隨機(jī)變量函數(shù)的分布、卷積公式.ppt

第五節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 的分布M max X Y 及N min X Y 的分布課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè) 在第二章中 我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論 當(dāng)隨機(jī)變量X Y的聯(lián)合分布已知時 如何求出它們的函數(shù)Z g X Y 的分布 例1若X Y獨(dú)立 P X k ak k 0 1 2 P Y k bk k 0 1 2 求Z X Y的概率函數(shù) 解 a0br a1br 1 arb0 由獨(dú)立性 r 0 1 2 一 的分布 解依題意 例2若X和Y相互獨(dú)立 它們分別服從參數(shù)為的泊松分布 證明Z X Y服從參數(shù)為 于是 i 0 1 2 j 0 1 2 的泊松分布 r 0 1 即Z服從參數(shù)為的泊松分布 例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f x y 求Z X Y的概率密度 這里積分區(qū)域D x y x y z 解 Z X Y的分布函數(shù)是 它是直線x y z及其左下方的半平面 化成累次積分 得 固定z和y 對方括號內(nèi)的積分作變量代換 令x u y 得 變量代換 交換積分次序 由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系 即得Z X Y的概率密度為 由X和Y的對稱性 fZ z 又可寫成 以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式 特別地 當(dāng)X和Y獨(dú)立 設(shè) X Y 關(guān)于X Y的邊緣密度分別為fX x fY y 則上述兩式化為 下面我們用卷積公式來求Z X Y的概率密度 卷積公式 為確定積分限 先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 例4若X和Y獨(dú)立 具有共同的概率密度 求Z X Y的概率密度 解由卷積公式 也即 暫時固定 故 當(dāng)或時 當(dāng)時 當(dāng)時 于是 例5若X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 具有相同的分布N 0 1 求Z X Y的概率密度 解由卷積公式 令 得 可見Z X Y服從正態(tài)分布N 0 2 用類似的方法可以證明 若X和Y獨(dú)立 結(jié)論又如何呢 此結(jié)論可以推廣到n個獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形 請自行寫出結(jié)論 若X和Y獨(dú)立 具有相同的分布N 0 1 則Z X Y服從正態(tài)分布N 0 2 有限個獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 更一般地 可以證明 休息片刻再繼續(xù) 二 M max X Y 及N min X Y 的分布 設(shè)X Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 它們的分布函數(shù)分別為FX x 和FY y 我們來求M max X Y 及N min X Y 的分布函數(shù) FM z P M z P X z Y z 由于X和Y相互獨(dú)立 于是得到M max X Y 的分布函數(shù)為 1 M max X Y 的分布函數(shù) 即有FM z FX z FY z 即有FN z 1 1 FX z 1 FY z 1 P X z Y z FN z P N z 1 P N z 2 N min X Y 的分布函數(shù) 由于X和Y相互獨(dú)立 于是得到N min X Y 的分布函數(shù)為 設(shè)X1 Xn是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 它們的分布函數(shù)分別為 我們來求M max X1 Xn 和N min X1 Xn 的分布函數(shù) i 1 n 用與二維時完全類似的方法 可得 N min X1 Xn 的分布函數(shù)是 M max X1 Xn 的分布函數(shù)為 特別地 當(dāng)X1 Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F x 時 有 例6設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成 連接的方式分別為 i 串聯(lián) ii 并聯(lián) iii 備用 當(dāng)系統(tǒng)損壞時 系統(tǒng)開始工作 如下圖所示 設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為 其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度 解 i 串聯(lián)的情況 由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個損壞時 系統(tǒng)L就停止工作 所以此時L的壽命為 因為X的概率密度為 所以X的分布函數(shù)為 當(dāng)x 0時 當(dāng)x0時 故 類似地 可求得Y的分布函數(shù)為 于是的分布函數(shù)為 1 1 FX z 1 FY z 的概率密度為 ii 并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時 系統(tǒng)L才停止工作 所以此時L的壽命為 故的分布函數(shù)為 于是的概率密度為 iii 備用的情況 因此整個系統(tǒng)L的壽命為 由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時 系統(tǒng)才開始工作 當(dāng)z0時 當(dāng)z 0時 當(dāng)且僅當(dāng) 即時 上述積分的被積函數(shù)不等于零 故 于是的概率密度為 需要指出的是 當(dāng)X1 Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F x 時 常稱 M max X1 Xn N min X1 Xn 為極值 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象 如地震 洪水等等都是極值 研究極值分布具有重要的意義和實用價值