材料力學(xué)彎曲內(nèi)力.ppt

第四章彎曲內(nèi)力 4 1平面彎曲的概念 4 2梁的剪力和彎矩 4 3剪力圖和彎矩圖 4 4剪力 彎矩與荷載集度間的關(guān)系 4 5按疊加原理作彎矩圖 4 1平面彎曲的概念 一 彎曲的概念 1 彎曲 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí) 軸線變成了曲線 這種變形稱為彎曲 2 梁 以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁 3 工程實(shí)例 二 平面彎曲 桿件具有縱向?qū)ΨQ面 荷載作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi) 梁彎曲后軸線彎成一條平面曲線 稱為平面彎曲 在后幾章中 將主要研究平面彎曲的內(nèi)力 應(yīng)力及變形等 三 簡(jiǎn)單靜定梁 懸臂梁 簡(jiǎn)支梁 外伸梁 火車輪軸簡(jiǎn)化 梁的載荷與支座 車削工件 吊車大梁簡(jiǎn)化 受均布載荷 4 2梁的剪力和彎矩 F A B a l F A B FAx FAy FB 荷載和支座反力皆屬外力 下面研究橫截面的內(nèi)力 P A B a l 將梁從 位置截開(kāi) 取左側(cè) x A FAy Fs M x 因內(nèi)力必須與外力平衡 故內(nèi)力簡(jiǎn)化結(jié)果為一力和一力偶 該力與截面平行 稱為截面的剪力 用Fs表示之 該力偶的力偶矩稱為截面的彎矩 用M表示之 剪力正負(fù)的規(guī)定 使微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正 反之為負(fù) 彎矩正負(fù)的規(guī)定 使微段下面受拉 上面受壓變形的彎矩為正 反之為負(fù) Fs Fs Fs Fs M M M M 剪力正負(fù)的規(guī)定 彎矩正負(fù)的規(guī)定 內(nèi)力通過(guò)平衡方程計(jì)算 A FAy Fs M x 計(jì)算梁內(nèi)力的步驟 取整體 求支座反力 懸臂梁此步可省 將梁在要求內(nèi)力的部位截開(kāi) 選簡(jiǎn)單一側(cè)作研究對(duì)象 畫(huà)受力圖 截面的剪力 彎矩一定要按正的規(guī)定畫(huà) 列平衡方程 Fx 0 求剪力FS m 0 求彎矩 例1求圖示梁1 2 3 4截面的內(nèi)力 A B C D 2m 2m 2m F 12kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 解 取整體 FA FB 1 1截面 FA 1 1 Fs1 M1 A 由1 1截面的內(nèi)力計(jì)算可得結(jié)論 桿端無(wú)力偶作用 緊挨桿端截面的彎矩M 0 C P 12kN 2 2截面 FA 2 2 Fs2 M2 A FA 3 3 Fs3 M3 A 3 3截面 D 2 2 3 3 P Fs3 M3 Fs2 M2 由2 3截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論 集中力 包括支座反力 兩側(cè)截面的的彎矩相等 集中力 包括支座反力 兩側(cè)截面的的剪力不等 左右截面剪力之差等于集中力 集中力以向下為正 C 4 4 M4 Fs4 4 4截面 由4 4截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論 自由端無(wú)集中力作用 端截面剪力等于零 F 0 自由端無(wú)集中力偶作用 端截面彎矩等于零 M 0 例2求圖示梁1 2 3截面的內(nèi)力 解 取整體 1 1截面 FA 1 1 Fs1 A M1 m1 FA 2 2 Fs2 M2 A 3 3 Fs3 M3 B m1 2 2截面 3 3截面 FB 由2 3截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論 集中力偶兩側(cè)截面的的剪力相等 集中力偶兩側(cè)截面的的彎矩不等 左右截面彎矩之差等于集中力偶矩 集中力偶矩以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正 C 2 2 3 3 Fs3 M3 FS2 M2 m2 例3求圖示梁1 2 3截面的內(nèi)力 解 取整體 1 1截面 FA 1 1 Fs1 M1 A B FA 2 2 Fs2 M2 A m 2 2截面 3 3 Fs3 M3 FB q 3 3截面 B 4 3剪力圖和彎矩圖 q x q l x l Fs x M x 圖示梁任一截面的內(nèi)力 截面剪力是截面坐標(biāo)的函數(shù) 稱為剪力方程 截面彎矩也是截面坐標(biāo)的函數(shù) 稱為彎矩方程 q x l 剪力方程的函數(shù)圖象稱為剪力圖 正的剪力畫(huà)在基線上側(cè) 負(fù)的畫(huà)在下側(cè) 剪力圖 ql x Fs 彎矩方程的函數(shù)圖象稱為彎矩圖 ql2 2 彎矩圖 懸臂梁受均布載荷作用 試寫(xiě)出剪力和彎矩方程 并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 解 任選一截面x 寫(xiě)出剪力和彎矩方程 依方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 由剪力圖 彎矩圖可見(jiàn) 最大剪力和彎矩分別為 4 例題5 圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力作用 試寫(xiě)出剪力和彎矩方程 并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 解 1 確定約束力 FAy Fb lFBy Fa l 2 寫(xiě)出剪力和彎矩方程 AC CB 3 依方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 例題6 圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力偶作用 試寫(xiě)出剪力和彎矩方程 并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 解 1 確定約束力 FAy M lFBy M l 2 寫(xiě)出剪力和彎矩方程 AC 3 依方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 例題7 簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用 試寫(xiě)出剪力和彎矩方程 并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 解 1 確定約束力 FAy FBy ql 2 2 寫(xiě)出剪力和彎矩方程 3 依方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 例題8 4 4剪力 彎矩與荷載集度間的關(guān)系 A B dx x q x M x dM x Fs x dFs x Fs x M x dx o 取微段dx 受力如圖 A B dx x 略去高階微量得 當(dāng)q 0 Fs 常數(shù) Fs圖為平直線 M為一次函數(shù) M圖為斜直線 當(dāng)q 常數(shù) Fs為一次函數(shù) Fs圖為斜直線 M為二次函數(shù) M圖為拋物線 當(dāng)M圖為拋物線時(shí) 畫(huà)M圖需確定拋物線頂點(diǎn)的位置和頂點(diǎn)的彎矩值 由 可知彎矩拋物線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于剪力圖等于零的位置 1 在集中力作用處剪力發(fā)生突變 彎矩的斜率發(fā)生變化 成為一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn) 2 在集中力偶處彎矩發(fā)生變化 變化的數(shù)值等于力偶矩?cái)?shù)值 3 的絕對(duì)值可能發(fā)生在剪力等于0處 也可能發(fā)生在集中力作用處 還有集中力偶處 根據(jù)M Fs與q之間的關(guān)系 可不必列剪力方程和彎矩方程 即可畫(huà)出剪力圖和彎矩圖 另外 根據(jù)M Fs與q之間的關(guān)系畫(huà)剪力圖和彎矩圖的步驟如下 取整體 求支座反力 懸臂梁此步可省 將梁分段 凡是集中力 集中力偶作用點(diǎn) 分布荷載兩端 支座處都應(yīng)取作分段點(diǎn) 用截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩 由Fs 0確定彎矩拋物線頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的截面位置 并求出該截面的彎矩值 用直線 均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力 彎矩連起來(lái) 并在圖上標(biāo)出正負(fù)號(hào) 各控制截面的剪力值和彎矩值 以及彎矩拋物線頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的截面位置 例9畫(huà)圖示梁的剪力圖和彎矩圖 解 取整體 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 0 0 B A C 2m m 12kN m q 6kN m 4 4 2 2 3 FA 6kN FB 18kN 3 4m 1 1 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 FA 2 2 Fs2 M2 A 6 6 6 12 B Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 0 0 6 6 18 12 FA 3 3 Fs3 M3 A m 24 B 4 4 M4 Fs4 FB 6 A C 2m m 12kN m q 6kN m 4 4 2 2 3 FA 6kN FB 18kN 3 4m 1 1 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 6 6 18 12 24 B 6 6kN 18kN 3m 5 5 5 5 Fs5 M5 FB q 0 27 12kN m 24kN m 27kN m B 例10畫(huà)圖示梁的剪力圖和彎矩圖 A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA FB 3 2m 1 1 解 取整體 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA 5kN FB 7kN 3 2m 1 1 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 5 7 5 FA 3 3 Fs3 M3 A F 1 1 1 10 10 5kN 1kN 7kN 10kN m A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA 5kN FB 7kN 3 2m 1 1 Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 5 7 5 RA 4 4 Fs4 M4 A P 1 1 1 10 10 5kN 1kN 7kN 10kN m 8kN m 8 8 例11畫(huà)圖示梁的內(nèi)力圖 A B C 4m 2m P 4kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 解 取整體 FB mA Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 0 0 8 4 4 A B C 4m 2m P 4kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 FB 12kN Fs圖 M圖 Fs M 1 2 3 4 0 0 8 4 4 mA 8kN m P 4kN 2 2 FB Fs2 M2 8 8 8 4kN 8kN 8kN m 8kN m C B 例12畫(huà)圖示梁的內(nèi)力圖 A B C D 3m 4m 2m F 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 解 取整體 FA FC 4 4 5 5 m 6kN m Fs圖 M圖 kN kN m A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs圖 M圖 kN kN m 2 5 3 3 5 A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs圖 M圖 kN kN m 2 5 3 3 5 FA 3 3 Fs3 M3 A m q 9 4 A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs圖 M圖 kN kN m 2 5 3 3 5 FA 2 2 Fs2 M7 A q 9 4 2 2 5m FA 7 7 Fs7 A q 7 7 3 125 M2 二 按疊加原理作彎矩圖 q m A B l m A B l q A B l FA m l FB m l FA ql 2 FB ql 2 Fs圖 M圖 m l m ql 2 ql 2 ql2 8 m l ql 2 m l ql 2 m ql2 8 Mmax P m A B l 2 m A B A B FA m l FB m l RA P 2 FB P 2 Fs圖 M圖 m l m P 2 P 2 Pl 4 m l P 2 m l P 2 m Pl 4 l 2 l 2 l 2 l 2 l 2 P 應(yīng)用疊加原理畫(huà)彎矩圖常用的兩種情況 l 2 l 2 A B MA MB P l 2 l 2 A B MA MB q Pl 4 MA MB MB MA ql2 8 M圖 b M圖 a AB段梁中間作用一集中力P 兩端彎矩為MA MB 該段梁的彎矩圖如圖 a 所示 AB段梁作用于均布荷載 兩端彎矩為MA MB 該段梁的彎矩圖如圖 b 所示 例13用疊加法畫(huà)圖示梁的彎矩圖 q 2kN m A P 4kN 6m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 B C M圖 解 將梁分為AB BC兩段 8kN m 9kN m 不必求支座反力 例14用疊加法畫(huà)圖示梁的彎矩圖 q 2kN m A P 4kN 4m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 C B M圖 2m 8kN m 解 將梁分為AC BC兩段 先求支座反力 FA FB q 2kN m A P 4kN 4m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 C B M圖 16kN m 4kN m 2m 8kN m 4kN m 8kN m FA 6kN FB 6kN 例15用疊加法畫(huà)圖示梁的彎矩圖 3kN 10kN 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C D 2m 2m 2m 2m M圖 解 將梁分為AB BC CD三段 不必求支座反力 6kN m 4kN m 10kN m 1kN