【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 專題二高考中的三角函數(shù)的綜合問題強(qiáng)化訓(xùn)練 理 北師大版(1).DOC

專題二高考中的三角函數(shù)的綜合問題1(2013北京)“”是“曲線ysin(2x)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案a解析當(dāng)時(shí)，ysin(2x)sin 2x過原點(diǎn)當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，k，kz，不一定有.“”是“曲線ysin(2x)過原點(diǎn)”的充分不必要條件2已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)ab的最小正周期是()a. bc2 d4答案b解析f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，t.3若函數(shù)f(x)(1tan x)cos x,0x，則f(x)的最大值為()a1 b2 c.1 d.2答案b解析依題意，得f(x)cos xsin x2sin(x)，當(dāng)0x時(shí)，x，f(x)的最大值是2.4已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是()a. b.c. d.答案d解析由題意，得：(2cos ，2sin )，所以點(diǎn)a的軌跡是圓(x2)2(y2)22，如圖，當(dāng)a位于使向量與圓相切時(shí)，向量與向量的夾角分別達(dá)到最大、最小值，故選d.5(2012四川改編)如圖，正方形abcd的邊長為1，延長ba至e，使ae1，連接ec、ed，則sinced_.答案解析方法一應(yīng)用兩角差的正弦公式求解由題意知，在rtade中，aed45，在rtbce中，be2，bc1，ce，則sinceb，cosceb.而ced45ceb，sincedsin(45ceb)(coscebsinceb).方法二利用余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解由題意得ed，ec.在edc中，由余弦定理得cosced，又0ced0)(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)yf(x)的圖像與直線y1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間思維啟迪對三角函數(shù)的性質(zhì)的討論，首先要化成yasin(x)k(一角、一次、一函數(shù))的形式；根據(jù)(2)中條件可確定.解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)可知，yf(x)的周期為，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)所以函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為k，k(kz)思維升華三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，通常先將三角函數(shù)化為yasin(x)k的形式，然后將tx視為一個(gè)整體，結(jié)合ysin t的圖像求解已知函數(shù)f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x，時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x1sin 2x2cos2x2cos 2xsin 2x2cos(2x)(1)函數(shù)f(x)的最小正周期t.(2)因?yàn)閤，所以2x.所以cos(2x)1.所以32cos(2x)2，即3f(x)2.所以函數(shù)f(x)的最小值為3，最大值為2.題型二三角函數(shù)和解三角形例2(2013重慶)在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別是a，b，c，且a2b2abc2.(1)求c；(2)設(shè)cos acos b，求tan 的值思維啟迪(1)利用余弦定理求c；(2)由(1)和cos acos b可求得ab，代入求tan .解(1)因?yàn)閍2b2abc2，由余弦定理有cos c.又0c，故c.(2)由題意得.因此(tan sin acos a)(tan sin bcos b)，tan2sin asin btan (sin acos bcos asin b)cos acos b，tan2sin asin btan sin(ab)cos acos b.因?yàn)閏，所以ab，所以sin(ab)，因?yàn)閏os(ab)cos acos bsin asin b，即sin asin b，解得sin asin b.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.思維升華三角函數(shù)和三角形的結(jié)合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先確定三角形的邊角，再代入到三角函數(shù)中，三角函數(shù)和差公式的靈活運(yùn)用是解決此類問題的關(guān)鍵(2012安徽)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，且有2sin bcos asin acos ccos asin c.(1)求角a的大??；(2)若b2，c1，d為bc的中點(diǎn)，求ad的長解(1)方法一由題設(shè)知，2sin bcos asin(ac)sin b.因?yàn)閟in b0，所以cos a.由于0a，故a.方法二由題設(shè)可知，2bac，于是b2c2a2bc，所以cos a.由于0a，故a.(2)方法一因?yàn)?2(222)(14212cos )，所以|.從而ad.方法二因?yàn)閍2b2c22bccos a412213，所以a2c2b2，b.因?yàn)閎d，ab1，所以ad .題型三三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用例3已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)記f(x)mn，在abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cos bbcos c，求函數(shù)f(a)的取值范圍思維啟迪(1)由向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡求值(2)在abc中，求出a的范圍，再求f(a)的取值范圍解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos bbcos c，由正弦定理得(2sin asin c)cos bsin bcos c，2sin acos bsin ccos bsin bcos c.2sin acos bsin(bc)abc，sin(bc)sin a0.cos b，0b，b.0a.0，|)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x時(shí)，y取最大值1，當(dāng)x時(shí)，y取最小值1.(1)求函數(shù)的解析式y(tǒng)f(x)；(2)函數(shù)ysin x的圖像經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)f(x)的圖像；(3)若函數(shù)f(x)滿足方程f(x)a(0a1)，求在0,2內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和解(1)t2()，3，又sin()1，2k，kz.又|，得，函數(shù)的解析式為f(x)sin(3x)(2)ysin x的圖像向右移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin(x)的圖像，再由ysin(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)sin(3x)的圖像(3)f(x)sin(3x)的最小正周期為，f(x)sin(3x)在0,2內(nèi)恰有3個(gè)周期，sin(3x)a(0a0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因?yàn)閒(x)的最小正周期為，且0.從而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減3(2013四川)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且2cos2cos bsin(ab)sin bcos(ac).(1)求cos a的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的射影解(1)由2cos2cos bsin(ab)sin bcos(ac)，得cos(ab)1cos bsin(ab)sin bcos b，即cos(ab)cos bsin(ab)sin b.則cos(abb)，即cos a.(2)由cos a，0ab，則ab，故b，根據(jù)余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的射影為|cos b.4已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1t.則yt2t12，1t，t時(shí)，ymin，此時(shí)sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x0，0,0)