合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題.doc

合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題 構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時(shí)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)對(duì)問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。 例1：（2009年寧波市高三第三次模擬試卷22題）已知函數(shù).(1) 若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2) 若在上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3) 若時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，進(jìn)而解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是符合的，所以 （2）顯然結(jié)合定義域知道在上恒成立，所以且。同時(shí)此函數(shù)是時(shí)遞減，時(shí)遞增， 故此我們只需要保證，解得：（3）方法一、變量分離直接構(gòu)造函數(shù)解：由于，所以： 當(dāng)時(shí)，所以在上遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上遞減； 又 當(dāng)時(shí)，所以在上遞減；當(dāng)時(shí)，所以上遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上遞減；又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則且的取值范圍為原函數(shù)草圖二階導(dǎo)數(shù)草圖一階導(dǎo)數(shù)草圖，方法二、 構(gòu)造： 從而在上為增函數(shù)；從而在上為減函數(shù) 而 分析點(diǎn)評(píng)：第（3）問的兩種解法難易繁雜一目了然，關(guān)鍵在合理構(gòu)造函數(shù)上。那么怎樣合理構(gòu)造函數(shù)呢？（1）抓住問題的實(shí)質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)1、已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值. （1）求的解析式；（2）是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1） （2）假設(shè)滿足要求的實(shí)數(shù)存在，則，即有： ，即有：構(gòu)造函數(shù) 畫圖分析：進(jìn)而檢驗(yàn)，知,所以存在實(shí)數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是構(gòu)造了函數(shù)，舍棄了原函數(shù)中分母問題得到了簡(jiǎn)化。變式練習(xí)：設(shè)函數(shù)，求已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2）抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題：例： 已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為設(shè)（1） 求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；（2） 試討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。解證：（1） （2）方程從而 因?yàn)樗苑匠炭勺優(yōu)?令，得： 當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 又所以函數(shù)在同一坐標(biāo)系的大致圖像如圖所示 當(dāng)即時(shí)，方程無解； 當(dāng)即時(shí)，方程一解； 當(dāng)即時(shí)，方程有2個(gè)根。分析點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)的圖象力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡(jiǎn)單化明確化。（3）復(fù)合函數(shù)問題一定要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復(fù)合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。（1） 求實(shí)數(shù)的值.（2） 若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3） 若函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）利用 得： （2）因?yàn)?得 列表得因此有極大值極小值作出的示意圖，如圖:因?yàn)殛P(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令即關(guān)于的方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以的圖像與直線在上有3個(gè)不同的交點(diǎn)。而的圖像與的圖像一致。即（3）函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，可以分以下2種情況：當(dāng)函數(shù)的圖像與軸無交點(diǎn)時(shí)，則必須有無解，而函數(shù)的值域?yàn)樗越獾卯?dāng)函數(shù)的圖像與軸無交點(diǎn)時(shí)，則必須有不存在，即或，有意義，所以，解得. 由函數(shù)存在，可知有解，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為分析點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)尤其是兩次復(fù)合，一定要好好