理論物理 第五章——點(diǎn)和引言2010.ppt

第二篇運(yùn)動學(xué) 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 運(yùn)動方程 點(diǎn)在空間的位置表達(dá)為時間的函數(shù) 速度 點(diǎn)運(yùn)動的快慢 加速度 速度的變化 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 運(yùn)動方程 運(yùn)動方程 變矢量法中 運(yùn)動方程用點(diǎn)在任意瞬時t的位置矢量r t 表示 r t 簡稱為位矢 r r t 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 速度 t瞬時 矢徑r t r t r t t r t 點(diǎn)在t瞬時的速度 t時間間隔內(nèi)矢徑的改變量 t t瞬時 矢徑r t t 或r t r t 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 速度 速度 描述點(diǎn)在t瞬時運(yùn)動快慢和運(yùn)動方向 速度的方向沿著運(yùn)動軌跡的切線 指向與點(diǎn)的運(yùn)動方向一致 速度大小等于矢量的模 速度的單位一般為M S 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 加速度 v t v t t v t 點(diǎn)在t瞬時的加速度 t時間間隔內(nèi)速度的改變量 t t瞬時 速度v t t 或v t v t 加速度 描述點(diǎn)在t瞬時速度大小和方向的變化率 5 1描述點(diǎn)運(yùn)動的變矢量法 加速度 加速度的方向?yàn)?v的極限方向 即沿速度矢端曲線的切向 加速度大小等于矢量a的模 加速度的單位一般為M S2 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 x f1 t y f2 t z f3 t 運(yùn)動方程 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 運(yùn)動方程 點(diǎn)在空間的位置由3個方程確定 x f1 t y f2 t z f3 t 速度 Oxyz 為定參考系 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 速度 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 速度 點(diǎn)的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù) cos vx vcos vy vcos vz v 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 加速度 點(diǎn)的加速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù) cos ax acos ay acos az a 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 例題1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu) 求 P點(diǎn)的運(yùn)動方程 速度 加速度 例題1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu) OA AB AC L BP d 求 P點(diǎn)的運(yùn)動方程 速度 加速度 1 建立固定參考系Oxy 2 將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置 3 根據(jù)已知的約束條件列寫點(diǎn)的運(yùn)動方程 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 1 建立固定參考系Oxy 2 將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置 3 根據(jù)已知的約束條件列寫點(diǎn)的運(yùn)動方程 P點(diǎn)的運(yùn)動方程 從中消去t得到P點(diǎn)的軌跡方程 解 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 例題1 P點(diǎn)的運(yùn)動方程 P點(diǎn)的速度 解 cos vx vcos vy vcos vz v 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 例題1 P點(diǎn)的速度 P點(diǎn)的加速度 解 cos ax acos ay acos az a 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 例題1 幾點(diǎn)討論 1 建立運(yùn)動方程時 一定要將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置 對于直線坐標(biāo) 位于坐標(biāo)軸的正向 對于直角坐標(biāo)系 位于坐標(biāo)系的第一象限 5 2描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 例題1 描述點(diǎn)運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 幾點(diǎn)討論 2 關(guān)于P點(diǎn)運(yùn)動的性質(zhì) 何時作加速運(yùn)動 何時作減速運(yùn)動 a 0 P加速運(yùn)動嗎 a 0 P減速運(yùn)動嗎 請同學(xué)們自己給結(jié)論 例題1 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動方程 密切面與自然軸系 速度 加速度 弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動方程 如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動 則點(diǎn)的運(yùn)動方程 可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述 弧坐標(biāo)具有以下要素 1 有坐標(biāo)原點(diǎn) 一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn) 2 有正 負(fù)方向 一般以點(diǎn)的運(yùn)動方向作為正向 3 有相應(yīng)的坐標(biāo)系 自然軸系 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 密切面 當(dāng)P 點(diǎn)無限接近于P點(diǎn)時 過這兩點(diǎn)的切線所組成的平面 稱為P點(diǎn)的密切面 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 由密切面得到的幾點(diǎn)結(jié)論 空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面 而且是唯一的 空間曲線上的任意點(diǎn)無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長 可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線 曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度 稱為曲線的曲率 用1 表示 曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)的曲率 稱為第二曲率 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 s s 自然軸系 自然軸系P TNB P 空間曲線上的動點(diǎn) T 過動點(diǎn)P的密切面內(nèi)的切線 其正向指向弧坐標(biāo)正向 N 密切面內(nèi)垂直于切線的直線 其正向指向曲率中心 n B 過動點(diǎn)P垂直于切線和主法線的直線 其正向由b n確定 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 自然軸系 自然軸系的基矢量b n 直角坐標(biāo)系的基矢量k i j 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 密切面與自然軸系 自然軸系 自然軸系的特點(diǎn) 自然軸系跟隨動點(diǎn)在軌跡曲線上運(yùn)動 自然軸系能作運(yùn)動參考系嗎 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 速度 5 3描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 速度 弧坐標(biāo)中的速度表示 其中 所以 的方向與P點(diǎn)的切線方向一致 而 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 速度 弧坐標(biāo)中的速度表示 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 速度 弧坐標(biāo)中的速度表示 點(diǎn)的速度只在切線軸上有投影 其等于弧坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù) 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 速度 幾點(diǎn)討論 速度矢量位于密切面內(nèi) 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 根據(jù)加速度的定義以及弧坐標(biāo)中速度的表達(dá)式 弧坐標(biāo)中的加速度表示 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 弧坐標(biāo)中的加速度表示 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 弧坐標(biāo)中的加速度表示 當(dāng) 0時 和 以及 同處于P點(diǎn)的密切面內(nèi) 這時 的極限方向垂直于 亦即n方向 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 弧坐標(biāo)中的加速度表示 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 弧坐標(biāo)中的加速度表示 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 弧坐標(biāo)中的加速度表示 加速度表示為自然軸系投影形式 切向加速度 沿切線方向 法向加速度 沿半徑指向曲率中心 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 幾點(diǎn)討論 切向加速度a 表示速度矢量大小的變化率 直線運(yùn)動 an 0 描述點(diǎn)運(yùn)動的弧坐標(biāo)法 加速度 幾點(diǎn)討論 ab 0 表明加速度a在副法線方向沒有分量 加速度矢量a位于密切面內(nèi) 勻速圓周運(yùn)動 a 0 切向加速度a 表示速度矢量大小的變化率 法向加速度an表示速度矢量方向的變化率 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 已知 滑槽半徑R OA 0 1m 8sin2 t 單位為S rad 求 1 B點(diǎn)的運(yùn)動方程2 t1 1 4s t2 1s時的aB 解 軌跡已知 定O 點(diǎn)為弧坐標(biāo)原點(diǎn) B點(diǎn)的運(yùn)動方程為 S R 2 40sin2 t m 例題2 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 求 1 B點(diǎn)的運(yùn)動方程2 t1 1 4s t2 1s時的aB 解 S R 2 40sin2 t m v 2 20cos2 t m s a 3 10sin2 t m s2 t1 1 4s時 45 an v2 R 4 40cos22 t m s2 v 0 a 3 10 m s2 an 0 例題2 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 求 2 t1 1 4s t2 1s時的aB 解 v 2 20cos2 t m s a 3 10sin2 t m s2 t1 1s時 0 an v2 R 4 40cos22 t m s2 v 2 20 m s an 4 40 m s2 a 0 例題2 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 例題3 已知 一點(diǎn)在xoy平面內(nèi)以不變的加速度a運(yùn)動 a 2m s2 方向與x軸平行 初瞬時點(diǎn)的速度為v0 2m s 方向與y軸夾角 30 求 t 1s時 該點(diǎn)軌跡的曲率半徑 思路 a積分求v 與v和an相關(guān) a與a 求an a 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 例題3 已知 一點(diǎn)在xoy平面內(nèi)以不變的加速度a運(yùn)動 a 2m s2 方向與x軸平行 初瞬時點(diǎn)的速度為v0 2m s 方向與y軸夾角 30 求 t 1s時 該點(diǎn)軌跡的曲率半徑 解 積分求vx vy v 對v微分求a 結(jié)論與討論 第5章點(diǎn)的運(yùn)動 結(jié)論與討論 描述點(diǎn)運(yùn)動的三種方法比較 變矢量法 結(jié)果簡明 具有概括性 一般用于推導(dǎo) 直角坐標(biāo)法 實(shí)際問題中 一種廣泛應(yīng)用的方法 弧坐標(biāo)法 應(yīng)用于運(yùn)動軌跡已知的情形 使速度與加速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開來 物理意義更加清晰 結(jié)論與討論 運(yùn)動量在直角坐標(biāo)中與在自然軸坐標(biāo)中的關(guān)系 v a 結(jié)論與討論 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)應(yīng)用的兩類問題 第一類問題 微分運(yùn)算 已知運(yùn)動規(guī)律 確定速度與加速度 第二類問題 積分運(yùn)算 已知加速度以及運(yùn)動的初始條件 確定速度和運(yùn)動規(guī)律 第一類問題的反運(yùn)算 結(jié)論與討論 速度 加速度的標(biāo)量表示與矢量表示的重要區(qū)別 速度大小 速度方向 結(jié)論與討論 速度 加速度的標(biāo)量表示與矢量表示的重要區(qū)別 速度大小的變化率 速度方向的變化率 結(jié)論與討論 點(diǎn)的勻變速 勻速運(yùn)動公式 勻變速 a 常量 v v0 a t S s0 v0t 1 2 a t2 勻速 v 常量 a 0 S s0 vt 結(jié)論與討論 點(diǎn)以不變的加速度a沿任意曲線運(yùn)動 請判斷點(diǎn)的運(yùn)動性質(zhì) A 點(diǎn)在做勻變速運(yùn)動 C 點(diǎn)運(yùn)動性質(zhì)不可判斷 D 點(diǎn)在做變速運(yùn)動 B 點(diǎn)在做勻速運(yùn)動 結(jié)論與討論 點(diǎn)沿著一螺旋線自外向內(nèi)運(yùn)動 點(diǎn)所走過的弧長與時間的一次方成正比 請判斷點(diǎn)的運(yùn)動性質(zhì) A 越跑越快 C 加速度越來越大 D 加速度越來越小 B