高三數(shù)學(xué) 知識點精要16 概率.doc

2014高三數(shù)學(xué)知識點精要16頻率與概率頻率在一定程度上可以反映事件發(fā)生的可能性的大小，頻率不是一個完全確定的數(shù)，無法從根本上來刻畫事件發(fā)生的可能性的大小，但從大量的重復(fù)實驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率就穩(wěn)定于某一固定值，這個固定值就是事件的概率.提醒：概率的統(tǒng)計定義是由頻率來表示的，但是它又不同于頻率的定義，只使用頻率來估算概率.頻率是實驗值，有不確定性，而概率是穩(wěn)定值.2.互斥事件與對立事件互斥事件：指不可能同時發(fā)生的事件，可以同時不發(fā)生.對立事件：a、b對立，即事件a、b不可能同時發(fā)生，但a、b中必然有一個發(fā)生.提醒：（1）對立是互斥，互斥未必對立.（2）可將所求事件化為互斥事件a、b的和，再利用公式來求，也可通過對立事件公式來求。a、b互斥a、b至少一個發(fā)生a、b都發(fā)生0a、b都不發(fā)生a、b恰有一個發(fā)生a、b至多一個發(fā)生（至少一個不發(fā)生）13.（1）古典概型：特性：每一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的，每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的. 基本步驟：計算一次試驗中基本事件的總數(shù)n 事件a包含的基本事件的個數(shù)m由公式計算.注：必須在解題過程中指出等可能的.如：在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是 。解：記大小相同的5個球分別為紅1，紅2，白1，白2，白3，則基本事件為：（紅1，紅2），（紅1，白1），（紅1，白2）（紅1，白3），（紅2，白3），共10個，其中至少有一個紅球的事件包括7個基本事件，所以，所求事件的概率為.本題還可以利用“對立事件的概率和為1”來求解，對于求“至多”“至少”等事件的概率頭問題，常采用間接法，即求其對立事件的概率，然后利用求解。（2）幾何概型特性：每一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限的，每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的. 基本步驟：（1）構(gòu)設(shè)變量（2）集合表示（3）作出區(qū)域（4）計算求解.如：（1）一條直線型街道的兩端a、b的距離為 180 米，為方便群眾，增加就業(yè)機會，想在中間安排兩個報亭c、d，順序為a、c、d、b.（i）若由甲乙兩人各負責一個，在隨機選擇的情況下，求甲、乙兩人至少一個選擇報亭c的概率.（ii）求a與c、b與d之間的距離都不小于60米的概率.解：（i）兩個報亭由甲、乙隨機選擇一個，屬于古典概型，共有4個基本事件.記表示事件甲、乙兩人至少一個選擇報亭c，則中包含3個基本事件；根據(jù)古典概型概率公式，甲、乙兩人至少一個選擇報亭c的概率.（ii）構(gòu)設(shè)變量. 設(shè)a與c、b與d之間的距離分別為x米、y米. 集合表示. 用(x,y ) 表示每次試驗的結(jié)果，則所有可能結(jié)果為 ； 記a與c、b與d之間的距離都不小于60米為事件m，則事件m的可能結(jié)果為 作出區(qū)域. 如圖所示，試驗全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為直線與兩坐標軸所圍成的abc. 而事件m所構(gòu)成區(qū)域是三條直線 所夾中間的陰影部分.計算求解. 根據(jù)幾何概型公式，得到 . 所以，a與c、b與d之間的距離都不小于60米的概率為 . （2）將數(shù)字1、2、3、4填入編號為1、2、3、4的四個方格中，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的概率是_（答：）；（3）有一個公用電話亭，在觀察使用這個電話的人的流量時，設(shè)在某一時刻，有n個人正在使用電話或等待使用的概率為p（n），且p（n）與時刻t無關(guān)，統(tǒng)計得到 ，那么在某一時刻，這個公用電話亭里一個人也沒有的概率p（0）的值是（答：）理科（3）獨立事件：a、b獨立是a指發(fā)生與否對b的概率沒有影響. 提醒：（1）如果事件a、b獨立，獨立不一定互斥，互斥一定不獨立；（2）如果事件a、b獨立，那么事件a與、與及事件與也都是獨立事件 （3）可將所求事件化為相互獨立事件a、b的積，再利用公式來求.相互獨立a、b至少一個發(fā)生a、b都發(fā)生a、b都不發(fā)生a、b恰有一個發(fā)生a、b至多一個發(fā)生（至少一個不發(fā)生）如（4）設(shè)兩個獨立事件a和b都不發(fā)生的概率為,a發(fā)生b不發(fā)生的概率與b發(fā)生a不發(fā)生的概率相同,則事件a發(fā)生的概率p(a)是_（答：）；（5）某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得0分，假設(shè)這位同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為_;這名同學(xué)至少得300分的概率為_（答：0.228；0.564）；（6）袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是_（答：）；（7）一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關(guān)，那么，連過前二關(guān)的概率是_（答：）；（8）有甲、乙兩口袋，甲袋中有六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片。設(shè)取出的三張卡片的數(shù)字乘積的可能值為且，其相應(yīng)的概率記為，則的值為_（答：）；（9）平面上有兩個質(zhì)點a、b分別位于（0，0）、（2，2）點，在某一時刻同時開始每隔1秒鐘向上下左右四個方向中的任何一個方向移動1個單位，已知質(zhì)點a向左、右移動的概率都是，向上、下移動的概率分別是和p，質(zhì)點b向四個方向中的任何一個方向移動的概率都是q。求p和q的值；試判斷最少需要幾秒鐘，a、b能同時到達d（1，2）點？并求出在最短時間內(nèi)同時到達的概率. （答：；3秒；）（4）獨立事件重復(fù)試驗（二項分布）與超幾何分布二項分布：事件a在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復(fù)試驗中事件a發(fā)生的概率。超幾何分布：在產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，抽檢件時所得次品數(shù)x=m.則.此時我們稱隨機變量x服從超幾何分布提醒：兩種分布的抽樣條件不同： 超幾何分布是有限樣本不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是m,n,n；二項分布適用于n次獨立試驗，即有放回抽樣 （10）在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？解：由題意可見此問題歸結(jié)為超幾何分布模型由上述公式得 （11）一批零件共100件，其中有5件次品.現(xiàn)在從中任取10件進行檢查，求取道次品件數(shù)的分布列.解：由題意x012345p0583750.339390.070220.006380.000250.00001（12）小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是_（答：）；（13）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時乙種飲料還剩下3瓶的概率為_（答：）（5）條件概率在事件a已經(jīng)發(fā)生的條件下，b事件發(fā)生的概率，稱b為事件a在給定下的條件概率，簡稱為對的條件概率，記作，且 .（14）市場上供應(yīng)的燈炮中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。解：依題意 進一步可得： （15）10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解 設(shè)事件、分別表示甲、乙、丙各抽到難簽。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì)。在求解過程中常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)事件a=“”， b=“”；列式計算；作答。3.分布列、期望、方差（1）任意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：pi0,i=1,2,; p1+p2+=1（這是檢查及簡化運算的途徑之一）;（2）數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度（3）離散型隨機變量分布列的解法步驟：弄清隨機變量是什么？隨機變量的取值有哪些？弄清隨機變量的取值的意義是什么？其概率是多少？列出分布列利用公式求出期望、方差3.記住以下重要公式和結(jié)論：（1）期望值e x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差d ;（3）標準差；（4）若b（n,p）,則enp, dnpq,這里q=1- p;（16）甲、乙兩人同時各射擊一槍，擊落一敵機，上級決定獎勵a萬元，按誰擊落獎金歸誰，若同時擊落各一半原則分配獎金，甲、乙各得多少較合理。（已知甲的命中率為，乙的命中率為）解：敵機被擊落有以下三種可能：（1）甲單獨擊落；（2）乙單獨擊落；（3）甲、乙共同擊落.甲單獨擊落的概率為乙單獨擊落的概率為甲、乙共同擊落的概率為因此甲得到獎金數(shù)應(yīng)為乙得到獎金數(shù)應(yīng)為所以甲、乙二人獎金數(shù)之比為9：10時較合理。(17)袋子a和b中裝有若干個均勻的紅球和白球，從a中摸出一個紅球的概率是，從b中摸出一個紅球的概率為p () 從a中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布率及數(shù)學(xué)期望e () 若a、b兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將a、b中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值解 ()（i）(ii)隨機變量的取值為0，1，2，3，；由n次獨立重復(fù)試驗概率公式，得； （或）隨機變量的分布列是0123p的數(shù)學(xué)期望是 ()設(shè)袋子a中有m個球，則袋子b中有2m個球由，得(18)一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣