【備戰(zhàn)】高考數(shù)學(xué)專題講座 第23講 高頻考點(diǎn)分析之不等式、線性規(guī)劃探討.doc

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第23講：高頻考點(diǎn)分析之不等式、線性規(guī)劃探討12講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個(gè)熱點(diǎn)，考查的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應(yīng)用?？疾榈奶攸c(diǎn)是單獨(dú)考查不等式的問(wèn)題很少，尤其是不等式的證明題；不等式與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何、導(dǎo)數(shù)、實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題居多；作為不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用，線性規(guī)劃問(wèn)題日顯頻繁。結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以下七方面探討不等式、線性規(guī)劃問(wèn)題的求解：1. 解高次、分式不等式和指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式；2. 解絕對(duì)值不等式；3. 不等式問(wèn)題中“最值法”和“單調(diào)性法”的應(yīng)用；4. 不等式問(wèn)題中“數(shù)形結(jié)合法”的應(yīng)用；5. 不等式問(wèn)題中“特殊值法”的應(yīng)用；6. 基本不等式的應(yīng)用；7. 線性規(guī)劃問(wèn)題。一、解高次、分式不等式和指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式：典型例題：例1. （2012年重慶市理5分）不等式的解集為【 】 a. b. c. d. 【答案】a?！究键c(diǎn)】分式不等式的解法。【分析】化分式不等式為整式不等式求解：。故選a。例2. （2012年重慶市文5分）不等式 的解集是為【 】（a） （b） （c）（-2，1）（d）【答案】c。【考點(diǎn)】其他不等式的解法。【分析】利用等價(jià)變形直接轉(zhuǎn)化分式不等式為二次不等式求解即可： 。故選c。例3. （2012年江西省文5分）不等式的解集是 ?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】其它不等式的解法。【解析】不等式可化為，解得。不等式的解集為。例4. （2012年湖南省文5分）不等式的解集為.【答案】?！究键c(diǎn)】一元二次不等式的解法。【解析】由，得，從而的不等式x2-5x+60的解集為。例5. （2012年山東省文5分）函數(shù)的定義域?yàn)椤?】 a b c d 【答案】b?！究键c(diǎn)】函數(shù)的定義域。分式、對(duì)數(shù)、二次根式有意義的條件?！窘馕觥扛鶕?jù)分式、對(duì)數(shù)、二次根式有意義的條件，得，解得。 函數(shù)的定義域?yàn)?。故選b。例6. （2012年重慶市文5分）設(shè)函數(shù)集合 則為【 】（a） （b）（0，1） （c）（-1，1） （d）【答案】d?！究键c(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的概念，解一元二次不等式和指數(shù)不等式，集合及其運(yùn)算?！痉治觥坷靡阎蟪黾现械姆秶?，結(jié)合集合，求出的范圍，然后求解即可：由得，或，即或?；?，即。由得，即，即。故選d。例7. （2012年上海市理14分）已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）【答案】（1）由，得。 由得。 ，解得。 由得，。 （2）當(dāng)時(shí)，。由單調(diào)性可得。，所求反函數(shù)是，。【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)，反函數(shù)的求法?！窘馕觥浚?）由，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列不等式組求解即可。（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質(zhì)求解。二、解絕對(duì)值不等式：典型例題：例1. （2012年廣東省理5分）不等式的解集為。【答案】。【考點(diǎn)】分類討論的思想，解絕對(duì)值不等式?！窘馕觥糠诸愑懻摚河刹坏仁降?，當(dāng)時(shí)，不等式為，即恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，；當(dāng)時(shí)，不等式為，即不成立。綜上所述，不等式的解集為。另解：用圖象法求解：作出圖象，由折點(diǎn)參考點(diǎn)連線；運(yùn)用相似三角形性質(zhì)可得。例2. （2012年上海市理4分）若集合，則= .【答案】?！究键c(diǎn)】集合的概念和性質(zhì)的運(yùn)用，一元一次不等式和絕對(duì)值不等式的解法?！窘馕觥坑深}意，得，。例3. （2012年天津市理5分）已知集合，集合,且，則 , .【答案】，。【考點(diǎn)】集合的交集的運(yùn)算及其運(yùn)算性質(zhì)，絕對(duì)值不等式與一元二次不等式的解法【分析】由題意，可先化簡(jiǎn)集合，再由集合的形式及直接作出判斷，即可得出兩個(gè)參數(shù)的值：=,又，畫數(shù)軸可知，。例4. （2012年天津市文5分）集合中最小整數(shù)為 【答案】?！究键c(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法?！痉治觥坎坏仁剑?，集合。 集合中最小的整數(shù)為。例5. （2012年山東省理4分）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)= ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】絕對(duì)值不等式的性質(zhì)。【解析】由可得，即，而，所以。例6. （2012年江西省理5分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為 ?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法，轉(zhuǎn)化與劃歸、分類討論的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用?！窘馕觥吭坏仁娇苫癁榛蚧颍傻?；由得；由得。原不等式的解集為。例7. （2012年陜西省文5分）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】?！究键c(diǎn)】絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及其運(yùn)用?！窘馕觥坑深}意知左邊的最小值小于或等于3，根據(jù)不等式的性質(zhì)，得，解得，。例8. （2012年湖南省理5分）不等式的解集為 【答案】?！究键c(diǎn)】解絕對(duì)值不等式?！窘馕觥苛?，則由得的解集為。例9. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）已知函數(shù)()當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；()若的解集包含，求的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海?）當(dāng)時(shí)，由得 或或。 解得 或。 ()原命題即在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立。 ?！究键c(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法?！窘馕觥?)分段求解即可。 ()對(duì)于，把作未知求解。例10. （2012年遼寧省文10分）已知，不等式的解集為。 ()求a的值； ()若恒成立，求k的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海╥）由得。 又不等式的解集為， 當(dāng)時(shí)，不合題意； 當(dāng)時(shí)，得。()由（i）得。記。 ?！究键c(diǎn)】分段函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)、絕對(duì)值不等式及其運(yùn)用，分類討論思想的應(yīng)用?！窘馕觥浚╥）針對(duì)的取值情況進(jìn)行討論即可。 () 針對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論從而用分段函數(shù)表示，進(jìn)而求出k的取值范圍。例11.（2012年江蘇省10分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：求證：【答案】證明：， 由題設(shè)。 【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)?！窘馕觥扛鶕?jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證。三、不等式問(wèn)題中“最值法”和“單調(diào)性法”的應(yīng)用：典型例題：例1. （2012年福建省文4分）已知關(guān)于x的不等式x2ax2a0在r上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】(0,8)。【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法?！窘馕觥筷P(guān)于x的不等式x2ax2a0在r上恒成立，則滿足a242a0，解得0a0時(shí)，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定義域?yàn)?，?若，則，在上單調(diào)遞增。 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 ()a=1，。 當(dāng)x0時(shí)，它等價(jià)于。 令，則。 由()知，函數(shù)在上單調(diào)遞增。 ，在上存在唯一的零點(diǎn)。 在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 在上的最小值為。 又，即，。 因此，即整數(shù)k的最大值為2。【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥?)分和討論的單調(diào)區(qū)間即可。 ()由于當(dāng)x0時(shí)，等價(jià)于，令，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)情況求出整數(shù)k的最大值。例9. （2012年天津市理14分）已知函數(shù)的最小值為，其中.（）求的值；（）若對(duì)任意的,有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（）證明.【答案】解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)函數(shù)可得. 令，得。當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：0極小值在處取得極小值。由題意，得。（）當(dāng)0時(shí)，取，有，故0不合題意。當(dāng)0時(shí)，令，即。求導(dǎo)函數(shù)可得。令，得。當(dāng)時(shí)， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的），總有，即對(duì)任意的，有成立。符合題意。當(dāng)時(shí)，0，對(duì)于(0， )，0，因此在(0， )上單調(diào)遞增，因此取(0， )時(shí)，即有不成立。 不合題意。綜上，實(shí)數(shù)的最小值為。（）證明：當(dāng)=1時(shí)，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當(dāng)2時(shí)，。在（2）中，取，得，。綜上，?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值。【分析】（）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù)的最小值為，即可求得的值。（）當(dāng)0時(shí)，取，有，故0不合題意。當(dāng)0時(shí)，令，求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，分類討論：當(dāng) 時(shí)，0，在（0，+）上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的），總有。當(dāng)時(shí)，0，對(duì)于(0， )，0，因此在(0， )上單調(diào)遞增。由此可確定的最小值。（）當(dāng)=1時(shí)，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當(dāng)2時(shí)，由，在（）中，取得,從而可得，由此可證結(jié)論。例10. （2012年浙江省理14分）已知，函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)， （i）函數(shù)的最大值為； （ii）；（）若對(duì)恒成立，求的取值范圍【答案】() 證明：()當(dāng)b0時(shí)，0在0x1上恒成立，此時(shí)的最大值為：|2ab|a；當(dāng)b0時(shí)，在0x1上的正負(fù)性不能判斷，此時(shí)的最大值為：|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a。() 設(shè)， ，令。當(dāng)b0時(shí)，0在0x1上恒成立，此時(shí)的最大值為：|2ab|a；當(dāng)b0時(shí)，在0x1上的正負(fù)性不能判斷，|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11對(duì)x0，1恒成立，|2ab|a1。取b為縱軸，a為橫軸則可行域?yàn)椋汉停繕?biāo)函數(shù)為zab。作圖如下：由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為zab過(guò)p(1，2)時(shí)，有所求ab的取值范圍為：。【考點(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃?！窘馕觥?) ()求導(dǎo)后，分b0和b0討論即可。() 利用分析法，要證|2ab|a0，即證|2ab|a，亦即證在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根據(jù)11對(duì)x0，1恒成立，可得|2ab|a1，從而利用線性規(guī)劃知識(shí)，可求ab的取值范圍。例11. （2012年浙江省文15分）已知ar，函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）證明：當(dāng)01時(shí)， + 0.【答案】解：（1）由題意得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2）由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。設(shè)，則。則有0101減極小值增1。當(dāng)時(shí)，總有?！究键c(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，不等式的證明。 【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，分和討論即可。 （2）根據(jù)，分和兩種情形，得到，從而設(shè)出新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，證出，得到恒成立，即。例12. （2012年湖南省理13分）已知函數(shù)，其中0.（）若對(duì)一切r，1恒成立，求的取值集合.（）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線ab的斜率為，問(wèn)：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（）若，則對(duì)一切，這與題設(shè)矛盾，又，故。令。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取最小值。于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)令則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，式成立。綜上所述，的取值集合為。（）存在。由題意知，。令則。令，則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，即。，。又。函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 。綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立, 分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用?！窘馕觥浚ǎ┯脤?dǎo)函數(shù)法求出取最小值，對(duì)一切r，1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出的取值集合。（）在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來(lái)進(jìn)行分析判斷。例13. （2012年湖北省文14分）設(shè)函數(shù)f(x)axn(1x)b(x0)，n為整數(shù)，a，b為常數(shù)曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1.（）求a，b的值；（ii）求函數(shù)f(x)的最大值；（iii）證明：f(x).【答案】解：（）f(1)b，由點(diǎn)(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0。f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a。又切線xy1的斜率為1，a1，即a1。a1，b0。（ii）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1。令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)x0。在上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；在上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上的最大值為fn。（iii）證明：令(t)lnt1(t0)，則(t)(t0)。在(0,1)上，(t)0，(t)單調(diào)遞減；在(1，)上，(t)0，(t)單調(diào)遞增，(t)在(0，)上的最小值為(1)0。 (t)0(t1)，即lnt1(t1)。令t1，得ln，即lnn1lne。n1e，即。由（ii）知，f(x)，所證不等式成立?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程?！窘馕觥浚╥）由題意曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1，故可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切點(diǎn)處的函數(shù)值建立關(guān)于參數(shù)的方程求出兩參數(shù)的值。（ii）由于f(x)xn(1x)xnxn1，可求 f(x)(n1)xn1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值。（iii）結(jié)合（ii），欲證：f(x)由于函數(shù)f(x)的最大值fn，故此不等式證明問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明 ，對(duì)此不等式兩邊求以e為底的對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)，可構(gòu)造函數(shù)(t)lnt1(t0)，借助函數(shù)的最值輔助證明不等式。例14. （2012年遼寧省文12分）設(shè)，證明： ()當(dāng)時(shí)， ()當(dāng)時(shí)，【答案】證明：()設(shè)， 則。 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。 又，。 當(dāng)時(shí)，。() 由均值不等式，當(dāng)0時(shí)，即。 令。則。 令。則當(dāng)時(shí)，。 在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（1，3）內(nèi)，。在（1，3）內(nèi)，。在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（1，3）內(nèi)，。當(dāng)時(shí)，。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性?！窘馕觥浚╥）用差值法構(gòu)造函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，可判斷在時(shí)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而由得到出，進(jìn)而得出結(jié)論。（ii）由均值不等式，可得 。用差值法構(gòu)造函數(shù)，可得。構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)判斷在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而得到出在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論。例15. （2012年重慶市理12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （i）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（5分） （ii）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件.（7分）【答案】證明：（），。 。 ，。 ，。 。是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（ii）當(dāng)=1或=2時(shí)，易知成立。當(dāng)時(shí)，成立。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，上面不等式可化為，設(shè)，當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。當(dāng)時(shí)，令，則。在（0，1）上遞減。在（0，1）上遞增。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。 當(dāng)時(shí)，由已證結(jié)論得：。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。綜上所述，當(dāng)且時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)=1,2或時(shí)等號(hào)成立?！究键c(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列與函數(shù)的綜合，等比數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定?！痉治觥浚╥）根據(jù)，得，兩式相減，即可證得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（ii）當(dāng)=1或=2時(shí)和當(dāng)時(shí)， 成立。當(dāng)時(shí)，分，三種情況分別證明即可。 本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明。四、不等式問(wèn)題中“數(shù)形結(jié)合法”的應(yīng)用：典型例題：例1. （2012年湖南省理5分）已知兩條直線 ：和：，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)a，b ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于c,d .記線段ac和bd在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為 , ,當(dāng)m 變化時(shí)，的最小值為【 】a b. c. d. 【答案】b。【考點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的圖象，基本不等式的應(yīng)用。【解析】如圖，在同一坐標(biāo)系中作出，圖像， 由，得，由，得。根據(jù)題意得。，。故選b。例2. （2012年重慶市理5分）設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為【 】（a） （b） （c） （d）【答案】d。【考點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的圖象，雙曲線和圓的對(duì)稱性?！痉治觥?，或。 又， 滿足上述條件的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的圓內(nèi)部分和。的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，和區(qū)域的面積相等，和區(qū)域的面積相等，即圓內(nèi)部分和的面積之和為單位圓面積的一半，為。故選d。例3. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）當(dāng)時(shí)，則a的取值范圍是【 】 （a）(0，) （b）(，1) （c）(1，) （d）(，2)【答案】b。【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。【解析】設(shè),作圖。 當(dāng)時(shí)，, 在時(shí), 的圖象在的圖象上方。 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，。單調(diào)遞減。 由時(shí)，得，解得。 要使時(shí)，必須。 a的取值范圍是(，1) 。故選b。五、不等式問(wèn)題中“特殊值法”的應(yīng)用：典型例題：例1. （2012年福建省理5分）下列命題中，真命題是【 】ax0，0bx，2xx2cab0的充要條件是1da1，b1是ab1的充分條件【答案】d?！究键c(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應(yīng)用?！窘馕觥繉?duì)于a，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不存在x0，使得0，因此a是假命題。對(duì)于b，當(dāng)x2時(shí)，2xx2，因此b是假命題。對(duì)于c，當(dāng)ab0時(shí)，不存在，因此c是假命題。對(duì)于d，a1，b1時(shí) ab1，所以a1，b1是ab1的充分條件，因此d是真命題。故選d。例2. （2012年四川省文4分）設(shè)為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則。其中的真命題有 。（寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】?！究键c(diǎn)】真命題的判定，特殊值法的應(yīng)用。【解析】對(duì)于，為正實(shí)數(shù)，。 又，。故正確。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，但。故錯(cuò)誤。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，但。故錯(cuò)誤。對(duì)于，不妨設(shè)，由得，。為正實(shí)數(shù)，。故正確。且，。綜上所述，真命題有 。例3. （2012年浙江省理4分）設(shè)，若時(shí)均有，則 【答案】。【考點(diǎn)】特殊元素法，偶次冪的非負(fù)數(shù)性質(zhì)?！窘馕觥繒r(shí)均有，應(yīng)用特殊元素法，取，得。例4. （2012年四川省理14分）已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓海ǎ┯梢阎茫稽c(diǎn)a的坐標(biāo)為，對(duì)求導(dǎo)得。 拋物線在點(diǎn)a處的切線方程為，即。（）由（1）知，則成立的充要條件是。即知，對(duì)于所有的n成立，特別地，取n=2時(shí)，得到。當(dāng)時(shí),。當(dāng)n=0，1，2時(shí)，顯然。當(dāng)時(shí)，對(duì)所有自然數(shù)都成立。滿足條件的的最小值是。（）由（1）知，則，。下面證明：。首先證明：當(dāng)0x1時(shí)，設(shè)函數(shù)，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（0,1）上的最小值min=g。當(dāng)0x1時(shí)，0,即得。由0a1知0ak1()，。從而?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列?！窘馕觥浚ǎ└鶕?jù)拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)a，可得a，進(jìn)一步可求拋物線在點(diǎn)a處的切線方程，從而可得（）由（）知，則 成立的充要條件是，即知，對(duì)所有n成立。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)n=0，1，2時(shí)，由此可得的最小值。（）由（）知，證明當(dāng)0x1時(shí)， 即可證明： 。例5. （2012年四川省文14分）已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由。【答案】解：（）由已知得，交點(diǎn)a的坐標(biāo)為，對(duì)求導(dǎo)得。 拋物線在點(diǎn)a處的切線方程為，即。（）由（1）知，則成立的充要條件是。即知，對(duì)于所有的n成立，特別地，取n=1時(shí)，得到。當(dāng)時(shí),。當(dāng)n=0時(shí)，。當(dāng)時(shí)，對(duì)所有自然數(shù)都成立。滿足條件的的最小值是3。（）由（1）知，下面證明：。首先證明：當(dāng)0x1時(shí)， ，設(shè)函數(shù)，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（0,1）上的最小值min=g。當(dāng)0x1時(shí)，0,即得。由0a1知0ak0時(shí)，不等式才成立，所以b不一定成立；對(duì)于c，命題顯然正確；對(duì)于d，x211，01，所以d不成立.故選c。例5. （2012年陜西省文5分）小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為和（），其全程的平均時(shí)速為，則【 】a. b. = c. d. =【答案】a。【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用。【解析】設(shè)從甲地到乙地的路程為，則。 又，。 。故選a。例6. （2012年福建省理7分）已知函數(shù)f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集為1,1（）求m的值；（）若a，b，cr，且m，求證：a2b3c9.【答案】解：（）因?yàn)閒(x2)m|x|，f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm。又f(x2)0的解集為1,1，故m1。（）由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。所以a2b3c9?！究键c(diǎn)】帶絕對(duì)值的函數(shù)，不等式的證明。【解析】（）由條件可得f(x2)m|x|，f(x2)0，故有|x|m的解集為-1，1，故m=1。（）由（）得1，從而 ，展開后可得，利用基本不等式證明它大于或等于9。例7. （2012年湖北省文5分）設(shè) r，則 “”是“”的【】a.充分條件但不是必要條件b.必要條件但不是充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要的條件【答案】a?！究键c(diǎn)】充分、必要條件的判定，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立），。當(dāng)取,顯然有,但。由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選a。例8. （2012年四川省理4分）記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有 _。（寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】?！究键c(diǎn)】真命題的判定，對(duì)高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質(zhì)，特殊值法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥繉?duì)于，若，根據(jù) 當(dāng)n=1時(shí)，x2=3, 同理x3=。 故正確。對(duì)于，可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=3時(shí)，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2，1，2，1，不成立。故錯(cuò)誤。對(duì)于，由的定義知，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)、，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有。和都是整數(shù)，。又當(dāng)時(shí)，成立。當(dāng)時(shí)，。故正確。對(duì)于，當(dāng)時(shí)， ，即。，即，解得。由，。故正確。綜上所述，真命題有 。例9. （2012年遼寧省理12分）設(shè)，曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切。 ()求的值。 ()證明：當(dāng)時(shí)，?！敬鸢浮拷猓海╥）過(guò)（0，0），=0。=1。曲線與直線在（0，0）點(diǎn)相切，。=0。（ii）證明：由（i）知。由均值不等式，當(dāng)0時(shí)，。令。則。 令。則當(dāng)時(shí)，。 在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（0，2）內(nèi)，。在（0，2）內(nèi)，。在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（0，2）內(nèi)，。當(dāng)時(shí)，。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程?！窘馕觥浚╥）由過(guò)（0，0），可求b的值，根據(jù)曲線與直線在（0，0）點(diǎn)相切，利用導(dǎo)函數(shù)，可求a的值。（ii）由（i）知，由均值不等式，可得 。用差值法構(gòu)造函數(shù)，可得。構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)判斷在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而得到出在（0，2）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論。七、線性規(guī)劃問(wèn)題：典型例題：例1. （2012年四川省理5分）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過(guò)12千克。通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是【 】a、1800元 b、2400元 c、2800元 d、3100元【答案】c?！究键c(diǎn)】線性規(guī)劃的應(yīng)用?！窘馕觥吭O(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，公司共可獲得 利潤(rùn)為z元/天，則由已知，得 z=300x+400y，且畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y可變形為y= 這是隨z變化的一族平行直線，解方程組得，即a（4,4） 。故選c。例2. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）已知正三角形abc的頂點(diǎn)a(1,1)，b(1,3)，頂點(diǎn)c在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在abc內(nèi)部，則z=x+y的取值范圍是【 】（a）(1，2) （b）(0，2) （c）(1，2) （d）(0，1+)【答案】a?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理。【解析】求z=x+y的取值范圍，則求出z=x+y在正三角形abc邊際及內(nèi)的區(qū)域的最大值和最小值即可。 由a(1,1)，b(1,3)，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可求c在第一象限的坐標(biāo)為（1+，2）。作圖，可知約束條件對(duì)應(yīng)正三角形abc內(nèi)的區(qū)域： a(1,1)，b(1,3)，c（1+，2）。 當(dāng)x=1，y=3時(shí)，z=x+y取得最大值2；當(dāng)1+，y=2時(shí)，z=x+y取得最小值1。 z=x+y的取值范圍為(1，2)。故選a。例3. （2012年四川省文5分）若變量滿足約束條件，則的最大值是【 】a、12 b、26 c、28 d、33【答案】 c?！究键c(diǎn)】線性規(guī)劃問(wèn)題?！窘馕觥慨嬁尚杏蛉鐖D所示，目標(biāo)函數(shù)可以變形為， 作函數(shù)的平行線，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（4,4）時(shí)截距最大時(shí)，即z有最大值為=。故選c。例4. （2012年山東省理5分）若滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是【 】a b c d 【答案】a?！究键c(diǎn)】線性規(guī)劃?！窘馕觥咳鐖D，作出可行域，直線，將直線平移至點(diǎn)（2，0）處有最大值：，將直線平移至點(diǎn)處有最小值：。目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是。故選a。例5. （2012年天津市文5分）設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的最小值為【 】（a）5 （b）4 （c）2 （d）3【答案】b。【考點(diǎn)】線性規(guī)劃。【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域如圖，由得。由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，而此時(shí)最小為，故選b。例6. （2012年安徽省文5分）若滿足約束條件：；則的最小值是【 】 【答案】?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃?！窘馕觥壳蟮娜≈捣秶瑒t求出的最大值和最小值即可。作圖，可知約束條件對(duì)應(yīng)邊際及內(nèi)的區(qū)域：。 當(dāng)時(shí)，取得最小值。 的最小值是。故選。例7. （2012年廣東省理5分）已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為【】a12 b11 c3 d【答案】b?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃。【解析】如圖，作出變量x，y約束條件的可行域，解得最優(yōu)解（3,2）當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為。故選b。例8. （2012年廣東省文5分）已知變量滿足約束條件則的最小值為【 】a b c d【答案】c?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃?！窘馕觥咳鐖D，作出變量x，y約束條件的可行域， 解得最優(yōu)解（1,2）當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值為。故選c。例9. （2012年江西省理5分）某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50計(jì)，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為【 】a50，0 b30，20 c20，30 d0，50【答案】b?！究键c(diǎn)】建模的思想方法，線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用?！窘馕觥吭O(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為.線性約束條件為，即。如圖，作出不等式組表示的可行域,易求得點(diǎn)。平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),即時(shí),z取得最大值,且（萬(wàn)元）。故選b。例10. （2012年福建省理5分）若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為【 】a. b.1 c. d2【答案】b。【考點(diǎn)】線性規(guī)劃。【解析】約束條件確定的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分，即abc的邊與其內(nèi)部區(qū)域，分析可得函數(shù)與邊界直線交與點(diǎn)（1，2），若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（x，y）滿足約束條件，即圖象上存在點(diǎn)在陰影部分內(nèi)部，則必有m1，即實(shí)數(shù)m的最大值為1。故選b。例11. （2012年福建省文5分） 若直線上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為【 】a1 b1 c. d2【答案】b。【考點(diǎn)】線性規(guī)劃?！窘馕觥考s束條件確定的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分，即abc的邊與其內(nèi)部區(qū)域，分析可得函數(shù)與邊界直線交與點(diǎn)（1，2），若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（x，y）滿足約束條件，即圖象上存在點(diǎn)在陰影部分內(nèi)部，則必有m1，即實(shí)數(shù)m的最大值為1。故選b。例12. （2012年遼寧省理5分）設(shè)變量x，y滿足則的最大值為【 】(a) 20 (b) 35 (c) 45 (d) 55【答案】d?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題。【解析】如圖，畫出可行域：根據(jù)圖形可知當(dāng)x=5,y=15時(shí)2x+3y最大，最大值為55。故選d。例13. （2012年全國(guó)大綱卷理5分）若滿足約束條件，則的最小值為 。【答案】。【考點(diǎn)】線性規(guī)劃。【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（3，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)最小。例14.（2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為 【答案】。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃?！窘馕觥壳蟮娜≈捣秶?，則求出在約束條件下的最大值和最小值即