(免費(fèi))2013考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率與統(tǒng)計(jì)講義--王福海416.doc

2013考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率與統(tǒng)計(jì)講義主講：王福海2012年4月 2013考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率與統(tǒng)計(jì)講義目 錄第一章 概率論的的基礎(chǔ)知識(shí)1第二章 一維隨機(jī)變量7第三章 二維隨機(jī)變量14第四章 數(shù)字特征22第五章 大數(shù)定律與中心極限定理3133第一章 概率論的基本知識(shí)1 概率論的基本概念問(wèn)題一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件：稱(chēng)一個(gè)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，如果（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。我們是通過(guò)研究隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的，為方便起見(jiàn)，將隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，并用字母E或表示。在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件，并用大寫(xiě)字母A，B，C等表示，為討論需要，將每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件，記為，每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，記為。隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)最簡(jiǎn)單、最基本的結(jié)果稱(chēng)為基本事件或樣本點(diǎn)，記為，每次試驗(yàn)最多只能發(fā)生一個(gè)基本事件，基本事件（或樣本點(diǎn)）的全體稱(chēng)為樣本空間（或基本事件空間），記為，即，隨機(jī)事件A總是由若干個(gè)基本事件組成，即A是的子集，事件A發(fā)生等價(jià)于構(gòu)成A的基本事件有一個(gè)發(fā)生。二、隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算事件間關(guān)系與運(yùn)算的文字?jǐn)⑹黾险撝械谋硎痉ǜ怕收撝械暮x事件A包含事件B（或事件B含于事件A）（或）事件B發(fā)生，則事件A一定發(fā)生事件A和B相等（或等價(jià)）A=B事件A發(fā)生，則B一定發(fā)生，反之亦然事件A和B之和（或并）或A+B兩個(gè)事件A，B中，至少有一個(gè)事件發(fā)生事件A與B的積（或交）（簡(jiǎn)記為AB）事件發(fā)生，當(dāng)且僅漢A與B同時(shí)發(fā)生事件A與B的差A(yù)-B事件A-B發(fā)生，當(dāng)且僅僅當(dāng)事件A發(fā)生，B不發(fā)生事件A的逆事件（或?qū)α⑹录┦录l(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生事件A和B互不相容（或A與B互斥）事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生注：1、若事件組中任意兩個(gè)事件都相互互斥，則稱(chēng)之為互斥事件組。 2、在一次試驗(yàn)中，基本事件都是兩兩互斥的。三、事件的主要運(yùn)算規(guī)律 1、2、3、若，則四、典型例題例1 設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試表示如下事件：A發(fā)生但B不發(fā)生：A與B至少有一個(gè)發(fā)生：A與B恰有一個(gè)發(fā)生：A、B、C均不發(fā)生：例2（88）若事件A，B，C滿(mǎn)足等式，則（A） A=B (B) (C) (D) 若C與A、B不相容則A=B2 概率論的概念及性質(zhì)，古典概型與幾何概型一、概率的概念及性質(zhì) 1、定義：事件A的概率是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)。2、性質(zhì)：如果事件A，B互不相容，則設(shè)A為任一隨機(jī)事件，則設(shè)則， 設(shè)A，B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則推廣：二、古典概型與幾何概型1、古典概率定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，n為有限的正整數(shù)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，則事件出現(xiàn)的概率，即 2、幾何概率設(shè)線(xiàn)段l是線(xiàn)段L的一部分，向線(xiàn)段L上任投一點(diǎn)，若投中線(xiàn)段l上的點(diǎn)的數(shù)目與該段的長(zhǎng)度成正比，而與該線(xiàn)段l在線(xiàn)段L上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)投中線(xiàn)段l的概率P為設(shè)平面圖形g是平面圖形G 的一部分，向圖形G上任投一點(diǎn)，若投中圖g上的點(diǎn)的數(shù)目與該圖形面積成正比，而與該圖形g在圖G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān) ，則點(diǎn)投中圖形g的概率P為設(shè)空間體U是空間體V的一部分，則向V投點(diǎn)投中U的概率P為3、計(jì)算古典概率時(shí)用到的一些中學(xué)的基本知識(shí)加法原理 設(shè)完成一件事有n類(lèi)方法（只要選擇其中一類(lèi)方法即可完成這件事），若第一類(lèi)方法有種，第二類(lèi)方法有種，第n類(lèi)方法有種，則完成這件事共有N=+種方法。乘法原理 設(shè)完成 一件事須有n個(gè)步驟（僅當(dāng)n個(gè)步驟都完成，才能完成這件事），若第一步有種方法，第二步有種方法，第n步有種方法，則完成這件事共有N=種方法。排列 從n個(gè)不同元素中任取個(gè)按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素取m個(gè)元素的所有排列種數(shù)，記為從n個(gè)不同元素中全部取出的排列稱(chēng)為全排列，其排列的種數(shù)，記為。允許重復(fù)的排列 從n個(gè)不同元素中有放回地取m個(gè)按照一定順序排列成一列，其排列的種數(shù)為個(gè)。組合 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素不管其順序并成一組，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，其組合總數(shù)記為：三、重點(diǎn)題型例1 已知?jiǎng)t。例2（92）設(shè)A，B，C為隨機(jī)事件，P（A）=P（B）=P（C）=，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，則A，B，C至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為。例3（09）袋中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中取兩次，每次取1只（有放回），則取得一只紅球、一只白球的概率為 。例4 把10本書(shū)隨意的放在書(shū)架上，則其中指定的5本書(shū)放在一起的概率為 。例5（88）在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概率為。3 條件概率、乘法定理、全概率公式與貝葉斯公式一、條件概率如果P(A)0，則在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率定義為注 條件概率也是一種概率，當(dāng)P(A)0時(shí)，有1、；2、；3、當(dāng)不相容時(shí)，；4、當(dāng)P(A)0時(shí)，；5、若AB，則；6、；二、乘法公式三、全概率公式如果事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為并且，則對(duì)任一事件B，有。四、貝葉斯公式如果事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，并且，則對(duì)任一事件A，有：注意：公式右邊可這樣記憶：分母為全概率公式，是n項(xiàng)之和，分子是分母中的某一項(xiàng)。五、事件的獨(dú)立性定義1：A與B獨(dú)立A與B互不影響P(AB)=P(A)P(B)P(B/A)=P(B)P(A/B)=P(A)與獨(dú)立與B獨(dú)立A與獨(dú)立。定義2：若，則稱(chēng)A、B、C兩兩獨(dú)立定義3：若A、B、C兩兩獨(dú)立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱(chēng)A、B、C相互獨(dú)立。六、重點(diǎn)題型（一）事件關(guān)系的判別問(wèn)題主要針對(duì)獨(dú)立、相容或不相容、對(duì)立三種關(guān)系：例1（87）若二事件A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率P（AB）=0，則（A）A和B不相容（互斥）。（B）AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（D）P（A）=0或P（B）=0例2（00）設(shè)A，B，C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則A，B，C相互獨(dú)立的充分必要條件是（A）A與BC獨(dú)立。（B）AB與AC獨(dú)立。（C）AB與AC獨(dú)立。（D）AB與AC獨(dú)立。（二）利用條件概率、乘法定理、全概率公式等結(jié)論推導(dǎo)新的概率等式或不等式。例1 設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，P(ABC)=0,0P(C)1，則有 （A）（B）（C）（D）例2（98）設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0P(A)0, P(B | A)=P(B | )，則必有（A）P（A | B）= P(|B)（B）P（A | B）P(|B)（C）P（AB）= P(A)P（B）（D）P（AB）P(A)P（B）（三）利用條件概率等公式求相關(guān)的概率例1 設(shè)隨機(jī)事件A，B及其和事件AB的概率分別是0.4, 0.3和0.6，若表示B的對(duì)立事件，那么積事件A的概率P（A）=。例2 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為。例3 某光光儀器廠(chǎng)制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為，若第一次落下未打破，第二次落下時(shí)打破的概率為，若前兩次未打破，第三次落下時(shí)打破的概率為，求透鏡落下三次而未打皮的概率。例4（96）設(shè)工廠(chǎng)A和工廠(chǎng)B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由A廠(chǎng)和B廠(chǎng)的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品是A廠(chǎng)生產(chǎn)的概率是 。例5（98）袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球。今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第2個(gè)人取得黃球的概率是。例6（08）設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件一等品?，F(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回）。試求（1） 先取出的零件是一等品的概率p;（2） 在先取出的是一等品的條件下，后取出的零件仍然是一等品的條件概率q。第二章 一維隨機(jī)變量1 分布律，分布函數(shù)，概率密度的概念及性質(zhì)：一、 有關(guān)定義及主要結(jié)論：一維隨機(jī)變量X的分布幾何表示隨機(jī)變量X的分布函數(shù)性質(zhì)：（1）（2）（3）（4），即F(x)是右連續(xù)圖2-1X為離散型X為連續(xù)型概率分布：分布律：XP性質(zhì)：（1）（2）概率密度：性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）的連續(xù)點(diǎn)。（5）分布函數(shù)注：連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個(gè)特性：1、設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，a為常數(shù)，則2、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定連續(xù)。二、重點(diǎn)題型及解題方法：例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布為，則系數(shù) 。例2 已知 為某隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，則 ，分布函數(shù)為 例3 （05）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)則A=，P|X|，概率密度為 例4 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：05 0 05 15 01 01 02()是X的分布函數(shù)，則 = ，() = 。例5 某射手參加射擊比賽，共有4發(fā)子彈，命中率為P，各次獨(dú)立射擊，求命中目標(biāo)為止時(shí)射擊次數(shù)X的分布律。例6 在高為h的 ABC中任取一點(diǎn)P，P到底邊AB的距離為X，求X的概率密度。2 關(guān)于利用已知分布 求概率的問(wèn)題X0 1P1-p p一、幾個(gè)重要的一維分布1、（0-1）分布：分布律為其中P為事件A出現(xiàn)的概率，0p1。2、貝努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布和幾何分布如果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A與，且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率都相等（即），將這種試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，則稱(chēng)這種試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。在n重貝努利試驗(yàn)中，以X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為其中p為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，q為不出現(xiàn)的概率，q=1-p，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，通常記為。進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為1-p=q，將試驗(yàn)進(jìn)行到一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，則X的分布律為： （k=1，2，），稱(chēng)X服從參數(shù)為p的幾何分布。注0-1分布即二項(xiàng)分布在n=1的情形。進(jìn)行一次試驗(yàn)，若試驗(yàn)的成功率為p(0p1)，則在一次試驗(yàn)中成功次數(shù)X服從參數(shù)為p的0-1分布：二項(xiàng)分布描述n重伯努利試驗(yàn)，若每次試驗(yàn)成功率為p(0p0是常數(shù)），則對(duì)任意常數(shù)C必有（A）E（X-C）2=EX2-C2（B）E（X-C）2=E（X-）2（C）E（X-C）2E(X-)2（D）E（X-C）2E（X-）2例4（97）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為=1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量求：（1）（X1，X2）的聯(lián)合概率分布；（2）E（X1+X2）。例5（99）設(shè)是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知的分布律為（1） 寫(xiě)出二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律；（2） 求EX。例6設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。一周五個(gè)工作日，若無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；若發(fā)生兩次故障，獲利潤(rùn)0元；若發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望。例7某設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10，0.20和0.30。設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求E（X）和D（X）。例8（94）設(shè)由自動(dòng)線(xiàn)加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（，1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。銷(xiāo)售每件合格品獲利，銷(xiāo)售每件不合格品虧損。已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T（單元：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系。問(wèn)平均內(nèi)徑取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？二、利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征公式計(jì)算（一）一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征公式：1、設(shè)X的分布律，則的數(shù)學(xué)期望；2、設(shè)X的概率密度為，則的數(shù)學(xué)期望 （二）二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征公式：1、若的概率密度為，則；特別，；2、若為離散型隨機(jī)變量，則先求的分布律，再求Z的數(shù)學(xué)特征。例1 已知X的分布律為，則= 。例2已知隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度為試求：（1）； （2）。例3（02）假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間-2，2上服從均勻分布，隨機(jī)變量試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）。例4（06）設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為（1） 已知事件；（2） 求的數(shù)學(xué)期望。三、利用幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望與方差的結(jié)論計(jì)算 幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差1（01） 分布， 2二項(xiàng)分布， 3泊松分布, 4正態(tài)分布5均勻分布6指數(shù)分布, 為參數(shù)）7幾何分布,重點(diǎn)題型：例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則。例2 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且胡機(jī)變量Z=3X-2，則EZ=。例3（95）設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則=。例4（02）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀(guān)察4次，用Y表示觀(guān)察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。例5設(shè)隨機(jī)變量XN（-3，1），YN（2，1），且X與Y相互獨(dú)立。若Z=X-2Y+7，則Z。例6 假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品。裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只。試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。2 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、定義及性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）相關(guān)系數(shù) 性質(zhì)：（1）， （2）若相互獨(dú)立，則；（3）與以概率1線(xiàn)性相關(guān)，即常數(shù)且，使二、幾個(gè)常用結(jié)論1、，特別當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，；2、3、X與Y獨(dú)立即X與Y不相關(guān)，但反過(guò)來(lái)不正確。4、若服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立與Y不相關(guān)。三、重點(diǎn)題型例1 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在圓域上服從聯(lián)合均勻分布。（1） 求（X，Y）的相關(guān)系數(shù)（2） 問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？例2（02）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為概率 YX-101010.070.080.180.320.150.20則X和Y的關(guān)系數(shù)=。例3設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，記（A）不獨(dú)立。（B）獨(dú)立。（C）相關(guān)系數(shù)不為零。（D）相關(guān)系數(shù)為零。例4（03） 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.5, EX=EY=0, EX2=E