普通高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3講 函數(shù)的基本性質(zhì)精品學(xué)案.docVIP

2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第3講 函數(shù)的基本性質(zhì)一課標(biāo)要求1通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二命題走向從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。預(yù)測(cè)2013年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是：（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。三要點(diǎn)精講1奇偶性（1）定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間d叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , a是y= fg(x)定義域的某個(gè)區(qū)間，b是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 a上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在b上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在a上是增函數(shù)；若u=g(x)在a上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在b上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在a上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2d，且x10與a 0時(shí)， ，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過程（要保證定義域不變）。例2設(shè)函數(shù)f（x）在（，+）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必為奇函數(shù)的有_（要求填寫正確答案的序號(hào)）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。點(diǎn)評(píng)：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對(duì)學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。題型二：奇偶性的應(yīng)用例3設(shè)f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，若當(dāng)x0時(shí)，f（x）=log3（1+x），則f（2）=_ _。答案：1；解：因?yàn)閤0時(shí)，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=f（x），設(shè)x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），所以f（2）=log33=1。點(diǎn)評(píng)：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上函數(shù)的取值。例4已知定義在r上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)=2x1，求x4，0時(shí)f(x)的表達(dá)式。解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間4，0分成兩段考慮：若x2，0，x0，2，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x2，0時(shí)，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；綜上，點(diǎn)評(píng)：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。解：（1）依題意，對(duì)一切，有，即。對(duì)一切成立，則，。（2）（定義法）設(shè)，則，由，得，即，在上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法），在上為增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。例6已知f(x)是定義在r上的增函數(shù)，對(duì)xr有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)f(x)= f(x)+，討論f (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。在r上任取x1、x2，設(shè)x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是r上的增函數(shù)，且f(10)=1，當(dāng)x10時(shí)0 f(x)10時(shí)f(x)1; 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, f (x2)x15，則f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, f(x2) f (x1)；綜上，f (x)在（，5）為減函數(shù)，在（5，+）為增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7設(shè)函數(shù)f（x）（ab0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。.解：在定義域內(nèi)任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有當(dāng)x1x2b或bx1x2時(shí)函數(shù)才單調(diào)當(dāng)x1x2b或bx1x2時(shí)f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是單調(diào)減函數(shù)，在（，b）上是單調(diào)減函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)。對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例8（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋纸饣竞瘮?shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)閞，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點(diǎn)評(píng)：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。題型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用例9已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0)上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0。不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)對(duì)所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。解：f(x)是r上的奇函數(shù)，且在0，+上是增函數(shù)，f(x)是r上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。設(shè)t=cos,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正。當(dāng)0,即m0m1與m042m4+2，421,即m2時(shí)，g(1)=m10m1。m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42。另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)： cos2mcos+2m20對(duì)于0,恒成立，等價(jià)于m(2cos2)/(2cos) 對(duì)于0,恒成立當(dāng)0,時(shí)，(2cos2)/(2cos) 42，m42。點(diǎn)評(píng)：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。題型六：最值問題例11設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|xa|+1，xr。（1）討論f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)。當(dāng)a0時(shí)，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此時(shí)函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，則函數(shù)f（x）在（，a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f（x）在（，a）上的最小值為f（a）=a2+1。若a，則函數(shù)f（x）在（，a上的最小值為f（）=+a，且f（）f（a）。當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（）=a，且f（）f（a）。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（a）=a2+1。綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a。當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a+。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤r，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。例12設(shè)m是實(shí)數(shù)，記m=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。（1）證明：當(dāng)mm時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mm；（2）當(dāng)mm時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；（3）求證：對(duì)每個(gè)mm,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 （1）證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mm時(shí)，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)閞。反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mm。（2）解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+，此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值。（3）證明：當(dāng)mm時(shí)，m+=(m1)+ +13，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立。log3(m+)log33=1。點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理。題型七：周期問題例13若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為（ ）a b c d解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對(duì)稱，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以f(2x)的一個(gè)周期為2b2a，故知f(x)的一個(gè)周期為4(ba)。選項(xiàng)為d。點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱（ab），則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（ba）。例14已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，。是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，。當(dāng)時(shí)，有，。當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。五思維總結(jié)1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映；3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖