振動(dòng)和波動(dòng)計(jì)算題及答案.doc

振動(dòng)和波動(dòng)計(jì)算題1.一物體在光滑水平面上作簡諧振動(dòng)，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm處速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)當(dāng)速度是12 cm/s時(shí)的位移 解：設(shè)振動(dòng)方程為，則 (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s狀態(tài)下有 解得 ， s 2分 (2) 設(shè)對(duì)應(yīng)于v =12 cm/s的時(shí)刻為t2，則由 得 ， 解上式得 相應(yīng)的位移為 cm 3分2. 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然 后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)求 (1) 物體的振動(dòng)方程； (2) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力； (3) 物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5 cm處所需要的最短時(shí)間 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 選平衡位置為原點(diǎn)，x軸指向下方（如圖所示）， t = 0時(shí)， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振動(dòng)方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)，彈簧對(duì)物體的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 設(shè)t1時(shí)刻物體在平衡位置，此時(shí)x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此時(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)， v 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再設(shè)t2時(shí)物體在平衡位置上方5 cm處，此時(shí)x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 3. 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為 (SI) (1) 當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？ (2) 質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到上述位置所需最短時(shí)間為多少？解：(1) 勢能 總能量 由題意， m 2分 (2) 周期 T = 2p/w = 6 s 從平衡位置運(yùn)動(dòng)到的最短時(shí)間 Dt 為 T/8 Dt = 0.75 s 3分4. 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為x = 0.24 (SI)，試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)（t = 0的狀態(tài)）運(yùn)動(dòng)到x = -0.12 m，v 0的狀態(tài)所需最短時(shí)間Dt解：旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示 圖3分由振動(dòng)方程可得 ， 1分 s 1分5. 兩個(gè)物體作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動(dòng)在振動(dòng)過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過位移為的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng)試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖 3分 由圖可知兩簡諧振動(dòng)的位相差為 2分6. 一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示求振動(dòng)方程解：(1) 設(shè)振動(dòng)方程為 由曲線可知 A = 10 cm , t = 0， 解上面兩式，可得 f = 2p/3 2分由圖可知質(zhì)點(diǎn)由位移為 x0 = -5 cm和v 0 0的狀態(tài)所需時(shí)間t = 2 s，代入振動(dòng)方程得 (SI) 則有， w = 5 p/12 2分故所求振動(dòng)方程為 (SI) 1分7. 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為 x1 =510-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =310-2sin(4t - p/6） (SI) 畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程 解： x2 = 310-2 sin(4t - p/6) = 310-2cos(4t - p/6- p/2) = 310-2cos(4t - 2p/3) 作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示 圖2分由圖得：合振動(dòng)的振幅和初相分別為 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振動(dòng)方程為 x = 210-2cos(4t + p/3) (SI) 1分8. 兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為 x1 = 410-2cos2p (SI), x2 = 310-2cos2p (SI) 求合振動(dòng)方程解：由題意 x1 = 410-2cos (SI) x2 =310-2cos (SI) 按合成振動(dòng)公式代入已知量，可得合振幅及初相為 m = 6.4810-2 m 2分 =1.12 rad 2分合振動(dòng)方程為 x = 6.4810-2 cos(2pt+1.12) (SI) 1分9. 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅為A，頻率為n ，波速為u設(shè)t = t時(shí)刻的波形曲線如圖所示求 (1) x = 0處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程； (2) 該波的表達(dá)式 解：(1) 設(shè)x = 0 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 由圖可知，t = t時(shí) 1分 1分所以 ， 2分x = 0處的振動(dòng)方程為 1分 (2) 該波的表達(dá)式為 3分10. 一列平面簡諧波在媒質(zhì)中以波速u = 5 m/s沿x軸正向傳播，原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)曲線如圖所示 (1) 求解并畫出x = 25 m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線 (2) 求解并畫出t = 3 s時(shí)的波形曲線 解：(1) 原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)方程為 ， (SI) 2分波的表達(dá)式為 ， (SI) 2分 x = 25 m處質(zhì)元的振動(dòng)方程為 ， (SI) 振動(dòng)曲線見圖 (a) 2分 (2) t = 3 s時(shí)的波形曲線方程 ， (SI) 2分波形曲線見圖 2分11. 已知一平面簡諧波的表達(dá)式為 (SI) (1) 分別求x1 = 10 m，x2 = 25 m兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 求x1，x2兩點(diǎn)間的振動(dòng)相位差； (3) 求x1點(diǎn)在t = 4 s時(shí)的振動(dòng)位移 解：(1) x1 = 10 m的振動(dòng)方程為 (SI) 1分 x2 = 25 m的振動(dòng)方程為 (SI) 1分 (2) x2與x1兩點(diǎn)間相位差 Df = f2 - f1 = -5.55 rad 1分 (3) x1點(diǎn)在t = 4 s時(shí)的振動(dòng)位移 y = 0.25cos(12543.7) m= 0.249 m 2分12. 如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速u = 20 m/s沿x軸負(fù)方向傳播，已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為 (SI) (1) 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波的表達(dá)式； (2) 以距A點(diǎn)5 m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波的表達(dá)式解：(1) 坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為 2分波的表達(dá)式為 (SI) 2分 (2) 以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為 (SI) 2分波的表達(dá)式為 (SI) 2分13. 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和w ，波速為u，設(shè)t = 0時(shí)的波形曲線如圖所示 (1) 寫出此波的表達(dá)式 (2) 求距O點(diǎn)分別為l / 8和3l / 8 兩處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程 (3) 求距O點(diǎn)分別為l / 8和3l / 8 兩處質(zhì)點(diǎn)在t = 0時(shí)的振動(dòng)速度 解：(1) 以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)由圖可知，該點(diǎn)振動(dòng)初始條件為 ， 所以 波的表達(dá)式為 4分 (2) 處振動(dòng)方程為 1分 的振動(dòng)方程為 1分 (3) t = 0，處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度 1分 t = 0，處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度 1分14. 如圖，一平面簡諧波沿Ox軸傳播，波動(dòng)表達(dá)式為 (SI)，求 (1) P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 該質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式與加速度表達(dá)式解：(1) 振動(dòng)方程 2分 (2) 速度表達(dá)式 2分加速度表達(dá)式 1分15. 某質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為2 s，振幅為0.06 m，t = 0 時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)恰好處在負(fù)向最大位移處，求 (1) 該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 此振動(dòng)以波速u = 2 m/s沿x軸正方向傳播時(shí)，形成的一維簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式，（以該質(zhì)點(diǎn)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）； (3) 該波的波長解：(1) 振動(dòng)方程 (SI) 3分 (2) 波動(dòng)表達(dá)式 3分 (SI) (3) 波長 m 2分16. 如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為u，若P處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 ，求 (1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式； (3) 與P處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置解：(1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 2分 (2) 波動(dòng)表達(dá)式為 2分 (3) x = -L k ( k = 1，2，3，) 1分17.如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波速大小為u，若P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 ，求 (1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式； (3) 與P處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些質(zhì)點(diǎn)的位置解：(1) O處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程 2分 (2) 波動(dòng)表達(dá)式 2分 (3) (k = 0，1，2，3，) 1分18. 圖示一平面余弦波在t = 0 時(shí)刻與t = 2 s時(shí)刻的波形圖已知波速為u，求 (1) 坐標(biāo)原點(diǎn)處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式解：(1) 比較t = 0 時(shí)刻波形圖與t = 2 s時(shí)刻波形圖，可知此波向左傳播在t = 0時(shí)刻，O處質(zhì)點(diǎn) ， ， 故 2分又t = 2 s，O處質(zhì)點(diǎn)位移為 所以 ， n = 1/16 Hz 2分振動(dòng)方程為 (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波長 l = u /n = 160 m 2分波動(dòng)表達(dá)式 (SI) 3分19. 如圖所示，兩相干波源在x軸上的位置為S1和S2，其間距離為d = 30 m，S1位于坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)波只沿x軸正負(fù)方向傳播，單獨(dú)傳播時(shí)強(qiáng)度保持不變x1 = 9 m 和x2 = 12 m處的兩點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)因干涉而靜止的點(diǎn)求兩波的波長和兩波源間最小相位差解：設(shè)S1和S2的振動(dòng)相位分別為f 1和f 2在x1點(diǎn)兩波引起的振動(dòng)相位差 即 2分在x2點(diǎn)兩波引起的振動(dòng)相位差 即 3分得 m 2分由 2分當(dāng)K = -2、-3時(shí)相位差最小 1分 20. 兩波在一很長的弦線上傳播，其表達(dá)式分別為： (SI) (SI)求： (1) 兩波的頻率、波長、波速； (2) 兩波疊加后的節(jié)點(diǎn)位置； (3) 疊加后振幅最大的那些點(diǎn)的位置 解：(1) 與波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 對(duì)比可得： n = 4 Hz， l = 1.50 m， 各1分波速 u = ln = 6.00 m/s 1分 (2) 節(jié)點(diǎn)位置 m , n = 0，1，2，3, 3分 (3) 波腹位置 m , n = 0，1，2，3, 2分 21. 設(shè)入射波的表達(dá)式為 ，在x = 0處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端設(shè)反射時(shí)無能量損失，求 (1) 反射波的表達(dá)式； (2) 合成的駐波的表達(dá)式； (3) 波腹和波節(jié)的位置解：(1) 反射點(diǎn)是固定端，所以反射有相位突變p，且反射波振幅為A，因此反射波的表達(dá)式為 3分 (2) 駐波的表達(dá)式是 3分 (3) 波腹位置： , 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 波節(jié)位置： 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 22. 如圖所示，一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面波由P點(diǎn)反射， = 3l /4， = l /6在t = 0時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)求D點(diǎn)處入射波與反射波的合振動(dòng)方程（設(shè)入射波和反射波的振幅皆為A，頻率為n） 解：選O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)入射波表達(dá)式為 2分則反射波的表達(dá)式是 2分合成波表達(dá)式（駐波）為 2分在t = 0時(shí)，x = 0處的質(zhì)點(diǎn)y0 = 0， ， 故得 2分因此，D點(diǎn)處的合成振動(dòng)方程是 2分23. 如圖，一角頻率為w ，振幅為A的平面簡諧波沿x軸正方向傳播，設(shè)在t = 0時(shí)該波在原