三角形的五心一次看個夠.doc

三角形的五心一次看個夠三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應(yīng)用，在這里分別給予介紹一、三角形外心的性質(zhì) 外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O也在A的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心因而稱為外心設(shè)ABC的外接圓為G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2 1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)； （2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合； （3）鈍角三角形的外心在三角形外. 2：BGC=2A，（或BGC=2(180-A). 3：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是ABC外心的充要條件是： 點(diǎn)是的外心 (或2=2=2)(點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等)(+)=(+)=(+)=0(為三邊垂直平分線的交點(diǎn))4：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是ABC外心的充要條件是： =(tanB+tanC) +(tanC+tanA) +(tanA+tanB) )/2(tanA+tanB+tanC). 或 =(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB). 5：R=abc/4SABC. 正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐標(biāo)：給定求外接圓心坐標(biāo)O（x，y）. 首先，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，我們根據(jù)圓心到頂點(diǎn)的距離相等，可以列出以下方程： .化簡得到： 令；;；; 即;.最后根據(jù)克拉默法則： 因此，x，y為最終結(jié)果；7.若O是ABC的外心，則SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A+sin2B+sin2C=證明：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，由向量基本定理，有，則設(shè)：，則點(diǎn)為DEF的重心， 又，若O是ABC的外心，則SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C故sin2A+sin2B+sin2C=二、三角形的內(nèi)心內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)A、C的平分線相交于I、過I作IDBC，IEAC，IFAB則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成設(shè)ABC的內(nèi)切圓為O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三個角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r。3、r=S/p。證明：SABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結(jié)論。4、ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2。5、BOC=90+A/2。6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是ABC內(nèi)心的充要條件是：。7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)L是ABC內(nèi)心的充要條件是： /(a+b+c)。8、ABC中，那么ABC內(nèi)心L的坐標(biāo)是：。9、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OL2=R2-2Rr。10、內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系：如圖：ABC中，AD是A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是A、B、C的對邊，d=AD。設(shè)R1是ABD的外接圓半徑，R2是ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC證明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，CAD=BAD，BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、內(nèi)切圓半徑r=三、三角形的重心1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。3.重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為。5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6.(萊布尼茲公式)三角形ABC的重心為G，點(diǎn)P為其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP+AC/AQ=38.從三角形ABC的三個頂點(diǎn)分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點(diǎn)為，則均在以重心G為圓心，為半徑的圓周上四、三角形的垂心證明垂心定理分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。證明 如圖，AD、BE、CF為ABC三條高，過點(diǎn)A、B、C分別作對邊的平行線相交成ABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/21、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。5、 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。9、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。10、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發(fā)現(xiàn)）。11、西姆松定理（西姆松線）：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。12、 設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為AEF，BDF，CDE的垂心，則DEFH1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。15、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。（垂心伴隨外接圓，必有平行四邊形）推論（垂心余弦定理）：銳角三角形ABC的垂心為H，則AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推廣到任意三角形）16、等邊三角形的垂心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點(diǎn)的那段長度為高的三分之二。17、垂心的重心坐標(biāo)反而比外心簡單一點(diǎn)。先計(jì)算下列臨時變量（與外心一樣）：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點(diǎn)連向另外兩個頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。垂心坐標(biāo)：( c1/c，c2/c，c3/c )ABC中，垂心H(m,n); 分別做高線: AHBC;BHAC; 且解得: 五、三角形的旁心1 ：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2：旁心到三角形三邊的距離相等。3：三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。5:的內(nèi)心為，而邊外的旁心分別為；分別是三條內(nèi)角平分線，交三角形外接圓于，交外接圓于，交于，顯然，三角形過同一頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線互相垂直，并且有、；、；、；、；、；、；（稱為對稱比定理）、，（俗稱“雞爪”定理）6:7：旁心與內(nèi)心的關(guān)系 如圖，為ABC的內(nèi)心，是ABC的三個旁心。注意：的中點(diǎn)D、E、F都在ABC外接圓上。這一點(diǎn)對內(nèi)心來確定旁心的位置大有作用。 又由內(nèi)心張角公式得： ， 又因?yàn)?、C、B四點(diǎn)共圓，故 同理，; 這便是旁心張角公式 第8條性質(zhì)8：旁心于半周長(p)形影不離 如圖：是ABC的旁心，作垂直于AB于E，垂直于AC于F。 易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p 9：旁心與三角形三個頂點(diǎn)構(gòu)成三組三點(diǎn)共線 如圖：分別是ABC的三個旁心，由于是對頂角的平分線亦為反向延長線，故三點(diǎn)共線。特別性質(zhì)：1.三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)的向量與面積關(guān)系結(jié)論： 設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，若，則證明： 已知點(diǎn)在內(nèi)部，且 設(shè)：，則點(diǎn)為DEF的重心， 又， 說明: 此結(jié)論說明當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，點(diǎn)把所分成的三個小三角形的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個小三角形相對應(yīng)的頂點(diǎn)的三個向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述結(jié)論易得：，所以，故選D 當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心”時，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且角所對應(yīng)的邊分別為 結(jié)論1：若為重心，則 分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2 ：為內(nèi)心，則 分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證SBOC：SCOA：SAOB=結(jié)論3： 為的外心，則 分析： 易證SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。 結(jié)論4：若為垂心，則 即 證明：對任意有，其中為外心，為垂心， ， 則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實(shí)數(shù)，使得， 即，由結(jié)論3得： 所以有：， 所以可得： 化簡后可得： 應(yīng)用舉例：例1：已知為的內(nèi)心，且，則角的余弦值為 。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三邊長為，設(shè)的外心為，若， 求實(shí)數(shù)的值。分析： ，整理后即得：. 由結(jié)論3可得：，又易得， . 點(diǎn)評：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組： 解方程組可得結(jié)果。 例3：設(shè)是的垂心，當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的值. 分析： 由結(jié)論4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 點(diǎn)評：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點(diǎn)評，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。 通過這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心”相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有很大幫助，正契合了新課標(biāo)對學(xué)生能力的要求。所以在平時的教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常做一些類似的思考與探究，將極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及思維能力。特別性質(zhì)：2.三角形四心與面積關(guān)系設(shè)O是內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)顯然不共線，由平面向量基本定理，可設(shè)則 （）若O是的內(nèi)心，則故必要性得證同時還可得到以下結(jié)論（）若O是的重心，則故（）若O是的外心則OFEDCBA故（）若O是(非直角三角形)的垂心，則故證明：（A 、E、O 、F四點(diǎn)共圓）同理因此只需證先證第一個等式（E 、C、D、O四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角；E 、O、F、A四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角）所以上式成立，即第一個等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。特別性質(zhì)：3.三角形四心與面積關(guān)系1.歐拉點(diǎn)：三個頂點(diǎn)到垂心連線的中點(diǎn)，又稱費(fèi)爾巴哈點(diǎn)。2.歐拉圓：又稱“九點(diǎn)圓”，即3個歐拉點(diǎn)、三邊中點(diǎn)和三高垂足九點(diǎn)共圓。3.歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓