湖北省巴東一中高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版必修4.doc

1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：（1）利用單位圓中的三角函數(shù)線作出的圖象，明確圖象的形狀；（2）根據(jù)關(guān)系，作出的圖象；（3）用“五點法”作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，并利用圖象解決一些有關(guān)問題；能力目標(biāo)：（1）理解并掌握用單位圓作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法；（2）理解并掌握用“五點法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法； 德育目標(biāo)：通過作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)，一絲不茍的學(xué)習(xí)和工作精神；教學(xué)重點：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象； 教學(xué)難點：作余弦函數(shù)的圖象。 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。2.正、余弦函數(shù)定義：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點p（x,y）p與原點的距離r()則比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 3.正弦線、余弦線：設(shè)任意角的終邊與單位圓相交于點p(x，y)，過p作x軸的垂線，垂足為m，則有，向線段mp叫做角的正弦線，有向線段om叫做角的余弦線二、講解新課： 1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)在一般情況下，兩個坐標(biāo)軸上所取的單位長度應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學(xué)者對曲線形狀的正確認(rèn)識（1）函數(shù)y=sinx的圖象第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點a起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值弧度制下角與實數(shù)的對應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫出對應(yīng)于角，,，2的正弦線正弦線（等價于“列表” ）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點” ）. 第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2，就得到y(tǒng)=sinx，xr的圖象. 把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象. （2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象 探究1：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象？根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象. （課件第三頁“平移曲線” ）正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線思考：在作正弦函數(shù)的圖象時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？2用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數(shù)y=cosx x0,2p的五個點關(guān)鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要這五個點描出后，圖象的形狀就基本確定了因此在精確度不太高時，常采用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖，要求熟練掌握優(yōu)點是方便，缺點是精確度不高，熟練后尚可以3、講解范例：例1 作下列函數(shù)的簡圖(1)y=1+sinx，x0，2， （2）y=-cosx 探究2 如何利用y=sinx，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到（1）y1sinx ,0，的圖象；（2）y=sin(x- /3)的圖象？小結(jié)：函數(shù)值加減，圖像上下移動；自變量加減，圖像左右移動。 探究如何利用y=cos x，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到y(tǒng)-cosx ，0，的圖象？ 小結(jié)：這兩個圖像關(guān)于x軸對稱。探究 如何利用y=cos x，0，的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉(zhuǎn)等）來得到y(tǒng)2-cosx ，0，的圖象？小結(jié)：先作 y=cos x圖象關(guān)于x軸對稱的圖形，得到 y-cosx的圖象，再將y-cosx的圖象向上平移2個單位，得到 y2-cosx 的圖象。探究 不用作圖，你能判斷函數(shù)y=sin( x - 3/2 )和y=cosx的圖象有何關(guān)系嗎？請在同一坐標(biāo)系中畫出它們的簡圖，以驗證你的猜想。小結(jié)：sin( x - 3/2 )= sin( x - 3/2 ) +2 =sin(x+/2)=cosx這兩個函數(shù)相等，圖象重合。例2分別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合： 三、鞏固與練習(xí)四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1正弦、余弦曲線 幾何畫法和五點法 2注意與誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)線的知識的聯(lián)系五、課后作業(yè)： 1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能掌握正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)2、過程與能力目標(biāo) 通過引導(dǎo)學(xué)生觀察正、余弦函數(shù)的圖像，從而發(fā)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，加深對性質(zhì)的理解并會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間3、情感與態(tài)度目標(biāo) 滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點教學(xué)重點：正、余弦函數(shù)的周期性；正、余弦函數(shù)的奇、偶性和單調(diào)性。教學(xué)難點：正、余弦函數(shù)周期性的理解與應(yīng)用；正、余弦函數(shù)奇、偶性和單調(diào)性的理解與應(yīng)用。正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1問題：（1）今天是星期一，則過了七天是星期幾？過了十四天呢？ （2）物理中的單擺振動、圓周運動，質(zhì)點運動的規(guī)律如何呢？2觀察正（余）弦函數(shù)的圖象總結(jié)規(guī)律：自變量函數(shù)值 正弦函數(shù)性質(zhì)如下：（觀察圖象） 1 正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；2 規(guī)律是：每隔2p重復(fù)出現(xiàn)一次（或者說每隔2kp,kz重復(fù)出現(xiàn)）3 這個規(guī)律由誘導(dǎo)公式sin(2kp+x)=sinx可以說明結(jié)論：象這樣一種函數(shù)叫做周期函數(shù)。文字語言：正弦函數(shù)值按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)地取得；符號語言：當(dāng)增加（）時，總有也即：（1）當(dāng)自變量增加時，正弦函數(shù)的值又重復(fù)出現(xiàn)； （2）對于定義域內(nèi)的任意，恒成立。余弦函數(shù)也具有同樣的性質(zhì)，這種性質(zhì)我們就稱之為周期性。二、講解新課： 1周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f (x)，如果存在一個非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f (x+t)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)t叫做這個函數(shù)的周期。問題：（1）對于函數(shù)，有，能否說是它的周期？（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？ （是，其原因為：）2、說明：1周期函數(shù)x定義域m，則必有x+tm, 且若t0則定義域無上界；t0則定義域無下界； 2“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)f (x0)） 3t往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期t中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？ （沒有最小正周期）3、例題講解 例1 求下列三角函數(shù)的周期： （3），解：（1），自變量只要并且至少要增加到，函數(shù)，的值才能重復(fù)出現(xiàn)， 所以，函數(shù)，的周期是（2），自變量只要并且至少要增加到，函數(shù)，的值才能重復(fù)出現(xiàn)，所以，函數(shù)，的周期是（3），自變量只要并且至少要增加到，函數(shù)，的值才能重復(fù)出現(xiàn)，所以，函數(shù)，的周期是練習(xí)1。求下列三角函數(shù)的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)f (x+2)p+ =f (x+) 周期t=2p2令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) t=p 3令z=+ 則：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) t=4p 思考：從上例的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些量有關(guān)？說明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，則這三個函數(shù)的周期又是什么？一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期思考： 求下列函數(shù)的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期t1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 t2=yxo1-1p2p3p-pt為t1 ,t2的最小公倍數(shù)2p t=2p 2 t=p 作圖 三、鞏固與練習(xí)p36面四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：周期函數(shù)的定義，周期，最小正周期五、課后作業(yè)：正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)引入：偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢？二、講解新課： 1. 奇偶性 請同學(xué)們觀察正、余弦函數(shù)的圖形，說出函數(shù)圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？(1)余弦函數(shù)的圖形當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()； 由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情況反映在圖象上就是：如果點（x,y）是函數(shù)y=cosx的圖象上的任一點,那么,與它關(guān)于y軸的對稱點(-x,y)也在函數(shù)y=cosx的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)。 (2)正弦函數(shù)的圖形觀察函數(shù)y=sinx的圖象，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān)系？這個事實反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢？函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。也就是說，如果點（x,y）是函數(shù)y=sinx的圖象上任一點，那么與它關(guān)于原點對稱的點（-x,-y）也在函數(shù)y=sinx的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。2.單調(diào)性從ysinx，x的圖象上可看出：當(dāng)x，時，曲線逐漸上升，sinx的值由1增大到1.當(dāng)x，時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k，2k(kz)上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個閉區(qū)間2k，2k(kz)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)，2k(kz)上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個閉區(qū)間2k，(2k1)(kz)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.3.有關(guān)對稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知y=sinx的對稱軸為x= kz y=cosx的對稱軸為x= kz練習(xí)1。（1）寫出函數(shù)的對稱軸； （2）的一條對稱軸是（ c ）(a) x軸， (b) y軸， (c) 直線， (d) 直線思考：p46面11題。4.例題講解例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1) (2)例2 函數(shù)f(x)sinx圖象的對稱軸是 ；對稱中心是 .例3p38面例3例4 不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0； 例5 求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；思考：你能求的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？練習(xí)2：p40面的練習(xí)三、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1 單調(diào)性2 奇偶性3 周期性四、課后作業(yè)： 1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：（1）用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象；（2）用正切函數(shù)圖象解決函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)；2、過程與方法：（1）理解并掌握作正切函數(shù)圖象的方法；（2）理解用函數(shù)圖象解決有關(guān)性質(zhì)問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法。（3）培養(yǎng)學(xué)生類比，歸納的數(shù)學(xué)思想方法3、情態(tài)與價值：培養(yǎng)認(rèn)真學(xué)習(xí)的精神。 教學(xué)重點：用單位圓中的正切線作正切函數(shù)圖象； 教學(xué)難點：正切函數(shù)的性質(zhì)。 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：問題：1、正弦曲線是怎樣畫的？ 2、練習(xí)：畫出下列各角的正切線： 下面我們來作正切函數(shù)的圖象二、講解新課： 1正切函數(shù)的定義域是什么？ 2正切函數(shù)是不是周期函數(shù)？ ，是的一個周期。 是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。3作，的圖象說明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖象，稱“正切曲線”。y0x（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的。4正切函數(shù)的性質(zhì) 引導(dǎo)學(xué)生觀察，共同獲得：（1）定義域：；（2）值域：r 觀察：當(dāng)從小于，時， 當(dāng)從大于，時，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。5.講解范例：例1比較與的大小解：，內(nèi)單調(diào)遞增， 例2：求下列函數(shù)的周期：（1） 答：。 （2） 答：。說明：函數(shù)的周期例3：求函數(shù)的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性， 解：1、由得，所求定義域為2、值域為r，周期， 3、在區(qū)間上是增函數(shù)。思考1：你能判斷它的奇偶性嗎？ （是非奇非偶函數(shù)），練習(xí)1：求函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性。略解：定義域：值域：r 奇偶性：非奇非偶函數(shù)單調(diào)性：在上是增函數(shù) 練習(xí)2：教材p45面2、3、4、5、6