數(shù)學(xué)分析1.pdf

數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 2 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 數(shù)學(xué)分析容易嗎 數(shù)學(xué)分析很難學(xué) 理論抽象 邏輯性強(qiáng) 數(shù)學(xué)分析很重要 數(shù)學(xué)后續(xù)課程的基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)專業(yè)考研考博的必考內(nèi)容 數(shù)學(xué)分析很簡單 邏輯性強(qiáng) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 3 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 數(shù)學(xué)分析與微積分 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)分析 重理論分析 推導(dǎo) 計(jì)算 數(shù)學(xué)專業(yè) 微積分 重計(jì)算 經(jīng)濟(jì)管理類 高等數(shù)學(xué) 重計(jì)算 內(nèi)容比微積分含量多 工科 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 4 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法 多做題 多記題 多看書 多總結(jié) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 5 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 基本要求 作業(yè)每次都要做 每周交一次 每章講完 要求大家寫一份學(xué)習(xí)總結(jié) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 6 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 實(shí)數(shù) 數(shù)學(xué)分析研究的是實(shí)數(shù)集上定義 的函數(shù) 因此我們首先要掌握實(shí)數(shù)的 基本概念與性質(zhì) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 7 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 五 實(shí)數(shù)的稠密性 六 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 七 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與三角形不等式 三 實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算 四 實(shí)數(shù)的阿基米德性 一 實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示 二 實(shí)數(shù)的大小 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 8 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 記號(hào)與術(shù)語 N 0 自然數(shù)集 包含自然數(shù)集 包含 R 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 Z 整數(shù)集整數(shù)集 Q 有理數(shù)集有理數(shù)集 存在存在 R 負(fù)實(shí)數(shù)集負(fù)實(shí)數(shù)集 任意任意 R 正實(shí)數(shù)集正實(shí)數(shù)集 N 正整數(shù)集正整數(shù)集 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 9 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示 若若 012 R n xxa a aa 則 則 012 R n xxa a aa 則 則 2 1 9 2 1 0 N 0 naa n 其中其中 2 有限小數(shù)有限小數(shù) k aaaax 210 0 k a其中其中又可表示為又可表示為 99 1 1210 kk aaaaax 9 1 1210 kk aaaaa 一 實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 10 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 若實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示 則表達(dá)式是唯一的若實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示 則表達(dá)式是唯一的 即即 若若 210 n aaaax 210 n bbbby 2 1 0 nbayx nn 則 用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù) 稱為 則 用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù) 稱為正規(guī)表示正規(guī)表示 742851 0 7 1 如 如 Q x x 可用循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示 可用循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示 3 Q Z 0 m x xm nn n 其中 其中 表示有理數(shù)集 表示有理數(shù)集 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 11 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1210pkkk aaaaaax 若反之 若反之 0 11 1 Q 1010110 pk kj i ipkjp ij a a xa 則則 n m x 若一般 若一般 1210pkkk aaaaaax 則則 np 其中 其中 4 無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù) 3 1415926 如 如 1010010001 0 x 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 12 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 二 實(shí)數(shù)的大小 00 N ababn 或使 或使 11210210 nnnn babbbbaaaa而而 定義定義1 R x y 若 是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示 若 是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示 規(guī)定規(guī)定 yxyx 規(guī)定 規(guī)定 R x y R R xy 0 xy 規(guī)定規(guī)定 012 n yb b bb 012 n xa a aa 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 13 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 xy xy xy 實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì) 三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立 2 xyyzxz 若則 若則 即大小關(guān)系具有傳遞性即大小關(guān)系具有傳遞性 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 14 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 三 實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R 對(duì)加 減 乘 除 除數(shù)不為對(duì)加 減 乘 除 除數(shù)不為 0 亦是 有理數(shù)集 亦是 有理數(shù)集 Q 對(duì)加 減 乘 除 除數(shù)不為對(duì)加 減 乘 除 除數(shù)不為 0 是 實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算與大小關(guān)系 是 實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算與大小關(guān)系 還滿足還滿足 1 R R x yxyxy 若則 若則 2 22112121 yxyxyyxx 則則 封閉的 封閉的 封閉的 封閉的 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 15 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 四 實(shí)數(shù)的阿基米德性 實(shí)數(shù)具有阿基米德性實(shí)數(shù)具有阿基米德性 R N a bnnba 使得 使得 理由如下 設(shè)理由如下 設(shè) N 0210 kaaaaaa n 101 1 k ka則則 為第一個(gè)不為零的正整數(shù) 為第一個(gè)不為零的正整數(shù) p b 210 n bbbbb 設(shè) 設(shè) 10 1 kp n令令 10 1 anb k 則則 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 16 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 例例1 1 0 N bnb n 若則使得 若則使得 1 b n 證證1 a 令由阿基米德性 令由阿基米德性 N 1nnb 使 即 阿基米德阿基米德 Archimedes 287B C 212B C 希臘希臘 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 17 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 五 實(shí)數(shù)的稠密性 之間 既有有理與任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間 既有有理與任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)ba 2 數(shù)又有無理數(shù) 必有另一個(gè)之間與任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 數(shù)又有無理數(shù) 必有另一個(gè)之間與任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 1ba 2 ba cc 例如實(shí)數(shù) 例如實(shí)數(shù) 證證 1N abn 若 則由例 存在使 若 則由例 存在使 2 11 ab n 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 18 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 的最大的正整數(shù) 是滿足設(shè)的最大的正整數(shù) 是滿足設(shè)a n k k 1 a n k 即 即 是則是則 n k n k2 1 21 b n k n k a 于是 于是 例例2 0 R bababa 則 對(duì)若 則 對(duì)若 證證 0 baba 設(shè)倘若 設(shè)倘若 ba則則 矛盾與矛盾與 ba 的無理數(shù) 的無理數(shù) 1 4 k ab nn 而是與之間而是與之間 ab與之間的有理數(shù)與之間的有理數(shù) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 19 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 六 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 1 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 粗略地可這樣描述 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 粗略地可這樣描述 0 PP設(shè)是數(shù)軸上的一點(diǎn) 不妨設(shè)在 的右邊若在設(shè)是數(shù)軸上的一點(diǎn) 不妨設(shè)在 的右邊若在 0 1 nnan 整數(shù)與之間 則 整數(shù)與之間 則 1 1 n nPiai把十等分 若點(diǎn)在第 個(gè)區(qū)間 則 把十等分 若點(diǎn)在第 個(gè)區(qū)間 則 2 3 n an 類似可得到 類似可得到對(duì)應(yīng)于令點(diǎn)這時(shí)對(duì)應(yīng)于令點(diǎn)這時(shí)p 012 n aa aa 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 20 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 反之反之 任何一實(shí)數(shù)也對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn)任何一實(shí)數(shù)也對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn) 2 實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)數(shù)的 完備性 我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論 實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)數(shù)的 完備性 我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 21 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 七 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與三角形不等式 2 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值性質(zhì)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值性質(zhì) 0 0 0 1 aaaa時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng) 2 aaa 3 hahha hahha 0 0 aa aa a 1aa的絕對(duì)值實(shí)數(shù)定義為 的絕對(duì)值實(shí)數(shù)定義為 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 22 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 4 bababa 三角形不等式三角形不等式 5 baab 6 0 aa b bb 的證明 的證明 3 三角形不等式三角形不等式 bababa 得由得由 bbbaaa bababa baba 即 即 bbabbaa 又又 baba 即即 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 24 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 一 有界集 二 確界 三 確界的存在性定理 四 非正常確界 確界原理本質(zhì)上體現(xiàn)了實(shí)數(shù)的完備 性 是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn) 2 數(shù)集與確界原理 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 25 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 記號(hào)與術(shù)語 U axxaa 點(diǎn)的 鄰域 點(diǎn)的 鄰域 0 Uaxxaa 點(diǎn)的空心鄰域點(diǎn)的空心鄰域 0 Uaxxaa 點(diǎn)的 右鄰域 點(diǎn)的 右鄰域 0 Uaxaxa 點(diǎn)的 左鄰域 點(diǎn)的 左鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 max SS數(shù)集的最大值數(shù)集的最大值 min SS數(shù)集 的最小值數(shù)集 的最小值 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 26 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 一 有界集 定義定義1 R SS設(shè) 設(shè) 1 R MxSxMM若使得則稱為 若使得則稱為 SS的一個(gè)上界 稱為有上界的數(shù)集的一個(gè)上界 稱為有上界的數(shù)集 2 R LxSxLL若使得則稱為 若使得則稱為 SS的一個(gè)下界 稱為有下界的數(shù)集的一個(gè)下界 稱為有下界的數(shù)集 S則稱為有界集則稱為有界集 3 S若既有上界又有下界若既有上界又有下界 0 MxSxM 其充要條件為使有 其充要條件為使有 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 27 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 SS 若不是有上界的數(shù)集 則稱無上界 即若不是有上界的數(shù)集 則稱無上界 即 00 R MxSxM 使得 使得 2 SS 若不是有下界的數(shù)集 則稱無下界 即若不是有下界的數(shù)集 則稱無下界 即 00 R LxSxL 使得 使得 3 SS 若不是有界的數(shù)集 則稱無界集 即若不是有界的數(shù)集 則稱無界集 即 00 0 MxSxM 使得 使得 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 28 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 0 R 1 2 1 MMxMM 若取若 若取若 1 0 2 1 M xMM 取 取因此因此 S 無上界無上界 證證 2LxSx n 則則故故 S 有下界有下界 取取 L 1 2 N n Sn 證明數(shù)集無上界 有下界 證明數(shù)集無上界 有下界例例1 例2例2 2 3 1 N 2 n Sn n 證明數(shù)集有界 證明數(shù)集有界 證證 22 333 1111 N 1 22222 nn n nnn S因此有界因此有界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 29 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 二 確界 R R 滿足若設(shè)滿足若設(shè) SS定義定義2 sup SS 記為的上確界是則稱記為的上確界是則稱 i xSx ii 0 Sx 0 x 使得使得 若數(shù)集若數(shù)集 S 有上界有上界 則必有無窮多個(gè)上界則必有無窮多個(gè)上界 而其 中最小的一個(gè)具有重要的作用 而其 中最小的一個(gè)具有重要的作用 最小的上界稱為 上確界 最小的上界稱為 上確界 同樣同樣 若若S 有下界有下界 則最大的下界稱為下 確界 則最大的下界稱為下 確界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 30 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 0 x x 注2注2 ii 顯然 條件亦可換成 顯然 條件亦可換成 00 xS x 0 0 注1 注1 條件條件 i 說明 是 的一個(gè)上界說明 是 的一個(gè)上界 條件條件 ii 說明說明S 比 小的數(shù)都不是 的上界 從而 是最小的上比 小的數(shù)都不是 的上界 從而 是最小的上S 界 即上確界是最小的上界 界 即上確界是最小的上界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 31 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 定義定義3R R SS 設(shè)若滿足 設(shè)若滿足 i xSx 00 ii xSx inf SS 記為的下確界是則稱記為的下確界是則稱 00 xS x 0 0 ii 下確界定義中的亦可換成下確界定義中的亦可換成注2 注1 注2 注1 由定義 下確界是最大的下界 由定義 下確界是最大的下界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 32 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 證證 先證先證 sup S 1 1 1 1 i n xSx 2 1 10 00 xSx 則取若 則取若 ii 1 設(shè)設(shè) 例例2 1 1 1 2 Sx xn n 設(shè)求證 設(shè)求證 0inf1sup SS 1sup S因此 因此 0 0 10 n 若則令由阿基米德性若則令由阿基米德性 00 00 11 1 1 xSx nn 使得令則使得令則 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 33 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 0inf S因此因此 0inf S再證再證 00 ii 0 0 xS x 0 1 1 i n xSx 以下確界原理也可作公理 不予證明 雖然我們定義了上確界 以下確界原理也可作公理 不予證明 雖然我們定義了上確界 但并沒有證明上確界的 存在性 但并沒有證明上確界的 存在性 這是由于上界集是無限集這是由于上界集是無限集 而無限數(shù)集 不一定有最小值 而無限數(shù)集 不一定有最小值 例如例如 0 無最小值無最小值 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 34 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 三 確界存在性定理 證明略證明略 R SSSS 設(shè)若有上界 則必有上確界設(shè)若有上界 則必有上確界 定理定理1 1 確界原理確界原理 SS若有下界 則必有下確界若有下界 則必有下確界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 46 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 yxByAx 有有 滿足為非空數(shù)集設(shè)滿足為非空數(shù)集設(shè)BA例3例3 infsupBA 且且 證明 數(shù)集 證明 數(shù)集 A 有上確界 數(shù)集 有上確界 數(shù)集 B 有下確界 由定義 有下確界 由定義 上確界上確界 sup A 是最小的上界是最小的上界 因此因此 任意任意 證證 由假設(shè) 由假設(shè) B 中任一數(shù)中任一數(shù)y 都是都是A 的上界 的上界 A 中的任 一數(shù) 中的任 一數(shù)x 都是都是B 的下界的下界 因此由確界原理因此由確界原理 A 有上確 界 有上確 界 B 有下確界有下確界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 47 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 例4例4 R中非空有上界的數(shù)集是設(shè)中非空有上界的數(shù)集是設(shè)S i R aSaxa xS 若定義則若定義則 sup sup SaSa ii R bbSbx xS若定義則若定義則 sup sup bSbS y B sup A y 這樣這樣 sup A 又是又是B 的一個(gè)下界的一個(gè)下界 而而 inf B 是最大的下界是最大的下界 因此因此 sup A inf B 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 48 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 證證 i aSax Sx 其中 其中 必有必有 supSx 于是于是 supaSax 0 0 Sx 對(duì)于對(duì)于 使使 sup 0 Sx從而從而 0 aSax 且且 sup 0 aSax 因此因此 sup sup aSaS 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 49 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 ii bSbx 其中其中 Sx 必有必有 supSx 于是于是 supSbbx 0 0 b 令 令則存在則存在 0 Sx 使使 0 sup xS 因此因此 0 supsup bxbSbbS 這就證明了這就證明了 sup sup SbbS 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 50 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 四 非正常確界 R i 1 aa規(guī)定規(guī)定 supN inf 2 N n n 例1例1 2 推廣的確界原理推廣的確界原理 非空數(shù)集必有上 下確界非空數(shù)集必有上 下確界 sup ii SS記無上界若記無上界若 inf SS記無下界若記無下界若 例例2 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集 1 R ABxA x 求證 求證 supinf0 AB的充要條件是的充要條件是 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 51 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 00 sup MAxA xM 1 令 則由于 1 令 則由于 00 1 xB x M 令于是 令于是 00 0 1 yAyM x 且 且 證 證 設(shè)設(shè)sup A若若 0 xB x 顯然 顯然 0 于是于是 00 0 1 yBy x 且 且 因此因此inf0 B 反之 若反之 若inf0 B 則則 0 M sup A因此因此 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 53 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 3 函 數(shù) 概 念 一 函數(shù)的定義 二 函數(shù)的四則運(yùn)算 三 復(fù)合函數(shù) 四 反函數(shù) 五 初等函數(shù) 函數(shù)的概念 在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們已有 了初步的了解 本節(jié)將作進(jìn)一步的討論 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 54 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 一 函數(shù)的定義 fDM xy DxxfyyDf 稱為稱為f 的值域 的值域 D 稱為 稱為 f 的定義域 的定義域 定義定義1 D與與M是是R中非空數(shù)集 若有對(duì)應(yīng)法則中非空數(shù)集 若有對(duì)應(yīng)法則f 使使 D內(nèi)每一個(gè)數(shù)內(nèi)每一個(gè)數(shù)x 都有惟一的一個(gè)數(shù)都有惟一的一個(gè)數(shù)y M與它相 對(duì)應(yīng) 則稱 與它相 對(duì)應(yīng) 則稱f 是定義在是定義在D上的函數(shù) 記作上的函數(shù) 記作 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 55 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 DxxfyyxG 稱為稱為f 的圖象 的圖象 注注1 函數(shù)由定義域 函數(shù)由定義域 D 和對(duì)應(yīng)法則 和對(duì)應(yīng)法則 f 二要素完全 決定 因此若給出函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則 二要素完全 決定 因此若給出函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則 也 就確定了函數(shù) 也 就確定了函數(shù) 它與自變量與應(yīng)變量的符號(hào)無關(guān)它與自變量與應(yīng)變量的符號(hào)無關(guān) 注注2 表示函數(shù)有多種方法 常見的有解析法 列 表法和圖象法 解析法表示函數(shù)時(shí) 若沒有特別指 明其定義域 則一般約定其定義域?yàn)槭乖摻馕鍪?有意義的自變量的全體 即存在域 表示函數(shù)有多種方法 常見的有解析法 列 表法和圖象法 解析法表示函數(shù)時(shí) 若沒有特別指 明其定義域 則一般約定其定義域?yàn)槭乖摻馕鍪?有意義的自變量的全體 即存在域 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 56 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 Qx Qx xD 0 1 例例2 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) 0 0 0 1 0 1 sgn x x x x 例例1 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) O 1 1 x y 1 y x O 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 57 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 狄利克雷狄利克雷 Dirichlet P G L 1805 1859 德國德國 黎曼黎曼 Riemann B 1826 1866 德國德國 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 58 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 N 0 0 1 0 1 pp xp q qqq R x xxQ 當(dāng)既約真分?jǐn)?shù) 或 當(dāng)既約真分?jǐn)?shù) 或 例例3 黎曼函數(shù)黎曼函數(shù) O0 20 40 60 81 0 2 0 4 0 6 x y 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 59 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 二 函數(shù)的四則運(yùn)算 gf DgDf的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù) 1 fgfg fgDDD 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?fg xDDfgxf xg x 且 且 2 f gfg fgDDD 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?fg xDDfgxf xg x 且 且 3 f g f f DDD g 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?g Dx xD 其中 其中 0 g x 且 且 xg xf xDx g f g f 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 60 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 三 復(fù)合函數(shù) fg fDgD設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?fg 復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?f ggf Dx xDg xD 且則且則 f g xDfg xf g x 2 1 Rxx 的復(fù)合函數(shù)為 的復(fù)合函數(shù)為 1 2 xxgfy 例例4 0 f uu ug x 函數(shù)與函數(shù)函數(shù)與函數(shù) 1 1 gf D 其中其中 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 61 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 21 1 arcsin ln e e fg h xxD 2 2 ln arcsin 0 1 fhgxx D 21 21 2 4 arcsin ln e e g hfxxD 2 6 ln arcsin 1 0 0 1 h gfxxD 21 3 arcsin ln e e gfh xx D 2 5 ln arcsin 1 0 0 1 hfgxx D 1 6 k D k 其中是相應(yīng)復(fù)合函數(shù)的定義域 其中是相應(yīng)復(fù)合函數(shù)的定義域 2 arcsin ln f xxg xx h xx 設(shè)則設(shè)則例例5 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 62 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 四 反函數(shù) yf DxD 惟一惟一 yxf 使使 11 fyfx 因此一般反函數(shù)記為 因此一般反函數(shù)記為 f fD若函數(shù)的定義域?yàn)闈M足若函數(shù)的定義域?yàn)闈M足 yf D 且且 1 f則存在函數(shù)則存在函數(shù) 1DfD f 1 fyxyx反函數(shù)表示式中是自變量是反函數(shù)表示式中是自變量是 注注 因變量 由于函數(shù)與自變量 因變量記號(hào)無關(guān) 因變量 由于函數(shù)與自變量 因變量記號(hào)無關(guān) xf xyxD 其中是使的惟一的 其中是使的惟一的 1 xyf 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 63 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 例例6sh chxx雙曲函數(shù)和定義如下 雙曲函數(shù)和定義如下 11 sh ee ch e e R 22 xxxx xxx shRshxx在上嚴(yán)格增 因此有反函數(shù) 在上嚴(yán)格增 因此有反函數(shù) 1 ee e 2 xxx y 設(shè)得到的一元二次方程設(shè)得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得負(fù)舍 解得負(fù)舍 shyx 因此的反函數(shù)為 因此的反函數(shù)為 2 ln1 R yxxx 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 64 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 chRRx 因此在和的反函數(shù)分別為因此在和的反函數(shù)分別為 2 1 ln1 1 yxxx R 增 在上嚴(yán)格減 增 在上嚴(yán)格減 2 2 ln1 1 yxxx chRR 1 Rx 在和的值域均為在上嚴(yán)格 在和的值域均為在上嚴(yán)格 1 e e e 2 xxx y 設(shè)得到的一元二次方程 設(shè)得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得解得 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 65 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 定義定義1 以下六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)以下六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù) 1 為常數(shù)常量函數(shù)為常數(shù)常量函數(shù)ccy 2 yx 冪函數(shù)為實(shí)數(shù)冪函數(shù)為實(shí)數(shù) 1 0 3 aaay x 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 4 log 0 1 a yx aa 對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 5 sin cos yxyx 三角函數(shù) 三角函數(shù) cot tanxyxy 五 初等函數(shù) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 66 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 sup 1 inf 01 r x r arQ rxa a arQ rxa 定義定義 1 0 aa定義定義2 arccos arcsin 6 xyxy 反三角函數(shù)反三角函數(shù) arctan arccot yxyx 定義定義3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù) 合運(yùn)算所得到的函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù) 合運(yùn)算所得到的函數(shù) 稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù) 狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是非初等函數(shù)狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是非初等函數(shù) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 67 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 2 f x 和和g x 定義在定義在 a b 上上 是否一定存在某個(gè)區(qū)間是否一定存在某個(gè)區(qū)間 0000 aba bxabf xg x 使或 使或 00 xgxfbax 復(fù)習(xí)思考題 3 R x驗(yàn)證黎曼函數(shù)具有以下性質(zhì)驗(yàn)證黎曼函數(shù)具有以下性質(zhì) 0 R x 只有有限多個(gè)解只有有限多個(gè)解 1 函數(shù)函數(shù)f x 定義在定義在 a b 上 上 f a 0 f b 1 0 1 是否一定都在 是否一定都在 f 的值域的值域f a b 之中 之中 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 68 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 4 具有某些特性的函數(shù) 一 有界函數(shù) 本節(jié)將著重討論函數(shù)的有界性 單 調(diào)性 奇偶性與周期性 四 周期函數(shù) 三 奇函數(shù)與偶函數(shù) 二 單調(diào)函數(shù) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 69 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 一 有界函數(shù) 定義定義1 設(shè)設(shè)f 定義在定義在D上上 R MxD f xMfD 若則稱在上有上界 若則稱在上有上界 R LxD f xLfD 若則稱在上有下界 若則稱在上有下界 R MxD f xMfD 若則稱在上有界 若則稱在上有界 上既有上界又有下界在上有界在易證上既有上界又有下界在上有界在易證DfDf 00 R MxD f xMfD 若則稱在上無上 若則稱在上無上 界 界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 70 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 00 R MxD f xMfD 若則稱在上無界 若則稱在上無界 tan 0 2 f xx求證在上無上界 有下界 求證在上無上界 有下界 例例1 0 2 上有下界上有下界 0 R arctan 1 MxM令令 0 2 上無上界上無上界 0 0 2 Lxf xL 則 則 證證在因此在因此f 00 0 tan1 2 xxMM則且 則且 在因此在因此f 00 R LxD f xLfD若則稱在上無下界 若則稱在上無下界 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 71 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 sup xgxg sup sup f x g xf xg x 因此因此 sup sup xf xg x由的任意性 可知由的任意性 可知 的一個(gè)上界是的一個(gè)上界是xgxf sup sup supxgxfxgxf DxDxDx 因此因此 sup xDf xf x 證證 sup sup sup xgxfxgxf DxDxDx 求證求證 fxg xD設(shè)函數(shù)是上的正值有界函數(shù)設(shè)函數(shù)是上的正值有界函數(shù)例例2 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 72 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 例例3 f xg xD設(shè)在上有界 證明 設(shè)在上有界 證明 inf inf sup x Dx D x D f xg xf xg x 證證 00 0 inf x D xD f xf x 0 sup x D g xg x 又故 又故 00 inf sup x D x D f xg xf xg x 因此因此 00 inf x D f xg xf xg x inf sup x D x D f xg x 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 73 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 二 單調(diào)函數(shù) 1212 x xDxx若當(dāng)時(shí)若當(dāng)時(shí) 12 i f xf xfD有則稱為上的增函數(shù) 有則稱為上的增函數(shù) 12 f xf xf特別有時(shí) 稱為嚴(yán)格增函數(shù)特別有時(shí) 稱為嚴(yán)格增函數(shù) 12 ii f xf xfD有則稱為上的減函數(shù) 有則稱為上的減函數(shù) 12 f xf xf特別有時(shí) 稱為嚴(yán)格減函數(shù)特別有時(shí) 稱為嚴(yán)格減函數(shù) 上的函數(shù)是定義在設(shè)上的函數(shù)是定義在設(shè)Df定義定義2 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 74 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 證證 1 211 Ryxyy y 由在上為正值嚴(yán)格增 可知 由在上為正值嚴(yán)格增 可知 f xg x不難知道 若和是正值嚴(yán)格增的 則不難知道 若和是正值嚴(yán)格增的 則 f x g x也是正值嚴(yán)格增的 也是正值嚴(yán)格增的 例例4 21 21 N R n n nyx 任意在上嚴(yán)格增 任意在上嚴(yán)格增 2 2 RR n n yx在上嚴(yán)格增 在上嚴(yán)格減 在上嚴(yán)格增 在上嚴(yán)格減 11 R nn yy y 上為正值嚴(yán)格增 可知在上亦正值 上為正值嚴(yán)格增 可知在上亦正值 R在上亦正值嚴(yán)格增 由歸納法 若已證在上亦正值嚴(yán)格增 由歸納法 若已證 R n y在 嚴(yán)格增 在 嚴(yán)格增 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 75 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1221 0 0 xxxx 若則于是 若則于是 222121 2121 nnnn xxxx 222121 21212 R nnnn n xxxxy即 這就證明了在即 這就證明了在 21 R n y上嚴(yán)格減 而在上嚴(yán)格增 上嚴(yán)格減 而在上嚴(yán)格增 1212 00 xxxx 若或則 若或則 21212121 1212 00 nnnn xxxx 或 或 21 R n y 這證明了在上嚴(yán)格增 這證明了在上嚴(yán)格增 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 76 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 R yx 易證函數(shù)在上是增函數(shù) 但非嚴(yán)格易證函數(shù)在上是增函數(shù) 但非嚴(yán)格例例5 增 增 x y O 1 1 1 1 2 2 2 2 34 3 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 77 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 上也是嚴(yán)格在其定義域且有反函數(shù)上也是嚴(yán)格在其定義域且有反函數(shù) 11 Dfff 增函數(shù)增函數(shù) yf xxDf 設(shè)為嚴(yán)格增函數(shù) 則必 設(shè)為嚴(yán)格增函數(shù) 則必定理定理1 2 11 fff 類似地 嚴(yán)格減函數(shù)必有反函數(shù)且在其類似地 嚴(yán)格減函數(shù)必有反函數(shù)且在其 定義域上也是嚴(yán)格減函數(shù)定義域上也是嚴(yán)格減函數(shù) xDf xy 使使 fDyf D設(shè)在上嚴(yán)格增 則設(shè)在上嚴(yán)格增 則 證證只有一個(gè)只有一個(gè) 1212 xxf xyf x 事實(shí)上 若使 事實(shí)上 若使f則與則與 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 78 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 1 f 的嚴(yán)格增性質(zhì)相矛盾再證必是嚴(yán)格增的的嚴(yán)格增性質(zhì)相矛盾再證必是嚴(yán)格增的 2121 yyDfyy 1212 yyfxx 由于及的嚴(yán)格增性 必有即 由于及的嚴(yán)格增性 必有即 11 1122 xfyxfy 111 12 fyfyf 因此也是嚴(yán)格增函數(shù) 因此也是嚴(yán)格增函數(shù) n y因此的反函因此的反函 R n n yx 由于在上嚴(yán)格增 由于在上嚴(yán)格增 例例6 R r n ryx m 在上亦為嚴(yán)格增 在上亦為嚴(yán)格增 1 R n n zx 數(shù)在上嚴(yán)格增 故對(duì)任意有理數(shù) 數(shù)在上嚴(yán)格增 故對(duì)任意有理數(shù) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 79 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2012 09 29 01 R a 時(shí) 在上嚴(yán)格減 時(shí) 在上嚴(yán)格減 121122 r rQxrrx 使因此 使因此 112 1 sup xrrr aa rQ rxaa 2 2 sup xr a rQ rxa 1 R x yaa 證明 當(dāng)時(shí) 在上嚴(yán)格增 當(dāng) 證明 當(dāng)時(shí) 在上嚴(yán)格增 當(dāng)例例7 1212 1 axxxxQ 設(shè)由的稠密性 設(shè)由的稠密性 證證 01 R x aa 類似可證當(dāng)時(shí) 在上嚴(yán)格減 類似可證當(dāng)時(shí) 在上嚴(yán)格減