第一講 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程精編(含答案).doc

第一講 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一【基礎(chǔ)知識(shí)講解】 1、橢圓定義：（1）第一定義： 文字語言形式:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。 符號(hào)語言形式:|MF1|+|MF2|=2a|F1F2| (M為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為定點(diǎn)，a為常數(shù)) 注意：|2a|F1F2|非常重要，這是因?yàn)?，?dāng)|2a|=|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2；當(dāng)|2a|b0）； （2） 焦點(diǎn)在y軸上的方程：（ab0）； （3）當(dāng)焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，也可直接設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0,n0，且 m不等于n) （4） 參數(shù)方程：稱它們?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，是因?yàn)樗男问阶詈?jiǎn)單，這與利用對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系有關(guān)。同時(shí)，還應(yīng)注意理解下列幾點(diǎn)： (1) 標(biāo)準(zhǔn)方程中的常數(shù)b源于b2=a2-c2，常數(shù)a和b決定橢圓的大小和扁平程度，是橢圓的定形條件。 (2) 焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。也就是說，知道了焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種形式，不知道焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程具有多種類型. (3) 任何一個(gè)橢圓，只需選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，其方程均可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓的方程才具有上述的標(biāo)準(zhǔn)形式。二【例題講解】 1、橢圓的第一定義考點(diǎn)1：橢圓的判斷1判斷下列方程是否表上橢圓，若是，求出的值 ；答案：表示園；是橢圓；不是橢圓（是雙曲線）； 可以表示為 ，是橢圓，2.設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （ C ） A. 橢圓 B. 線段 C. 橢圓或線段或不存在 D. 不存在變式訓(xùn)練1. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 解析：橢圓方程化為+=1.焦點(diǎn)在y軸上，則2，即k0，0k1.答案：0k12.，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ D ） A. B. C. D. 考點(diǎn)2：橢圓的焦點(diǎn)與焦距1. 已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，則MNF2的周長(zhǎng)為（ B ） A.8 B.16 C.25 D.322. 橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|等于( C ) A. B. C. D.4 3 橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距 離為（ A ） A.5 B.6 C.4 D.10 4若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是( A ) （A） （B） （C） （D） 5點(diǎn)P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1, F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，則|PF1|PF2|的最大值與最小值之差一定是(D) a2- b2 （A）1 （B）a2 （C）b2 （D）c2PF1*PF2=PF1*(2a-PF1)=2aPF1-PF12=a2-a2+2aPF1-PF12=a2-(a-PF1)2因此當(dāng)PF1=a時(shí)有最大值a2當(dāng)PF1=a+c時(shí)有最小值b2 6橢圓短軸的兩端點(diǎn)為B1, B2，過其左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中項(xiàng)(O為中心)，則等于(B ) a2=2bc （A） （B） （C） （D） 變式訓(xùn)練 1 橢圓的焦距是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；若CD為過左焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)為 答案：2 化簡(jiǎn)方程：答案：3. 已知4，則曲線和有 （ B ）A. 相同的準(zhǔn)線 B. 相同的焦點(diǎn) C. 相同的離心率 D. 相同的長(zhǎng)軸考點(diǎn)3：橢圓第一定義的應(yīng)用 1 橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是 答案：14 2.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)， 則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（ ） A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A3在橢圓上取三點(diǎn)，其橫坐標(biāo)滿足x1+x3=2x2，三點(diǎn)順次與某一焦點(diǎn)連接的線段長(zhǎng)是r1, r2, r3，則有( A ) （A）r1, r2, r3成等差數(shù)列 （B）r1, r2, r3成等比數(shù)列 （C）成等差數(shù)列 （D）成等比數(shù)列變式訓(xùn)練 1. (廣雅中學(xué)20122013學(xué)年期中考)已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=72. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則=_。解析的周長(zhǎng)為，=8考點(diǎn)4：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x，y)，直接列出動(dòng)點(diǎn)所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與Q點(diǎn)滿足某種關(guān)系，要求P點(diǎn)的軌跡。其關(guān)鍵是列出P、Q兩點(diǎn)的關(guān)系式3.定義法：通過對(duì)軌跡點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)與某個(gè)圓錐曲線的定義相符，則通過這個(gè)定義求出方程。4.參數(shù)法：在x，y間的方程F(x,y)=0難以直接求得時(shí)，往往用(t為參數(shù))來反映x，y之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k與角等。1 動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn) (-4,0)， (4,0)的距離的和是8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 _ 答案：是線段，即 2.ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對(duì)應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思，訓(xùn)練根據(jù)條件對(duì)一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.依題意得 ， 頂點(diǎn)A的軌跡方程為 .說明：方程對(duì)應(yīng)的橢圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（，）與(0，6)應(yīng)舍去.3.已知定圓x2+y2-6x-55=0，動(dòng)圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程 分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值 根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論： 上式可以變形為，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓 解 已知圓可化為：圓心Q(3，0)，所以P在定圓內(nèi) 設(shè)動(dòng)圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是： 4.在ABC中，BC=24，AC、AB的兩條中線之和為39,求ABC的重心軌跡方程.分析：以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，M為重心，則|MB|+|MC|=39=26.根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為 (0) 變式訓(xùn)練1.已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，所以有 ，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 2.長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 的坐標(biāo)為 因?yàn)?，所以?，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)1：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，2）和（0,2）且過（,） (3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5，0).(4)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.(5)焦點(diǎn)在軸上，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知，又 所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 另法： 可設(shè)所求方程，后將點(diǎn) （,）的坐標(biāo)代入可求出，從而求出橢圓方程(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，2c=6.所求橢圓的方程為：.(4) 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .所求橢圓方程為： （5）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（，）在橢圓上，.又P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，c（），故c=8.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 2.已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且120，求.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.解：(1)由題設(shè)4， 2c=2， 橢圓的方程為.（）設(shè)，則60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故3. 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況4. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故5. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為6.的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為7. 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或8.已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： 由橢圓定義知： ，則得 故 9.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法 10. 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長(zhǎng)軸：，又，因此，所求橢圓的方程為變式訓(xùn)練1.,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 2.已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓3.求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為三【課后習(xí)題】 1.方程表示橢圓，則的取值范圍是（ B ）. .） . . ）2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ C ） A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12) D.(12，0) 3.已知橢圓的方程為，焦點(diǎn)在軸上，則其焦距為（ A ） A.2 B.2 C.2 D.4. (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是（ D ）A4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能 OxyDPABCQ解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面5.已知三角形ABC的一邊長(zhǎng)為6,周長(zhǎng)為16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程 解：以BC邊為x軸，BC線段的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的軌跡是橢圓， 其方程為：若以BC邊為y軸，BC線段的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為：6.已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC6，且的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：以BC所在直線為軸，BC中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)，根據(jù)已知條件得|AB|+|AC|=10再根據(jù)橢圓定義得所以頂點(diǎn)A的軌