占比重過小，故歸為一類）：優(yōu)化統(tǒng)計(jì)微積分與差分圖論評判概率其他由于方法的使用頻率的高低相對在這大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中而言，決定著方法的重要程度。換言之，倘若一方法使用頻率先比其他較高，則該方法在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中相比其他方法也更具有重要性。于是得到了重要性排序：優(yōu)化統(tǒng)計(jì)微積分與差分圖論評判概率其他4.3.3模型改進(jìn)針對上面的模型，單純從方法的使用頻率、難易程度、方法的重要性較為片面，我們決定從方法的使用頻率、難易程度、方法的重要性、引用廣度這三方面對其進(jìn)行模糊綜合評價(jià)運(yùn)用層次分析法得到評價(jià)綜合矩陣計(jì)算后得權(quán)向量：對方法的使用頻率綜合評價(jià)后得到評價(jià)矩陣：微分與差分：評判：概率：優(yōu)化：圖論：統(tǒng)計(jì)：由于： 由歸一化后得：微積分與差分：評判：概率：優(yōu)化：圖論：統(tǒng)計(jì)：由此可以得到建模方法重要性排序：概率微積分與差分優(yōu)化統(tǒng)計(jì)圖論評判4.5對建模培訓(xùn)的內(nèi)容給出建議報(bào)告。為進(jìn)一步指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn),使數(shù)學(xué)建模教學(xué)得到更加科學(xué)高效地組織開展,我們對歷年建模題目進(jìn)行了評估統(tǒng)計(jì),并根據(jù)結(jié)果呈現(xiàn)的趨勢對建模難度從四個(gè)方面進(jìn)行了預(yù)測,對方法的重要性進(jìn)行了評價(jià)。從整體上看,數(shù)學(xué)建模的題目來源廣泛,涉及社會科學(xué)、工業(yè)工程、生物醫(yī)學(xué)、運(yùn)輸調(diào)度等多類問題。題目呈現(xiàn)出綜合性、實(shí)用性、創(chuàng)新性等特點(diǎn)。為此，我們以層次分析法為主線，對影響實(shí)體難度的四個(gè)方面進(jìn)行了分析評估。結(jié)果表明：隨著時(shí)代的發(fā)展、科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)建模的難度隨數(shù)據(jù)量、專業(yè)要求程度、復(fù)雜程度、計(jì)算機(jī)程序量增加而增加。這些指標(biāo)的增長順應(yīng)了時(shí)代發(fā)展的潮流，也使得數(shù)學(xué)建模的題目更加富有挑戰(zhàn)性。建模方法主要以優(yōu)化模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、圖論、微分方程等內(nèi)容為主。針對以上對建模題目的分析，及當(dāng)前數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中的現(xiàn)狀，我們給出以下建議：1、 培訓(xùn)期間，應(yīng)該重點(diǎn)對優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)建模重點(diǎn)模型方法、內(nèi)容的教授上來。這些模型方法使用范圍較廣，理論相對基礎(chǔ)，容易在短期內(nèi)激發(fā)學(xué)生建模興趣、從而取得較好的教學(xué)效果。2、 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)處理的能力，使學(xué)生應(yīng)對龐大的數(shù)據(jù)量能夠做到心中有數(shù)，從容地去面對大量數(shù)據(jù)。同時(shí)對MATLAB、SPASS/SAS、LINGO/LINDO、MATHMATICA、MAPLE等軟件，深入淺出地講解，以引導(dǎo)學(xué)生較為深入地學(xué)習(xí)這些軟件為目的，以提高某軟件求解的能力3、 指導(dǎo)學(xué)生高效地進(jìn)行資料的搜集、整合。推薦一些較為權(quán)威的學(xué)術(shù)資料源。4、 論文是展現(xiàn)學(xué)習(xí)成果的最主要方式，所以應(yīng)加大對這方面的培訓(xùn)指導(dǎo)，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，并及時(shí)給出修改建議。5、 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科學(xué)前沿和社會生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生在擴(kuò)充知識面的同時(shí)，提高學(xué)生對生疏的問題的思考能力，使學(xué)生易于接受新知識、新文化求解、算法的主要步驟；結(jié)果分析與檢驗(yàn)：（含誤差分析）；模型改進(jìn): 針對第二問，單純從方法的使用頻率、難易程度、方法的重要性較為片面，我們決定從方法的使用頻率、難易程度、方法的重要性、引用廣度這三方面對其進(jìn)行綜合評價(jià)運(yùn)用層次分析法得到評價(jià)綜合矩陣模型評價(jià)：我們分別通過層次分析法與模糊綜合評價(jià)法對歷年賽題與所用方法進(jìn)行了分析，得出了將來賽題的進(jìn)展趨勢與方法的重要性排序，結(jié)果較為合理，有一定的參考價(jià)值。但這兩種方法隨力求真實(shí)客觀，但受方法本身限制，結(jié)果中仍然含有一定的主觀因素。參考文獻(xiàn)： 編號(美)米爾斯切特|譯者：劉來福，數(shù)學(xué)建模方法與分析(原書第4版)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013年.附件：2 （1）分工組長：梁云躍資料搜集：唐江華模型建立：梁云躍、楊東旭模型求解：梁云躍、楊東旭寫作：唐江華、楊東旭（2）需把期間的計(jì)劃時(shí)間安排和執(zhí)行進(jìn)度第一天（相當(dāng)于比賽的第一天）選題：B題討論題目思路方法，商討建模可能涉及數(shù)據(jù)，明確分工，擬定前三天工作計(jì)劃，搜集并整理高校數(shù)學(xué)建模開題報(bào)告，搜集高校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)重點(diǎn)內(nèi)容，為第三問作準(zhǔn)備；第二天（相當(dāng)于比賽的第二天）對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整合，完成第一題，建立模型，第三天（相當(dāng)于比賽的第二天晚上）查漏補(bǔ)缺、攻克難點(diǎn)，完成第二題，討論第三題的思路及論文擬寫方法第四天（相當(dāng)于比賽的第三天）對模型求解，撰寫論文第五天（相當(dāng)于比賽的第三天晚上）修改論文和摘要，核定數(shù)據(jù)，完成定稿，撰寫總結(jié)。（3）實(shí)際所做工作以層次分析法為主線解題；搜集并整理高校數(shù)學(xué)建模開題報(bào)告，搜集高校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)重點(diǎn)內(nèi)容；數(shù)據(jù)收集、處理、統(tǒng)計(jì)、歸類；（4）總結(jié)整體而言，我組分工合理，配合密切，積極探索思路方法，但這期間也暴露出了一些不足，由于我們的資料整合不到位，查找到的資料未能得到有效利用，導(dǎo)致思維