盧克謙編 高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例集萃(一).doc

盧克謙編 高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例集萃（一）盧克謙編 高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例集萃（一）關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；案例高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，是廣大數(shù)學(xué)教師教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，在新課改過程中，廣大教師辛勤勞動，勇于創(chuàng)新，積累了許多成功的方法，值得我們借鑒。這里所收集的，來源于教師提供和網(wǎng)絡(luò)收集，因多重輾轉(zhuǎn)，可能有所遺漏，尤其是一些數(shù)式、圖片、公式、表格，可能被丟失，遺憾不少。因此，案例只能供大家參考。2010年6月目錄 直線的斜率正弦定理（1）正弦定理（2）等差數(shù)列等差數(shù)列的前n項和等比數(shù)列的前n項和簡單的線性規(guī)劃問題拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐曲線定義的運(yùn)用空間幾何體的三視圖及其表面積和體積“直線方程的一般式”一課教學(xué)感悟教學(xué)與生活的一點隨想函數(shù)應(yīng)用教學(xué)中滲透研究式的學(xué)習(xí)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)新課程教學(xué)新教材使用中的經(jīng)驗體會直線的斜率（1）史春生一、案例背景高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。”，“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該反璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)?！?上述精神表達(dá)了數(shù)學(xué)教學(xué)的新理念，即堅持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)。在這種理念下，數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)應(yīng)該是豐富多彩的學(xué)生創(chuàng)造性的活動?？墒牵瑓s有很多學(xué)生對數(shù)學(xué)不大感興趣，覺得數(shù)學(xué)很難學(xué)，很枯燥。我覺得其中的一個原因是：在課堂教學(xué)中，教師沒有創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，來激發(fā)學(xué)生的求知欲?！皢栴}教學(xué)法”正是以問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建的過程，完全符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念。因此，“問題教學(xué)法”在高中數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)中尤顯重要。下面，我結(jié)合直線的斜率的內(nèi)容就新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)問題教學(xué)法談一些個人體會。二、案例過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題師：同學(xué)們騎自行車上坡時很吃力，這與坡的什么有關(guān)?課件：生：與坡的平緩和陡有關(guān)。師：我們分析一下坡的平緩和陡問題。先請同學(xué)們來觀察下面兩幅圖片： 課件：如圖是兩張不同的樓梯圖。問題1：其中的樓梯有什么不同？生：樓梯的平緩和陡程度不同。問題2：用什么量來刻畫樓梯的平緩和陡呢？（提示：觀察樓梯下面兩個三角形）生：用高度和寬度的比值來反映。師：一般地：高度和寬度的比值就叫坡度。所以樓梯的傾斜程度是由坡度來刻畫的，坡度越大，樓梯越陡。（二）、歸納探索，形成概念1借助模型，直觀感知課件：給出一個樓梯模型PMQyx0y 級寬級高ox樓梯上面有一條直線，直線就反映坡度。設(shè)計意圖從模型直觀感知直線的斜率，完成直線的斜率的感性認(rèn)識。問題3：樓梯的傾斜程度用坡度來刻畫，那么直線的傾斜程度用什么量來刻畫呢？（對第三個問題，學(xué)生議論紛紛，部分學(xué)生不知道如何準(zhǔn)確回答）2通過探究，形成概念師：研究直線的傾斜程度可以借助直角坐標(biāo)系。（師生共同探究，得出直線的斜率嚴(yán)格的定義，板書定義 。引導(dǎo)學(xué)生找出定義中的關(guān)鍵），這個比值就叫直線的斜率。（常用字母K表示）設(shè)計意圖使學(xué)生體會通過實際問題如何抽象出具體的數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)過程。（三）、掌握概念，適當(dāng)延展問題4：如何用點的坐標(biāo)形式來表示斜率呢？Q(x2，y2)已知兩點 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，如果 x1x2，則直線 PQ的斜率為： P(x1，y1) （斜率的幾何意義）設(shè)計意圖把對直線的斜率的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的更深層次的認(rèn)識。 問題5：直線斜率會因為點取的不同而改變嗎？生：另取兩點說明問題（不會改變）問題6：是不是所有的直線都有斜率？（一些學(xué)生說是的，一些學(xué)生說不是的。叫了一個說不是的學(xué)生發(fā)表一下支持自己觀點的理由）生：垂直于x軸的直線斜率不存在。1.讓學(xué)生分析、解決問題課件：例1如圖直線 l1,l2,l3,l4 都經(jīng)過點P(2,3) ，又l1,l2,l3,l4 分別經(jīng)過點 Q1(-2,1),Q2(4,1),Q3(5,3),Q4(2,5) ,討論l1,l2,l3,l4 斜率是否存在,如果存在,求出直線的斜率。 0yxPQ3Q4Q2Q1l1l2l3斜率不存在K1=1/2K2=-1K3=0l4（學(xué)生板演，然后由學(xué)生評價。給了學(xué)生足夠的思考時間，幾個學(xué)生發(fā)表了自己的看法，全班討論、分析，達(dá)成共識）教師強(qiáng)調(diào)書寫格式和注意點。然后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：已知不垂直于x軸的直線上任意兩點就可以求出斜率。2分別通過代數(shù)和幾何角度研究直線的斜率 例2：經(jīng)過點A(3,2)畫直線，使直線的斜率分別為 0， 不存在， ， 解：過(3，2)，(0，2)畫一條直線即得。過(3，2)，(3，0)畫一條直線即得。（法一：待定系數(shù)法） 設(shè)直線上另一個點為（x,0），則：所以過點(3，2)和(2，0)畫直線即可說明：也可設(shè)點為(0，y)或其它特殊點。(法二：利用斜率的幾何意義)根據(jù)斜率公式 ，斜率為2表示直線上的任一點沿x軸方向向右平移1個單位，再沿y軸方向向上平移2個單位后仍在此直線上 即可以把點（3，2）向右平移1個單位，得到點（4，2），再向上平移2個單位后得到點（4，4），因此通過點(3，2)，(4，4)畫直線即得。 將點(3，2)向右平移3個單位，再向下平移2個單位后得到點(6，0)，過(3，2)和(6，0)畫直線即為所求。設(shè)計意圖初步掌握代數(shù)和幾何角度求直線的斜率的方法和步驟。用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（四）、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識教師小結(jié)： (1) 直線的斜率:定義、斜率公式、幾何意義、求法。(2) 斜率是反映直線的傾斜程度，在同一條直線上任何不同的兩點所確定的斜率相等。(3) 直線的斜率公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了平面解析幾何的本質(zhì)是:用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。（由于時間不夠，也沒能由學(xué)生做課堂小結(jié)）三、案例分析（一）本節(jié)課的設(shè)計分析1、教學(xué)難點的確定過兩點的直線斜率的計算公式的推導(dǎo)2、教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)本課教材的特點、新課標(biāo)對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀三個方面確定了教學(xué)目標(biāo)（1）知識與技能：理解直線的斜率的概念及過兩點的直線斜率的計算公式；掌握直線的傾斜角的概念及傾斜角的范圍（2）過程與方法：從生活實際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索直線的斜率的概念，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，；通過對直線的斜率概念的研究，培養(yǎng)學(xué)生的主動探究知識、合作交流的意識;培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。提高學(xué)生的觀測、探究、分析問題、解決問題的能力.（3）情感態(tài)度價值觀：通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程通過課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)行結(jié)合的美感與嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的生活態(tài)度.3、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇本節(jié)課是直線的斜率第一節(jié)課，采用教師設(shè)問啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法本節(jié)課使用了多媒體課件來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識4、教學(xué)過程的設(shè)計 針對本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)過程分為三個階段：（1）課題引入階段：提出的問題符合學(xué)生的生活經(jīng)驗，能引起學(xué)生的興趣，鍛煉學(xué)生的觀察能力。通過圖形的直觀感覺，給學(xué)生直線的斜率的感性認(rèn)識，為突破難點做好鋪墊。從而自然地導(dǎo)入課題。（2）定義探究階段：重視課堂問題的設(shè)計。圍繞四個問題，對定義進(jìn)行探究，層層深入，發(fā)動學(xué)生，積極思考，最終形成概念 （3）概念應(yīng)用階段：直線的斜率定義應(yīng)用設(shè)計例1，這一過程由學(xué)生來完成，使學(xué)生自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨(dú)立探究問題，充分暴露思維中的缺點，最后由學(xué)生總結(jié)出問題。（二）本案例課堂教學(xué)的特點1重視課堂提問的設(shè)計,激發(fā)學(xué)生的求知欲。2體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。3. 注重引導(dǎo)學(xué)生主動探究,建構(gòu)新知。重視概念形成的過程，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。 4重視交流合作，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。（三）本案例課堂教學(xué)引發(fā)的思考這是一節(jié)市級范圍內(nèi)的公開課。市教研員也給予了較高的評價。上完課我的感覺很好，在這個班的教學(xué)效果可以說是非常好的。學(xué)生的作業(yè)完成得也很好。但在第一個班級上課，由于時間控制得不好，講到例2(法二：利用斜率的幾何意義)時，縮短了給學(xué)生獨(dú)立思考的時間，沒有讓學(xué)生充分地展示他們的一些想法，怕時間不夠，我自己給學(xué)生做了詳盡的分析和解答，該強(qiáng)調(diào)的也都強(qiáng)調(diào)了。但作業(yè)一反饋過來，比這個班差好多！可以說，這給了我一次震撼：我多講是沒有用的，把知識強(qiáng)加給學(xué)生，只是我的一相情愿，學(xué)生并不會因為我講得有多而掌握的好。我深深感到，教學(xué)非以學(xué)生為主體不可。教學(xué)以學(xué)生為主體，要求教師在課堂教學(xué)中，得根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知狀態(tài)和生活經(jīng)驗, 設(shè)計一系列的問題, 讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流、自主探索的過程中主動去發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)新知識,獲得對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極體驗。探究活動比較費(fèi)時間，我有時一發(fā)現(xiàn)個別學(xué)生得到了正確的結(jié)論，就讓其回答，并結(jié)束這個探究過程?；蛘邔W(xué)生不能很好地回答我的提問時，我怕時間不夠，就自己講出答案。如何正確認(rèn)識和處理探究過程與時間限定的矛盾呢？這個也是我從本案例課堂教學(xué)引發(fā)的另一個思考。正弦定理 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實驗猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設(shè)計思想：本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。4培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。教學(xué)難點：正弦定理的猜想提出過程。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過程：（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機(jī)師生活動：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學(xué)生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學(xué)生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。解：過作于（圖2）在中，在中，教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想教師：給學(xué)生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等） （2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？BaACcb(圖4)學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學(xué)生閱讀實驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動手計算，附實驗報告單。）學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實驗，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）學(xué)生：思考得出在中，成立，如前面檢驗。在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學(xué)生：在前面的檢驗中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：在銳角三角形中，作單位向量垂直于，（圖9）即同理：對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學(xué)生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力。（八）作業(yè)設(shè)計作業(yè)：第10頁習(xí)題1.1A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用（相關(guān)網(wǎng)址：）七、設(shè)計思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動參與一個個相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。1、 結(jié)合實例，激發(fā)動機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。2、數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想通過特例檢驗，讓學(xué)生動手實驗，提高了學(xué)生實驗操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識。附一：實驗報告單組長:組員：試驗?zāi)康难芯咳切沃懈鬟吅退鼘堑恼抑档谋?，)是否相等。實驗器材計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）實驗方法畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。實驗內(nèi)容三邊：a= b= c= 三角：A= B= C= 計算：= = = （精確到小數(shù)點后兩位）結(jié)論：點評：本節(jié)定理教學(xué)課，教師把重點放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標(biāo)重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只注重結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角形成立；接著證明了這個定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時讓學(xué)生體驗了“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷了知識形成的過程，符合新課標(biāo)重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了 “在已有知識體系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)新的知識體系”的理念，加強(qiáng)了知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類 、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時間分配上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費(fèi)時間?？傊?，本節(jié)課有效地采用了探究式教學(xué)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察實驗猜想證明應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，教學(xué)過程流暢，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。正弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析“正弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修5）（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。三、設(shè)計思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。”這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個原則而進(jìn)行設(shè)計。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2、過程與方法：讓學(xué)生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境。五、教學(xué)重點與難點重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)難點：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過程設(shè)計（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度，水流速度。【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。（二）提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：1、船應(yīng)開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別需要多少時間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。師：誰能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：， 用計算器可求得船從A開往C的情況如圖3，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個問題。師：請大家思考，這兩個問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！驹O(shè)計意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設(shè)計意圖】通過教師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過點D作于點G（如圖4）， ，師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計意圖】通過教師對學(xué)生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長。（三）解決問題1、正弦定理的引入師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學(xué)們對直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果?！驹O(shè)計意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導(dǎo)與觀察，及時掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時通過展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。師：請說出你研究的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來的？生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊。師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）師：對一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于幾何畫板做一個數(shù)學(xué)實驗，【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的能力。2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用幾何畫板軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。結(jié)論：對于任意三角形都成立?！驹O(shè)計意圖】通過幾何畫板軟件的演示，使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結(jié)果是否一致。生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了?！驹O(shè)計意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形已驗證；銳角三角形課堂探究；鈍角三角形課后證明?！驹O(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意： 表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！【設(shè)計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學(xué)生作出合情的評價。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：三角形的面積不變；三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是的三條高。則有，。證法三：如圖7，設(shè)是外接圓的直徑，則，同理可證：【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？師：任意中，三個向量、間有什么關(guān)系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個向量中的一個向量（如向量）垂直，而且使三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？教師參與學(xué)生的小組研究，同時引導(dǎo)學(xué)生注意兩個向量的夾角，最后讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設(shè)非零向量與向量垂直。因為，所以即所以，同理可得師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學(xué)生思考）師：有什么幾何意義？生15：把移項可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請你到講臺來給大家講一講。（學(xué)生16上臺板書自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即 故，同理可得 師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計一些遞進(jìn)式的問題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理?！驹O(shè)計意圖】為保證學(xué)生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計：創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修4）（人教版）第二章習(xí)題 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進(jìn)行驗證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明?？傊?，整個過程讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實現(xiàn)。大田一中 陳永民點評：本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設(shè)計一個實際問題引導(dǎo)學(xué)生討論問題解決方案，將方案數(shù)學(xué)化，歸納出一類數(shù)學(xué)問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順利地引入新課，實現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”的飛躍，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題、分析問題、數(shù)學(xué)建模的能力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅定了結(jié)論成立的猜想，最后通過嚴(yán)格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學(xué)生親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”“反思總結(jié)”的歷程，學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂。在對具體的一般三角形驗證成立的過程中，利用幾何畫板軟件，不斷變換三角形，觀察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教育技術(shù)的運(yùn)用恰到好處。余弦定理余 弦 定 理一、教學(xué)內(nèi)容分析人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修（五）（第2版）第一章解三角形第一單元第二課余弦定理。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點。三、設(shè)計思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)繼續(xù)