數(shù)學競賽中證明不等式的幾種常見方法.pdf

散學教學通訊 z o o o 年第8 期 總第 1 2 9 期 重慶 4 5 數(shù) 學 競賽 中證 明 不等 式的幾種 常 見方法 重慶市第一中學 4 0 0 0 3 0 唐紹友 在高中數(shù)學競賽中 證明不等式有換元法 構造法 匹配法 反證法等常用方法 下面對此 略作介紹 1 換元法 例 1 已 知 z 兒 z R 求 證 靠 一十 1 9 9 6 z 2 z z Y 2 z 4 年 2 月號 數(shù)學奧林匹克問題4 0 題 證明 令2 z Y z a z 2 y z 6 z Y十2 z C 得 4 x z 口 6 c z z 羋 一Q 45 z 二 一 得 塑二 二 旦 一 得 z 于是 蘭 壘 二 魚 二 c 2 z Y z z 2 y z z Y 2 z 4 a 二4 c 4 9 一 魚 a b 4 6 一 C 魚 1 a C C 9 一 2 魚a o 2 D q V 2 寺 所以原不等式獲證 例 2 設 口 b C R 且滿足 a b c 1 證 明 南 詈 第3 6 屆國際奧林匹克競賽題 證明 因為 a b c 1 所 以原不等式 甘 b 2 C 2 b 2 口 6 c 口 c 口 令口 6 c z 0 0 z 0 1 所以 Y 未 Y 騙證 Y z z z z 十 z z 十 z 吾 由柯西不等式得 X 2 y 2 z 2 z z z m 志 責 蘭 而 2 z Y z 2 0z十 Y 因為z Y z 0 所以在上式兩邊約去 z 得 y 2 南 2 z v z 3 夏 3 所以 y 2 壽 手 故原不等式獲證 2 匹配法 例 3 設 z 1 z 2 0 求 證 要 鬟 五 z Z 2 7 1 證 法 1 要 z 2 2 z 1 鬟 z 3 2 z 2 Z 2 z 3 2 Sen 1 署 z 2 將 上 述 個 不 等 式 相 加 得 愛 鬢 每 署 z 1 z 2 2 z l 2 如 即 要 維普資訊 4 6 重慶 O 所以 x 2 要 X 2 A 署 z z z 3 I 一 一 例4 設 n b d是滿足a b b c c d 如 1 的正實數(shù) 求證 b d a b 口 c 題 證明 以 3 b c d 6 3 a c d C3 口 b d d3 a b c 第 3 1 屆 奧 賽 備 選 號 詈 口 2 號 二 62 z 號 號 c 2 警 z 將上面四式相加 J n b d a b 魯 n 2 b c 2 d 2 一 j 爭 n 6 6 c cd 如 n c 吾 n 2 6 2 c 2 一 2 口 6 6 f 吾 口 2 c 2 2 n c 5 2 d 2 2 b d 5 a 2 6 c d C 一 寺 n b 6 c d a 虧 n b 6 c 一 2 n 如 了 1b b c I n b 6 c 一 n 如 了 n 6 c 證畢 評 洼 匹配活當?shù)捻椈蛞蚴?旨 存但成 公式 的完整條件 進而使用公式證題 3 構造法 例5 已 知 a 1 a 2 n 7 0 求證 口1 口2 n4 口5 a1 a2 a4 n 5 a6 a7 a 2 a 3 a4等 等 5 a 6 a 7 n a1 a3 a4 2 a 5 a 6 n 1 a 3 a4 口5 a6 a7 證明 構造函數(shù)f x m 0 易 Z 1 孢 證 z 在 0 o o 上是增函數(shù) 因為 a 1 a 2 a 7 0 所以a 1 a 2 口 4 a 5 n 1 a 4 a 5 n2 a 3 a 5 n6 a3 a 5 口6 所以 口 1 a 2 a 4 a 5 a 1 a 4 a 5 f a 2 n 3 a 5 a 6 f a 3 n 5 a 6 所以左邊 a 1 a4 n 5 t 21 a4 口5 口6 a7 口3 a 5 a6 口4 a7 口1 a4 a 5 口 1 a3 a4 n 5 a6 a7 口3 口5 口6 口 1 a3 a4 n 5 a6 a7 a1 n3 a4 2 a5 a6 n 1 a3 a4 n 5 a6 a7 證畢 例6 設實數(shù)口 b c 滿足 f n 2 一b c一8 a 7 0 I 6 c 2 b c一 6 n 6 0 求證 1 n 9 1 9 8 6 年全國高中聯(lián)賽題 證明 由已 知得 b c a 2 8 a 7 b c a一1 所以b c 是方程 干 n一1 z a 8 a 7 0 的兩實根 所以 T 口 一 1 4 a 8 n 7 一3 n 2 3 0 a一2 7 0 維普資訊 效學教學通訊 2 o 0 0 年第8 期 總第1 2 9 期 重慶 4 7 所以a 一 1 0 a 9 0 所以1 a 9 例 7 證明 對任 意正實數(shù)z 兒 B 不等式 成立 證明 x 2 x y 3 2 脬 A C 構成如圖所示的AA B C 因A B B C A C 即 臃 3 z2 成立 4 反證法 例8 若0 a f 寺 所以 尋 F 所 以 丁 軎 另 一方 面 1 一 口 1 a 2 1 一 口 2 口 3 2 2 一 矛盾 所以假設不成立 所以原命題 成立 練習題 1 已知 口 6 c E R 求證 c 3 而聲 2 設 口 0 b 0 c 0 求證 a b c 6 c a c a b a b c 3 求 證 一 號 齋 4 設 口 6 c E R 求證 口 6 c 5 設 a l a 2 a b l b 2 b 都是正實 數(shù) 且 耋 a t i妻 b 證 明 喜 丟 奎 a ii 1 i 1 i o i i 數(shù) 且 一 f 證 明 寺 蛋 量 l l i T 二 I 6 設z Y 0 求證 J Z 2 b y 2 Z y 7 設三實數(shù)a b c 滿足I 口 I 1 I b I 1 I c I