高考數(shù)學(xué)必備秘笈--數(shù)學(xué)大題題型通解.pdf

管衛(wèi)東輕松考數(shù)學(xué) 高考大題中的通解思維管衛(wèi)東輕松考數(shù)學(xué) 高考大題中的通解思維管衛(wèi)東輕松考數(shù)學(xué) 高考大題中的通解思維管衛(wèi)東輕松考數(shù)學(xué) 高考大題中的通解思維 當(dāng)前教學(xué)上喜歡講究一題多解 因?yàn)檫@樣能夠鍛煉學(xué)生的做題思維和技巧 但是搏眾高考中心 今天我們要反其道而行之 那就是一解多題 數(shù)學(xué)大題表面上是很難 但是通過多年的教學(xué)積累和經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)科的解題 思維基本上趨于一致 能夠形成通解 使我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)上大幅的簡(jiǎn)化 甚至不需要刻意的思考 我們借助一下歷年高考真題 看看是不是能夠用一種方法或一種思維進(jìn)行解答 這里 我們?nèi)坎?用 05 08 全國(guó) I 卷的最后一題 發(fā)現(xiàn)是數(shù)列 函數(shù)或不等式題 沒關(guān)系 題型不一樣 看看是否能 用固定的思維解法 解題步驟中存在什么樣的共性 05 全國(guó)卷 已知函數(shù) 1 0 2 74 2 x x x xf 求 xf的單調(diào)區(qū)間和值域 設(shè)1 a 函數(shù)g xxa xax 32 3201 若對(duì)于任意x101 總存在 x001 使得 10 xfxg 成立 求a的取值范圍 解析 本題看似式子復(fù)雜 但是第一問直接可根據(jù)定義去做 這個(gè)分?jǐn)?shù)必須拿到 根據(jù)定義得 出以下式子 解 I 對(duì)函數(shù) xf求導(dǎo) 得 22 2 2 72 12 2 7164 x xx x xx xf 到這步幾乎大家都會(huì) 題目問的是的單調(diào)區(qū)間和值域 很多人看到這個(gè)式子不敢往下分析 其實(shí)仍舊跟據(jù)定義 令 0 xf解得 2 7 2 1 xx或 然后做表分析即可 思考 憑什么令思考 憑什么令0 xf 當(dāng)x變化時(shí) xfxf 的變化情況如下表 所以 當(dāng) 2 1 0 x時(shí) xf是減函數(shù) 當(dāng) 1 2 1 x時(shí) xf是增函數(shù) 當(dāng) 1 0 x時(shí) xf的值域?yàn)?4 3 第二問很多人看題目就暈菜了 其實(shí)這道題即使你不會(huì)分析 大膽的往下做 就能把題目做對(duì) 我們思考下 題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么 題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么 這道題的差距點(diǎn)雖然較大 但是用這種求 差值的思想是能一步步走下去的 題目給的是 g x x1和 x0 并且給了范圍 要我們求解 a 的范圍 要 想求 a 的值 就必須列出 a 的表達(dá)式 a 的表達(dá)式想要列出 就必須從 g x 入手 題目給的信息 除了區(qū)間就沒有其他能利用的條件了 既然題目給的是區(qū)間 因此我們不妨對(duì)函數(shù) xg求導(dǎo) 得 3 22 axxg 思考思考 憑什么進(jìn)行求導(dǎo) 目的是什么 憑什么進(jìn)行求導(dǎo) 目的是什么 到了這一步 由于題目告訴我們1 a 所以當(dāng) 1 0 x時(shí) 0 1 3 2 axg 因此當(dāng)因此當(dāng) 1 0 x時(shí)時(shí) xg為減函數(shù)為減函數(shù) 從而當(dāng)從而當(dāng) 1 0 x時(shí)有時(shí)有 0 1 ggxg 這個(gè)就是我們所這個(gè)就是我們所 要的缺失條件 要的缺失條件 到這里可能同學(xué)們清楚了為什么要進(jìn)行求導(dǎo) 因?yàn)轭}目給了我們?nèi)≈祬^(qū)間 要想求 出 a 值 只要判斷這個(gè)函數(shù)的增減性就行了 這就是條件差異彌補(bǔ)的推導(dǎo)思想 由于知道函數(shù)的增 減性 就容易了 馬上可列出馬上可列出 a a a a 的表達(dá)式 的表達(dá)式 又 2 0 321 1 2 agaag 即當(dāng) 1 0 x時(shí)有 2 321 2 aaaxg 有人說這個(gè) 不是表達(dá)式 還是個(gè)未知數(shù) 沒關(guān)系 我們?cè)儆猛瑯拥乃枷肴プ?發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在能利用的條件也異常清 楚了 因?yàn)榫瓦@個(gè)沒用上了 任給 1 0 1 x 3 4 1 xf 存在 1 0 0 x使得 10 xfxg 則 123243 2 aaa 即 12341 232 2 aa a 解得 3 5 1 aa或 2 3 a 又1 a 故a的取值范圍為 2 3 1 a 評(píng)析 這道題式子復(fù)雜 05 年高考時(shí)候正確率非常之低 但是其中的解題過程并不復(fù)雜 思維 方向也十分明確 只是考題將多個(gè)概念進(jìn)行轉(zhuǎn)換 條件隱蔽的相對(duì)較深 數(shù)學(xué)題的核心就是知識(shí)點(diǎn) 與邏輯能力的結(jié)合 但是總的思想是異常相似的 幾乎全部的解答題都可以用一個(gè)思維來(lái)做 就是就是 條件差異彌補(bǔ)法條件差異彌補(bǔ)法 和和 必要性思維必要性思維 所謂的 必要性思維 指的是要想獲取某個(gè)結(jié)果 必須獲 得的前提是什么 多屬于逆推 兩者的道理是一樣的 這里我們總結(jié)出這道題的思維步驟和解題步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 1 1 1 1 嚴(yán)格按照題目的要求 判斷要我們干什么嚴(yán)格按照題目的要求 判斷要我們干什么 2 2 2 2 找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么 3 3 3 3 利用利用 找后補(bǔ)找后補(bǔ) 或或 找前提找前提 的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距 4 4 4 4 最終聯(lián)系條件得出這個(gè)結(jié)論最終聯(lián)系條件得出這個(gè)結(jié)論 固定的解題步驟 固定的解題步驟 固定的解題步驟 固定的解題步驟 1 1 1 1 直接根據(jù)課本定義得出結(jié)論 某類題注意取值分析 直接根據(jù)課本定義得出結(jié)論 某類題注意取值分析 2 2 2 2 用求同存異的思想進(jìn)行條件轉(zhuǎn)換用求同存異的思想進(jìn)行條件轉(zhuǎn)換 3 3 3 3 函數(shù)用式子變形推出結(jié)果 引申 若是證明 數(shù)列用數(shù)學(xué)歸納法 函數(shù)用式子變形推出結(jié)果 引申 若是證明 數(shù)列用數(shù)學(xué)歸納法 我們來(lái)看下道題 是否能夠套用以上結(jié)論 06 全國(guó)卷 設(shè)數(shù)列 n a的前n項(xiàng)的和 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n 求首項(xiàng) 1 a與通項(xiàng) n a 設(shè) 2n n n T S 1 2 3 n 證明 1 3 2 n i i T 解析 題目直接要求我們求首項(xiàng)和通項(xiàng) 由于我們知道通項(xiàng)和 Sn 公式 就能直接根據(jù)定義來(lái)做就能直接根據(jù)定義來(lái)做 解 由 Sn 4 3an 1 3 2 n 1 2 3 n 1 2 3 得 a1 S1 4 3a1 1 3 4 2 3 所以 a1 2 再由 有 Sn 1 4 3an 1 1 3 2 n 2 3 n 2 3 4 將 和 相減得 an Sn Sn 1 4 3 an an 1 1 3 2 n 1 2n n 2 3 做到這一步相信大家都會(huì) 那么我 們要求an公式 通過這個(gè)式子 我們發(fā)現(xiàn)差距點(diǎn)在我們發(fā)現(xiàn)差距點(diǎn)在 a a a an n n n a a a an n n n 1 1 1 1 同時(shí)可以 同時(shí)可以 2 2 2 2n 1 n 1n 1n 1 2 2 2 2n n n n也是相差一次也是相差一次 因因 此直接提出后此直接提出后 可以得出可以得出 a a a an n n n 2 2 2 2n n n n 4 a 4 a 4 a 4 an n n n 1 1 1 1 2 2 2 2n n n n 1 1 1 1 n 2 3 n 2 3 n 2 3 n 2 3 這個(gè)就是我們所彌補(bǔ)的缺失點(diǎn) 這個(gè)就是我們所彌補(bǔ)的缺失點(diǎn) 因而數(shù) 列 an 2n 是首項(xiàng)為 a1 2 4 公比為 4 的等比數(shù)列 即 an 2n 4 4n 1 4n n 1 2 3 因而 an 4n 2n n 1 2 3 做到這里 我們要問自己憑什么這么轉(zhuǎn)化我們要問自己憑什么這么轉(zhuǎn)化 我們所求的 an和得到的結(jié)果 an與 an 1 存在 差異點(diǎn) 要想把這個(gè)差異點(diǎn)彌補(bǔ) 就把他們之間的關(guān)系列出 就能得出結(jié)論 第二問是數(shù)學(xué)證明 首先可以考慮數(shù)學(xué)歸納法證明 但是這題題設(shè)與我們得到的結(jié)論差距較少 直接求解較快 如果為求穩(wěn)妥 建議用數(shù)學(xué)歸納法 如果為求穩(wěn)妥 建議用數(shù)學(xué)歸納法 看看直接求解的思路 題目讓干嘛就干嘛 別多想 直接用定義 題目讓干嘛就干嘛 別多想 直接用定義 題目給的是 2n n n T S 這個(gè)式子 那么必須求出 Sn 將 an 4n 2n代入 得 Sn 4 3 4 n 2n 1 3 2 n 1 2 3 1 3 2 n 1 1 2n 1 2 請(qǐng)思考 請(qǐng)思考 2 3 2 n 1 1 2n 1 然后求出 Tn 和 1 n i i T 問題與題目的差距點(diǎn) 并想辦法補(bǔ)上問題與題目的差距點(diǎn) 并想辦法補(bǔ)上 Tn 2n Sn 3 2 2n 2n 1 1 2n 1 3 2 1 2n 1 1 2n 1 1 所以 1 n i i T 3 2 1 n i 1 2i 1 1 2i 1 1 3 2 1 21 1 1 2i 1 1 3 2 評(píng)析 這題本身難度不高 但是第一步的難度較大 但是用上必要性思維和求差距思想 要想 獲得 an通項(xiàng) 必須結(jié)合起來(lái)解答 全部的難點(diǎn)僅此而已 總體而言 全部的解題思維是驚人的趨于 一致的 不信 看下道題 07 全國(guó)卷 已知數(shù)列 n a中 1 2a 1 21 2 nn aa 12 3n 求 n a的通項(xiàng)公式 若數(shù)列 n b中 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n 證明 43 2 nn ba 12 3n 07 全國(guó)卷 解析 發(fā)現(xiàn)這題的做法思路完全和 06 年的一致 顯然不能一步到位 還是先求 出 an與某個(gè)數(shù)的關(guān)系式 題目告訴我們 1 21 2 nn aa 說明差距體現(xiàn)在21 上 用這 個(gè)式子來(lái)決定我做題的方向 解 由題設(shè) 1 21 2 nn aa 21 2 21 22 n a 21 2 2 n a 1 2 21 2 nn aa 所以 數(shù)列 2 n a 是首項(xiàng)為22 公比為21 的等比數(shù)列 22 21 n n a 即 n a的通項(xiàng)公式為2 21 1 n n a 12 3n 這道題難在第一步不知道如何去想 題目告訴我們的條件似乎比較棘手 但是用這種 追求差 異 并想法彌補(bǔ)的思維定式去做 很容易就將題目解答出來(lái)了 對(duì)于高考 方法越簡(jiǎn)單越實(shí)用越好 尤其是第二步給出了個(gè)看似復(fù)雜的式子 我們沒有必要花費(fèi)過多的精力推導(dǎo) 直接用數(shù)學(xué)歸納法即 可 過程略 評(píng)析 整體難度其實(shí)不大 但是看起來(lái)比較有難度 我們只要沿用這種求同存異的 補(bǔ)差 思 想 還是非常容易做的 甚至連計(jì)算都不難 看到這里 大家應(yīng)該能用這種思維去做其他題了吧 我們?nèi)粘Ｓ鲆姷念}型雖然各有差異 其實(shí) 總的做題思維真的沒有太多差距 并且在解題步驟上也十分類同 大家不妨用這種思維去看看 08 的 最后一題 08 全國(guó)卷 設(shè)函數(shù) lnf xxxx 數(shù)列 n a滿足 1 01a 1 nn af a 證明 函數(shù) f x在區(qū)間 01 是增函數(shù) 證明 1 1 nn aa 簡(jiǎn)要解析 看看 08 高考題型結(jié)合函數(shù)了 依舊用同一個(gè)思想 第一步 依舊是題目讓干嘛就干 嘛 求函數(shù)增減性 直接用定義 要證明 數(shù)學(xué)歸納法 解 第一步 略 第二步證明 發(fā)現(xiàn)第一步函數(shù)的增減性可以直接利用 直接用數(shù)學(xué)歸納法 第三步較為復(fù)雜 沒關(guān)系 這題表面是數(shù)列 其實(shí)考察的是不等式 無(wú)論是哪類題型 其根本點(diǎn)還 是從條件中尋求差異 要我們證明 1k ab 給的條件是設(shè) 1 1 ba 整數(shù) 1 1ln ab k ab 依舊是以 必要性思維 來(lái)思考 要想獲得 1k ab 這個(gè)結(jié)論 必須列出他們的表達(dá) 要想列出他們的表達(dá) 必須利用有這兩個(gè)字母的條件 我們發(fā)現(xiàn)題目有 lnf xxxx 和 1 nn af a 然后就能輕松的 得出結(jié)論 由 lnf xxxx 1 nn af a kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 到 了這里 幾乎全部出來(lái)了 1 若存在某ik 滿足 i ab 則由第二步可知 1ki abab 則 kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 1 1 ln k i i abab 1 1 ln k i i abab bkabaln 11 bkabaln 11 11 baba 0 即 1k ab 成立 解析 這道題出的十分經(jīng)典 即考察定義 又綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn) 同時(shí)式子看起來(lái)比較能夠 嚇 唬 人 思維跳躍過程很大 但是計(jì)算本身并不復(fù)雜 這題失分率非常之高 第一步的過程就把很 多學(xué)生難倒 這是不應(yīng)該的 其實(shí)無(wú)論多難的數(shù)學(xué)題 解題的根本方法是從題目本身入手 題目讓 干嘛就干嘛 要我們做什么就自然而然的做 而不是看到題就聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)套用 那樣只能做簡(jiǎn)單的 題 對(duì)付這類靈活多變的綜合題 我們要在做題過程中形成這種相對(duì)固定的解題思路 達(dá)到用一招 就能化解多題 做一題 會(huì)百題的效果 縱觀近年數(shù)學(xué)考題 幾乎都可以用這種思維拿下 當(dāng)然這是站在數(shù)學(xué)的理解基礎(chǔ)上 核心原則核心原則 是以題做題 挖掘各類題型思維的共性 這樣才能在數(shù)學(xué)考試上戰(zhàn)無(wú)不勝 攻無(wú)不克 是以題做題 挖掘各類題型思維的共性 這樣才能在數(shù)學(xué)考試上戰(zhàn)無(wú)不勝 攻無(wú)不克 09 試題的題型雖然比較獨(dú)特 但是看看能否用這種思維來(lái)作出這道題呢 我們看看 設(shè)函數(shù) 32 33f xxbxcx 在兩個(gè)極值點(diǎn) 12 xx 且 11 10 1 2 xx I 求bc 滿足的約束條件 并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi) 畫出 滿足這些條件的點(diǎn) b c的區(qū)域 II 證明 2 1 10 2 f x 解析 不管這道題的問法是什么 拿到題后還是先關(guān)注題目讓 我們干什么 題目意圖是讓我們畫出關(guān)于 f x 成立 bc 的條件范 圍 我們什么都不要想 直接順著題意來(lái) 2 363fxxbxc 由題意知方程 0fx 有兩個(gè)根 12 xx 1 10 x 且 2 1 2 x 則有 10f 00f 1020ff 故有 這個(gè)不等式組全部轉(zhuǎn)化為 c 的表達(dá)式 出來(lái)后就能通過坐標(biāo)系畫圖 它們 圍起來(lái)的區(qū)域就是所得的區(qū)域 之所以要求導(dǎo) 是因?yàn)閷?dǎo)數(shù) 0 時(shí)是極值點(diǎn) 這個(gè)就是直接根據(jù)定義得來(lái)的 符合我們說的通解思維 具體圖不畫了 第 II 問很多考生就不會(huì)做了 因?yàn)橛幸欢ǖ膮^(qū)分度 更主要原因是含字母較 多 不易找到突破口 來(lái)看我們的思想原則 首先找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么找出題目給的條件和我們要求的差距點(diǎn)是什么 然后利用然后利用 找后補(bǔ)找后補(bǔ) 或或 找前提找前提 的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距的方式彌補(bǔ)出這個(gè)差距 題目讓我們干嘛就干嘛題目讓我們干嘛就干嘛 本題讓我們 證明 2 1 10 2 f x 既然是要求 x2 我們不妨想辦法列出 f x2 的表達(dá) 從題目給的極值 和 x2的 取 值 范 圍 我 們 不 妨 根 據(jù) 定 義 對(duì) 32 2222 33f xxbxcx 求 導(dǎo) 得 出 2 222 3630fxxbxc 有了這個(gè)式子 我們看看還有什么條件沒用上 轉(zhuǎn)化一步 寫成 cxbx 2 1 2 1 2 22 那么直接消去 b 得 3 222 13 22 c f xxx 為什么要消去 b 呢 因?yàn)橛傻?一步大家畫的區(qū)域可以知道 b c 的取值范圍 我們只有將 2 xf轉(zhuǎn)為 b 或 c 的表達(dá)式 才能得出 結(jié)果 這是由題目條件的差異來(lái)決定的 當(dāng)考生拿到題的時(shí)候 第一時(shí)間要朝著 能利用 的方 向轉(zhuǎn)化 要想證明要想證明 2 xf這個(gè)式子這個(gè)式子