同濟大學(xué)的高等數(shù)學(xué)講義 (17).pdf

第二單元定積分的物理應(yīng)用第二單元定積分的物理應(yīng)用 本單單元內(nèi)容要點本單單元內(nèi)容要點 應(yīng)用定積分計算相應(yīng)的物理問題應(yīng)用定積分計算相應(yīng)的物理問題 主要內(nèi)容有主要內(nèi)容有 1 功功 2 水壓力水壓力 3 引力引力 本單單元教學(xué)要求本單單元教學(xué)要求 掌握用定積分求解物理問題的基本方法和公式掌握用定積分求解物理問題的基本方法和公式 本單元教學(xué)重點和難點本單元教學(xué)重點和難點 掌握三類物理問題的求解方法掌握三類物理問題的求解方法 尤其是在具體問題中 用元素法對問題進(jìn)行具體的分析 尤其是在具體問題中 用元素法對問題進(jìn)行具體的分析 由此得到相應(yīng)問題的 計算公式 由此得到相應(yīng)問題的 計算公式 難點難點 引力的計算引力的計算 教學(xué)時數(shù)教學(xué)時數(shù) 2課時課時 一 變力沿直線所作的功一 變力沿直線所作的功 從物理學(xué)中知道 如果物體在作直線運動的過程中受 到常力的作用 并且力作用的方向與位移的方向一 致 則當(dāng)物體移動了距離 時 力對物體所作的功為 從物理學(xué)中知道 如果物體在作直線運動的過程中受 到常力的作用 并且力作用的方向與位移的方向一 致 則當(dāng)物體移動了距離 時 力對物體所作的功為 F s F WFs F s 如果物體在運動過程中受到變力的作用 如何求出相 應(yīng)的功 如果物體在運動過程中受到變力的作用 如何求出相 應(yīng)的功 例例1 把一個帶電量為的點電荷放在 軸的坐標(biāo)原 點處 它產(chǎn)生一個電場 并對周圍的電荷產(chǎn)生作用 力 由物理學(xué)知道 如果有一個單位正電荷放在這個電 場中離原點為 的地方 那么電場對它的作用力為 是常數(shù) 當(dāng)這個單位正電荷從電場從 處沿 移動到處時 求電場力所作的 功 把一個帶電量為的點電荷放在 軸的坐標(biāo)原 點處 它產(chǎn)生一個電場 并對周圍的電荷產(chǎn)生作用 力 由物理學(xué)知道 如果有一個單位正電荷放在這個電 場中離原點為 的地方 那么電場對它的作用力為 是常數(shù) 當(dāng)這個單位正電荷從電場從 處沿 移動到處時 求電場力所作的 功 q r O Or ra rrb ab F 2 q Fk r k rOrdr ra b q 解取 為積分變量 在區(qū)間中取一小區(qū)間 當(dāng)單位電荷從 移動到時 電場力 對它所作的功近似于 解取 為積分變量 在區(qū)間中取一小區(qū)間 當(dāng)單位電荷從 移動到時 電場力 對它所作的功近似于 r a b r rdr rrdr 2 kq dr r 從而功元素為從而功元素為 2 kq dWdr r 于是所求的功為于是所求的功為 2 111 b b a a kq Wdrkqkq rrab 例例2 內(nèi)燃機動力的產(chǎn)生可簡化為如下的模型 把汽缸 看作為一個圓柱形容器 在圓柱形容器中盛有一定的氣 體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個 活塞從一點處推移到另一點處 經(jīng)過一定的機械裝置將 活塞的這直線運動的動力傳播出去 如果活塞的面積為 計算活塞從點 移到點 的過程中氣體壓力所作的 功 內(nèi)燃機動力的產(chǎn)生可簡化為如下的模型 把汽缸 看作為一個圓柱形容器 在圓柱形容器中盛有一定的氣 體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個 活塞從一點處推移到另一點處 經(jīng)過一定的機械裝置將 活塞的這直線運動的動力傳播出去 如果活塞的面積為 計算活塞從點 移到點 的過程中氣體壓力所作的 功 a Sb 解取坐標(biāo)系如圖所示 活塞的位置用坐標(biāo) 來表示 由物理學(xué)知道 一定量的氣體在等溫條件下 壓強 與體積的乘積是常數(shù)即有 解取坐標(biāo)系如圖所示 活塞的位置用坐標(biāo) 來表示 由物理學(xué)知道 一定量的氣體在等溫條件下 壓強 與體積的乘積是常數(shù)即有 x p V k x a b O pVk 因所以因所以 VxS k p xS 于是作用在活塞上的力為于是作用在活塞上的力為 k FpS x 取 為積分變量 則功元素為取 為積分變量 則功元素為x k dWdx x 因而總功為因而總功為 ln b a kb Wdxk xa 例例3 一圓柱形蓄水池高一圓柱形蓄水池高5米 底半徑為米 底半徑為3米 池內(nèi)盛滿了 誰 要把池內(nèi)的水全部吸出 需作多少功 米 池內(nèi)盛滿了 誰 要把池內(nèi)的水全部吸出 需作多少功 單擊任意處即可觀看 解建立坐標(biāo)系如圖 單擊任意處即可觀看 解建立坐標(biāo)系如圖 x o x xdx 取 為積分變量 則對中的任意一個小 區(qū)間這一層薄水的重力為 取 為積分變量 則對中的任意一個小 區(qū)間這一層薄水的重力為 x 0 5 x 0 5 x xdx 2 9 83 dx 因而功元素為因而功元素為 88 2 dWx dx 于是 功為于是 功為 5 2 5 0 0 88 288 23462 2 x Wx dxJ 例例4 用鐵錘將一鐵釘擊入木板 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?與擊入木板的深度成正比 在第一次時 將鐵釘擊入 木板一厘米 如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等 問鐵釘在第 次時將鐵釘擊入多少 用鐵錘將一鐵釘擊入木板 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?與擊入木板的深度成正比 在第一次時 將鐵釘擊入 木板一厘米 如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等 問鐵釘在第 次時將鐵釘擊入多少 n 解設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇閯t由條件得 第一次錘擊時所作的功為 解設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇閯t由條件得 第一次錘擊時所作的功為 f f xkx 11 1 00 2 k Wf x dxkxdx 設(shè)第 次錘擊時所作的功為此時深度為設(shè)第 次錘擊時所作的功為此時深度為n n W h 則 則 2 0 1 2 h n Wkxdxkh 由題意 每次錘擊時所作的功相等 即有由題意 每次錘擊時所作的功相等 即有 2 1 11 22 n WnWknkhhn 所以第 次錘擊時擊入的深度為所以第 次錘擊時擊入的深度為n1 n hnn 二 水壓力二 水壓力 d pg d 從物理學(xué)中知道 水深 處的壓強為其中 是水的比重 為重力 如果有一塊面積為 的平板水 平地置于深度為 處 則平板一側(cè)所受的水壓力為 如果平板并非水平地置于水中 我們來得到此時平板一 側(cè)所受到的水壓力 從物理學(xué)中知道 水深 處的壓強為其中 是水的比重 為重力 如果有一塊面積為 的平板水 平地置于深度為 處 則平板一側(cè)所受的水壓力為 如果平板并非水平地置于水中 我們來得到此時平板一 側(cè)所受到的水壓力 g A FpA d 例例5 某水庫的閘門形狀為等腰梯形 它的兩條底邊的長 分別為和高為較長的底邊與水平面相 齊 計算閘門的一側(cè)所受的水壓力 某水庫的閘門形狀為等腰梯形 它的兩條底邊的長 分別為和高為較長的底邊與水平面相 齊 計算閘門的一側(cè)所受的水壓力 10 6 mm20 m 20m 10m x o x xdx 6m 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為積分變量 變化范圍為 在中任取一個小區(qū)間 而閘門上對應(yīng)該小區(qū)間的窄 條各點處所受到的水的壓強近似等于 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為積分變量 變化范圍為 在中任取一個小區(qū)間 而閘門上對應(yīng)該小區(qū)間的窄 條各點處所受到的水的壓強近似等于 x 0 20 0 20 x xdx 2 xg kN m 窄條的寬度近似為因而這一窄條一側(cè)所受到的 水壓力近似為 窄條的寬度近似為因而這一窄條一側(cè)所受到的 水壓力近似為 10 5 x 10 5 x dFgxdx 于是所求的水壓力為于是所求的水壓力為 20 3 20 2 0 0 10514373 kN 515 xx Fgxdxgx 例例6 一個橫放著的圓柱形水桶 桶內(nèi)盛有半桶水 設(shè) 桶的底面半徑為水的比重為求桶的一端面上的水 壓力 一個橫放著的圓柱形水桶 桶內(nèi)盛有半桶水 設(shè) 桶的底面半徑為水的比重為求桶的一端面上的水 壓力 R x dxx o x 解建立坐標(biāo)系如圖 取為積分變量 在 區(qū)間中取小區(qū)間則在一個小矩形上 各點的壓強為常數(shù) 解建立坐標(biāo)系如圖 取為積分變量 在 區(qū)間中取小區(qū)間則在一個小矩形上 各點的壓強為常數(shù) x 0 xR x xdx px 0 R 22 2 dPx Rx dx 注意到小矩形的寬為則小矩形片所受到的 水壓力為 注意到小矩形的寬為則小矩形片所受到的 水壓力為 22 2 Rx 從而端面上所受到的水壓力為從而端面上所受到的水壓力為 22 0 2 R Px Rx dx 22223 0 2 3 R Rx d RxR 例例7 將直角邊分別為的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜邊朝下 長邊與水面平行 且到水面的距離 恰為該邊的邊長 求薄板受到的水壓力 將直角邊分別為的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜邊朝下 長邊與水面平行 且到水面的距離 恰為該邊的邊長 求薄板受到的水壓力 2aa a 2a 2a x 解建立坐標(biāo)系如圖 面積元為所受到的 水壓力 解建立坐標(biāo)系如圖 面積元為所受到的 水壓力 2 ax dx 22 dPaxaxdx 所以 相應(yīng)的水壓力為所以 相應(yīng)的水壓力為 3 0 7 22 3 a Paxaxdxa 三 引力三 引力 由物理學(xué)知道 質(zhì)量分別為相距為 的兩質(zhì)點 間的引力大小為 由物理學(xué)知道 質(zhì)量分別為相距為 的兩質(zhì)點 間的引力大小為 12 m mr 12 2 m m Fk r 其中 為引力系數(shù) 引力的方向沿這兩質(zhì)點的連線方 向 其中 為引力系數(shù) 引力的方向沿這兩質(zhì)點的連線方 向 k 例例8 有一長度為 線密度為 的均勻細(xì)棒 在其中垂 線上距棒 單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點計算該棒對 質(zhì)點的引力 有一長度為 線密度為 的均勻細(xì)棒 在其中垂 線上距棒 單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點計算該棒對 質(zhì)點的引力 l am M M 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為 積分變量 在區(qū)間 上 將小段近似看成一個質(zhì)點 質(zhì)量為則引力為 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為 積分變量 在區(qū)間 上 將小段近似看成一個質(zhì)點 質(zhì)量為則引力為 y y ydy dy 22 Mdy Fk ay M a y ydy y x 2 l 2 l r 從而在水平方向的分力元素為從而在水平方向的分力元素為 3 2 22 x am dy dFk ay 于是得到引力在水平方向的分力為于是得到引力在水平方向的分力為 2 3 2 222 22 21 4 l x l kamkm l Fdy a alay 由對稱性 引力在鉛直方向分力由對稱性 引力在鉛直方向分力0 y F 例例9 設(shè)有一半徑為中心角為的圓弧型細(xì)棒 其線 密度為常數(shù)在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點試求 這細(xì)棒對質(zhì)點的引力 設(shè)有一半徑