基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計(jì)方法.doc

研究生課程論文學(xué)年學(xué)期： 2011-2012年第二學(xué)期 課程名稱： 統(tǒng)計(jì)信號(hào)分析 授課教師： 論文題目：基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計(jì)方法 學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 專 業(yè)： 通信與信息系統(tǒng) 2102年6月12日基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計(jì)方法摘要：利用分段DFT頻譜的相位差消除了初相對(duì)頻率估計(jì)的影響且避免了相位模糊問(wèn)題。給出了頻率和初相估計(jì)的均方根誤差計(jì)算公式。理論分析和Monte Carlo模擬結(jié)果顯示頻率估計(jì)均方根誤差接近Cramer-Rao(CR)下限，初相估計(jì)均方根誤差略高于CR下限的2倍。閾值信噪比遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于基于時(shí)域瞬時(shí)相位的頻率和初相估計(jì)方法。在信噪比為6dB，采樣點(diǎn)數(shù)為1024的情況下，頻率估計(jì)均方根誤差約為DFT頻率分辨率的1%，初相估計(jì)均方根誤差約為2度。該方法已用于FMCW液位測(cè)量雷達(dá)并取得1mm距離測(cè)量精度。關(guān)鍵詞：頻率估計(jì)；相位估計(jì)；雷達(dá)測(cè)距；DFTAbstract：Use block of phase DFT spectrum to eliminate the influence of relative frequency early estimates and avoid the phase fuzzy problem. Given the frequency and initial phase estimate of the RMS error calculation formula. The theory analysis and Monte Carlo simulation results indicate that the frequency estimation RMS error close to Cramer-Rao (CR) floor, the RMS error estimation is slightly higher than the lower limit CR 2 times. Threshold value signal-to-noise ratio is much lower than the instantaneous phase frequency based on the time domain and initial phase estimation. In the signal-to-noise ratio is 6 dB, sampling points for 1024, frequency estimation RMS error of about 1% of the DFT frequency resolution, early phase estimate RMS error of about 2 degrees. The method has been used to level measurement radar and obtain FMCW 1 mm distance measurement accuracy.Keywords：Frequency estimation、Phase estimates、Radar ranging、DFT1 引言正弦波信號(hào)頻率的估計(jì)是通信、雷達(dá)、聲納以及電子對(duì)抗等領(lǐng)域信號(hào)處理中的一個(gè)重要問(wèn)題?；趨?shù)模型的譜估計(jì)、最大熵譜估計(jì)等方法具有頻率分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)于長(zhǎng)序列，其運(yùn)算量大，不利于實(shí)時(shí)處理。而基于DFT的譜分析方法，可采用快速算法，即FFT，因此運(yùn)算速度快，特別適合于實(shí)時(shí)信號(hào)處理。但DFT的頻率分辨力和頻率估計(jì)精度取決于信號(hào)的測(cè)量時(shí)間長(zhǎng)度，信號(hào)測(cè)量時(shí)間過(guò)長(zhǎng)不但給實(shí)時(shí)處理帶來(lái)困難，而且在一些應(yīng)用中信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的，不能任意延長(zhǎng)，使得DFT的頻率分辨力和估計(jì)精度受到限制，因此一般只利用DFT實(shí)現(xiàn)頻率的粗測(cè)1,2，文獻(xiàn)3提出了利用數(shù)值搜索方法提高DFT頻率估計(jì)精度。由于柵欄效應(yīng)DFT頻譜在主瓣之內(nèi)有2條譜線，利用這2條譜線的幅度可以實(shí)現(xiàn)頻率插值以及提高頻率測(cè)量精度4。文獻(xiàn)5提出了直接在時(shí)域采用最小二乘線性回歸的方法，利用瞬時(shí)相位估計(jì)信號(hào)頻率和初相。為了避免直接測(cè)量瞬時(shí)相位的整周模糊問(wèn)題，文獻(xiàn)6提出了相位查分方法。在時(shí)域測(cè)量瞬時(shí)相位估計(jì)信號(hào)頻率和初相的缺點(diǎn)是需要較高的信噪比。文獻(xiàn)7提出了一種利用DFT頻譜的相位和頻率插值的綜合算法提高頻率測(cè)量精度的方法。本文提出一種利用信號(hào)DFT頻譜相位提高頻率測(cè)量精度的新方法，利用分段DFT消除了相位測(cè)量中的整周模糊問(wèn)題。理論分析和計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果表明，該方法的信噪比閾值比基于時(shí)域瞬時(shí)相位的頻率估計(jì)方法低很多，在很低信噪比情況下，仍能得到很高的頻率和初相估計(jì)精度，頻率估計(jì)均方根誤差接近CR下限。該方法還可以估計(jì)信號(hào)的初相，初相估計(jì)均方根誤差高于CR下限的2倍。2 FFT相位差法估計(jì)頻率和初相原理設(shè)觀測(cè)信號(hào)為單一頻率復(fù)正弦波信號(hào) (1)其中，、分別為信號(hào)的幅度、頻率和初相。對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行采樣，設(shè)信號(hào)的記錄時(shí)間長(zhǎng)度分為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的序列，對(duì)應(yīng)前點(diǎn)，則采樣序列可記為 (2)對(duì)應(yīng)后點(diǎn)，則 (3) (4)分別對(duì)和進(jìn)行點(diǎn)DFT，得到離散頻譜 (5) (6)其中和分別為的幅度項(xiàng)與相位項(xiàng) (7) (8)根據(jù)式(6)知，與的幅度項(xiàng)完全一樣。由式(7),幅度最大處值對(duì)應(yīng)的離散頻率為 (x表示取最接近x的整數(shù))。利用DFT的最大譜線粗測(cè)頻率為，為DFT的頻率分辨率。從式(8)可見(jiàn)，DFT最大譜線的相位包含信號(hào)頻率與DFT最大譜線位置的偏差信息，但由于未知，不能直接利用DFT的相位來(lái)估計(jì)頻率。用和分別表示和在最大譜線處的相位，則兩者的差值為 (9)當(dāng)在范圍內(nèi)變化時(shí)，由式(9)知，在到之間變化。因此可以利用可以對(duì)與DFT最大譜線對(duì)應(yīng)的頻率的偏差進(jìn)行估計(jì) (10)也可以定義與T無(wú)關(guān)的相對(duì)頻率偏差，當(dāng)在范圍內(nèi)變化時(shí)，在范圍內(nèi)變化，可以利用直接得到的估計(jì)值。然后按下式計(jì)算的估值 (11)由于首先利用DFT的最大譜線位置對(duì)頻率進(jìn)行了粗測(cè)，DFT相位差只用來(lái)估計(jì)信號(hào)頻率在兩條譜線之間的位置，因而相位測(cè)量不會(huì)出現(xiàn)模糊。將式(9)代入式(8),得 (12)于是初相估計(jì)為 (13)當(dāng)N較大時(shí)，上式可近似為 (14)3 噪聲對(duì)測(cè)量精度的影響 在加性白噪聲背景下，觀測(cè)信號(hào)可表示為。其中為式(1)所表示的純信號(hào)，為復(fù)白噪聲，其均值為0，功率譜密度為。前N/2點(diǎn)采樣序列記為。設(shè)系統(tǒng)的等效帶寬為，則的功率(方差)為。采樣后的信噪比為。白噪聲為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，不滿足Fourier變換得絕對(duì)可積條件，不能對(duì)其進(jìn)行Fourier變換，因此一般只分析其功率譜密度。但功率譜密度不包含相位信息，無(wú)法分析噪聲對(duì)相位測(cè)量的影響。對(duì)于采樣后的白噪聲序列，可將其DFT變換看作是若干個(gè)隨機(jī)變量的線性組合，每項(xiàng)DFT系數(shù)仍為隨機(jī)變量，所以噪聲序列的DFT仍為隨機(jī)序列。因此我們可以定義噪聲序列在概率意義上的N/2點(diǎn)DFT變換 (15)上式只在概率意義上成立，因?yàn)閷?duì)于的不同次實(shí)現(xiàn)，的值是隨機(jī)變化的。和分別表示的幅度和相位，均為隨機(jī)量。可以通過(guò)上式分析的統(tǒng)計(jì)特性。當(dāng)為高斯白噪聲序列時(shí)，也服從高斯分布，而且對(duì)于同一次DFT變換，不同的k，或同一個(gè)離散頻率k不同次的DFT變換(每次DFT對(duì)不同的采樣序列進(jìn)行)，均為不相關(guān)的，即也為高斯白噪聲序列，易知的均值為0，方差為.于是的DFT可表示為 (16)整理式(16)，得的幅度和相位分別為 (17) (18)對(duì)于較大的DFT輸出信噪比，上式可近似為 (19)由，得DFT相位測(cè)量均方根誤差為 (20)對(duì)于較大的N,在主瓣附近，可近似為 (21)式中。當(dāng)信噪比較大時(shí)，在DFT幅度最大值處，仍近似為正態(tài)分布，其方差為，所以，在幅度最大值處，DFT頻譜的信噪比為 (22)式中為N/2點(diǎn)DFT的信噪比增益。將式(21)和式(22)代入式(20)，DFT最大譜線處相位的均方根誤差可表示為 (23)對(duì)于平穩(wěn)白噪聲，第二段采樣序列的DFT的相位的測(cè)量誤差與的測(cè)量誤差是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，而且方差相同，因此相位差的均方根誤差為。于是，相對(duì)頻率偏差估計(jì)和初相估計(jì)的均方根誤差分別為 (24) (25) 根據(jù)相對(duì)頻偏的均方根誤差便可得到的均方根誤差為。由于一般較大，DFT最大譜線位置錯(cuò)誤造成的頻率估計(jì)誤差可以忽略，因此的估計(jì)誤差主要取決于的估計(jì)誤差。由式(24)、(25)可見(jiàn)，頻率與初相估計(jì)誤差和被測(cè)信號(hào)頻率與DFT最大譜線的偏差有關(guān)，當(dāng)被測(cè)信號(hào)的頻率正好位于最大譜線上時(shí)，頻率和初相估計(jì)誤差最小，分別為和，頻率估計(jì)均方根誤差略大于CR下限，初相估計(jì)均方根誤差為CR下限的倍。當(dāng)被測(cè)信號(hào)的頻率正好位于DFT兩條離散譜線中間時(shí)，頻率和初相估計(jì)誤差最大，分別為和。當(dāng)信號(hào)頻率位于DFT兩條譜線中間時(shí)，信號(hào)的DFT系數(shù)有兩項(xiàng)幅度接近，信號(hào)的能量平均分布在兩條譜線上。由于上面的相位估計(jì)方法只利用了信號(hào)的一條譜線，因此頻率和初相估計(jì)的均方根誤差均為最好情況的倍。信號(hào)在兩個(gè)相鄰離散譜線上的相位差180度，而噪聲在兩個(gè)頻率上是不相關(guān)的，可以使相位及頻率的估計(jì)均方根誤差降低到原來(lái)的，與最好情況接近。4 計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果采用單頻率的實(shí)正弦波信號(hào)迭加高斯白噪聲對(duì)本文提出的頻率和初相估計(jì)的FFT相位差法進(jìn)行了Monte Carlo模擬。由于DFT對(duì)實(shí)信號(hào)的信噪比增益為對(duì)應(yīng)的復(fù)信號(hào)的一半，因此實(shí)正弦信號(hào)頻率及相位估計(jì)的方差為對(duì)應(yīng)的復(fù)信號(hào)的2倍。所以，對(duì)于實(shí)信號(hào)，前面推導(dǎo)的計(jì)算頻率和初相估計(jì)的均方根誤差的公式都要乘上。實(shí)信號(hào)的頻率和初相估值均方根誤差CR下限也為復(fù)信號(hào)CR下限的倍。模擬中信號(hào)的頻率用DFT頻率分辨率的倍數(shù)表示，頻率估計(jì)是對(duì)相對(duì)頻率偏差進(jìn)行的，可利用將換算成頻率估計(jì)的均方根誤差。對(duì)于不同的和值的正弦信號(hào)在不同的信噪比好DFT長(zhǎng)度條件下進(jìn)行Monte Carlo模擬，模擬結(jié)果顯示對(duì)于任意的和從到的范圍內(nèi)變化的值，本文提出的相位差法可得到很好的頻率和初相估計(jì)，估計(jì)誤差與本文給出的公式計(jì)算結(jié)果相吻合。表1列出的為一個(gè)DFT的頻率分辨單元內(nèi)的在若干個(gè)頻率上，,經(jīng)100次Monte Carlo模擬，頻率偏差估計(jì)的均值和均方根誤差。表1最后一行為將文獻(xiàn)7中表1中同樣情況下的折算成的結(jié)果，可見(jiàn)兩者基本相同，但本文的方法只需利用DFT系數(shù)的相位就可以對(duì)位于DFT離散譜線之間任意位置的頻率進(jìn)行估計(jì)，而不需利用DFT頻譜 幅度估計(jì)頻率。對(duì)于給定的參數(shù)，根據(jù)上面得到的公式，可以算出時(shí)，可見(jiàn)模擬解雇與理論計(jì)算結(jié)果基本吻合。表中最后兩行括號(hào)內(nèi)為時(shí)加4項(xiàng)Blackman-Harris窗后的結(jié)果，加窗對(duì)DFT頻率插值法估計(jì)誤差影響較大，頻率估計(jì)均方根誤差約增加一倍，而對(duì)DFT相位差估計(jì)頻率誤差影響很小。 表2列出的是在條件下，對(duì)若干個(gè)給定的經(jīng)100次Monte Carlo模擬得到的估計(jì)值的均值和均方根誤差。按本文給出的公式計(jì)算，模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果基本吻合。圖1和圖2所示分別為頻率和初相估計(jì)均方根誤差與信噪比及DFT長(zhǎng)度的關(guān)系，圖中*代表Monte Carlo模擬結(jié)果，點(diǎn)線為按本文給出的公式(實(shí)信號(hào))計(jì)算結(jié)果，劃線為對(duì)應(yīng)實(shí)信號(hào)的頻率和初相估值均方根誤差CR下限。圖1(a)和圖1(b)所示分別為情況下，頻率和相位估計(jì)誤差與信噪比的關(guān)系。模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果吻合，頻率估計(jì)均方根誤差接近CR下限。信噪比增加6dB,估值均方根誤差降低一半，圖2(a)和2(b)所示分別為在條件下，頻率估值和初相估值均方根誤差隨數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N變化的情況。模擬結(jié)果與按公式計(jì)算結(jié)果基本吻合，N增加4倍，頻率和相位估計(jì)均方根誤差降低一半。從圖1和圖2可見(jiàn)，頻率估計(jì)誤差接近(實(shí)信號(hào))CR下限，初相估計(jì)均方根誤差約為(實(shí)信號(hào)) CR下限的2倍。5 結(jié)論及實(shí)際應(yīng)用本文提出了一種利用DFT頻譜的相位估計(jì)正弦信號(hào)的頻率和初相的新方法，在信噪比為6dB、數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1024的情況下，頻率估計(jì)均方根誤差為對(duì)應(yīng)的DFT的頻率分辨率的1%，與文獻(xiàn)7提出的利用DFT頻譜的相位估計(jì)信號(hào)頻率的方法相比，本文提出的方法避免了相位模糊問(wèn)題，從而僅利用DFT最大譜線處的相位對(duì)位于兩條譜線之間的任意位置的信號(hào)頻率都能得到滿意的估計(jì)，不需利用DFT頻率插值法對(duì)相位法進(jìn)行補(bǔ)償，頻率估計(jì)均方根誤差接近CR下限，與文獻(xiàn)7的綜合方法基本相同。為了抑制頻譜泄露，通常在FFT之前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果顯示，加窗對(duì)DFT頻率插值法估計(jì)誤差影響較大，而對(duì)DFT相位差法估計(jì)誤差影響很小。此外，本文提出的方法可以估計(jì)信號(hào)的初相，初相估計(jì)均方根誤差略高于CR下限的2倍。本文提出的頻率和初相估計(jì)方法比文獻(xiàn)5和6采用的基于信號(hào)瞬時(shí)相位的頻率估計(jì)方法的信噪比閾值低很多，在低信噪比情況下，適當(dāng)增加采樣點(diǎn)數(shù)，計(jì)算機(jī)模擬顯示仍能得到很好的頻率和初相的估計(jì)。本文還給出了白噪聲背景下頻率和初相估計(jì)均方根誤差與信噪比及DFT長(zhǎng)度的關(guān)系式，公式計(jì)算結(jié)果與計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果很好地吻合。本文介紹的頻率估計(jì)方法已在FMCW液位測(cè)量雷達(dá)中得到應(yīng)用，該系統(tǒng)采用具有極高的頻率穩(wěn)定性和掃頻線性度的集成微波組件作為掃頻源，發(fā)射信號(hào)中心頻率10GHz，掃描帶寬1.5GHz,直接利用DFT頻譜測(cè)量距離的分辨率為10cm。在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)(差拍信號(hào)的信噪比在10dB以上)，實(shí)際測(cè)量結(jié)果顯示采用本文提出的DFT相位差估計(jì)頻率的方法測(cè)量距離的均方根誤差小于0.5mm，超過(guò)采用其它譜估計(jì)方法達(dá)到的距離測(cè)量精度。參考文獻(xiàn)：1劉渝?？焖俑呔日?