2[1][1]2_直接證明與間接證明(人教A選修1-2).ppt

2 2直接證明與間接證明 2 2 1綜合法和分析法 復習 合情推理的結論不一定正確 有待證明 演繹推理得到的結論一定正確 例 已知a 0 b 0 求證a b2 c2 b c2 a2 4abc 因為b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因為c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 證明 利用已知條件和某些數(shù)學定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導出所要證明的結論成立 這種證明方法叫做綜合法 用P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示所要證明的結論 則綜合法用框圖表示為 特點 由因?qū)Ч?綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法 例1 如圖 ABC在平面 外 求證 P Q R三點共線 證明 因為AB P BC Q A 所以P Q R P AB BC R AC則得P Q R 平面ABC 因此P Q R是平面ABC與平面 的公共點 因為兩平面相交有且只有一條交線 所以P Q R三點在平面ABC與平面 的交線上 即P Q R三點共線 例3 在 中 三個內(nèi)角 對應的邊分別為a b c 且 成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 求證 為等邊三角形 證明 由A B C成等差數(shù)列 有2B A C 因為A B C是三角形的內(nèi)角 所以A B C 180o 所以B 60o 由a b c成等比數(shù)列 有b2 ac 則b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 再有 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0因此a c 從而有A C 則由 得A B C 60o 所以三角形ABC是等邊三角形 利用已知條件和某些數(shù)學定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導出所要證明的結論成立 這種證明方法叫做綜合法 用P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示所要證明的結論 則綜合法用框圖表示為 小結 綜合法的定義 回顧基本不等式 a 0 b 0 的證明 一般地 從要證明的結論出發(fā) 逐步尋求推證過程中 使每一步結論成立的充分條件 直至最后 把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 為止 這種證明的方法叫做分析法 特點 執(zhí)果索因 用框圖表示分析法的思考過程 特點 分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法 例4 求證 證明 因為都是正數(shù) 所以為了證明 只需證明 展開得 即 只需證明21 25 因為21 25成立 所以不等式成立 例5 如圖 SA 平面ABC AB BC 過A作SB的垂線 垂足為E 過E作SC的垂線 垂足為F 求證AF SC 證明 要證AF SC 只需證 SC 平面AEF 只需證 AE SC 只需證 AE 平面SBC 只需證 AE BC 只需證 BC 平面SAB 只需證 BC SA 只需證 SA 平面ABC 因為 SA 平面ABC成立 所以 AF SC成立 上述過程可用框圖表示 看課本第41頁 例題6 一般地 利用已知條件和某些已經(jīng)學過的定義 定理 公理等 經(jīng)過一系列的推理 論證 最后推導出所要證明的結論成立 這種證明方法叫做綜合法 特點 由因?qū)Ч?小結 綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法 1 綜合法的定義 一般地 從要證明的結論出發(fā) 逐步尋求推證過程中 使每一步結論成立的充分條件 直至最后 把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 為止 這種證明的方法叫做分析法 2 分析法的定義 分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法 特點 執(zhí)果索因 2 2直接證明與間接證明 2 2 2反證法 復習 1 直接證明的兩種基本證法 綜合法和分析法 2 這兩種基本證法的推證過程和特點 由因?qū)Ч?執(zhí)果索因 3 在實際解題時 兩種方法如何運用 通常用分析法尋求思路 再由綜合法書寫過程 綜合法 已知條件 結論 分析法 結論 已知條件 思考 將9個球分別染成紅色或白色 那么無論怎樣染 至少有5個球是同色的 你能證明這個結論嗎 分析 假設有某種染法使紅色球和白色球的個數(shù)都不超過4 則球的總數(shù)應不超過4 4 8 這與球的總數(shù)是9矛盾 因此 無論怎樣染 至少有5個球是同色的 把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明 注 反證法是最常見的間接證法 一般地 假設原命題不成立 即在原命題的條件下 結論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明假設錯誤 從而證明了原命題成立 這樣的證明方法叫做反證法 歸謬法 理論 反證法的證明過程 否定結論 推出矛盾 肯定結論 即分三個步驟 反設 歸謬 存真 反設 假設命題的結論不成立 存真 由矛盾結果 斷定反設不成立 從而肯定原結論成立 歸謬 從假設出發(fā) 經(jīng)過一系列正確的推理 得出矛盾 用反證法證明命題的過程用框圖表示為 肯定條件否定結論 導致邏輯矛盾 反設不成立 結論成立 反證法的思維方法 正難則反 例7已知a 0 證明x的方程ax b有且只有一個根 證 由于a 0 因此方程至少有一個根x b a 注 結論中的有且只有 有且僅有 形式出現(xiàn) 是唯一性問題 常用反證法 如果方程不只一個根 不妨設x1 x2 x1 x2 是方程的兩個根 例8 已知直線a b和平面 如果且a b 求證 a a b P 看課本第43頁 例題8 歸納總結 三個步驟 反設 歸謬 存真 歸繆矛盾 1 與已知條件矛盾 2 與已有公理 定理 定義矛盾 3 自相矛盾 1 直接證明有困難 正難則反 歸納總結 哪些命題適