高中數(shù)學 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 第2課時 簡單的線性規(guī)劃問題課件 新人教A版必修5.ppt

3 3 2簡單的線性規(guī)劃問題 線性規(guī)劃中的基本概念 練一練若變量x y滿足約束條件則z 2x y的最大值和最小值分別為 a 4和3b 4和2c 3和2d 2和0 解析 畫出可行域如圖陰影部分所示 畫出直線2x y 0 并在可行域內(nèi)移動 當直線經(jīng)過點 1 0 時 z取最小值 當直線經(jīng)過點 2 0 時 z取最大值 故zmax 2 2 0 4 zmin 2 1 0 2 答案 b 名師點撥線性目標函數(shù)z ax by c a b不全為0 中 當b 0時 這樣線性目標函數(shù)可看成斜率為 在y軸上的截距為且隨z變化的一組平行線 則把求z的最大值和最小值的問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點時 直線在y軸上的截距的最大值和最小值的問題 因此 只需先作出直線y x 再平行移動這條直線 最先通過或最后通過的可行域的頂點就是最優(yōu)解 應(yīng)特別注意 當b 0時 z的值隨著直線在y軸上的截距的增大而增大 當b 0時 z的值隨著直線在y軸上的截距的增大而減小 通常情況下 可以利用可行域邊界直線的斜率來判斷 最優(yōu)解一般在可行域的頂點處取得 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一求線性目標函數(shù)的最值求線性目標函數(shù)最值問題的步驟 1 作圖 畫出約束條件 不等式組 所表示的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l 2 平移 將直線l平行移動 以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置 3 求值 解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解 再代入目標函數(shù) 求出目標函數(shù)的最值 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題1已知關(guān)于x y的二元一次不等式組 1 求函數(shù)u 3x y的最大值和最小值 2 求函數(shù)z x 2y的最大值和最小值 思路分析 先作出線性約束條件下的可行域以及目標直線 根據(jù)目標直線確定最優(yōu)解 并求出最值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 如圖 由u 3x y 得y 3x u 得到斜率為3 在y軸上的截距為 u 隨u變化的一組平行線 由圖可知 當直線經(jīng)過可行域上的點c時 截距 u最大 即u最小 解方程組得c 2 3 umin 3 2 3 9 當直線經(jīng)過可行域上的點b時 截距 u最小 即u最大 解方程組得b 2 1 umax 3 2 1 5 u 3x y的最大值是5 最小值是 9 探究一 探究二 探究三 探究四 2 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 如圖 由z x 2y 得 得到斜率為 在y軸上的截距為z 隨z變化的一組平行線 由圖可知 當直線經(jīng)過可行域上的點a時 截距z最小 即z最小 解方程組得a 2 3 zmin 2 2 3 8 當直線與直線x 2y 4重合時 截距z最大 即z最大 zmax x 2y 4 z x 2y的最大值是4 最小值是 8 探究一 探究二 探究三 探究四 方法總結(jié)在求目標函數(shù)z ax by c的最值時 先作出直線l ax by 0 再平移直線l 當b 0時 直線l經(jīng)過可行域內(nèi)的點 并且在y軸上截距最大時 z取最大值 在y軸上截距最小時 z取最小值 當b 0時 正好相反 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練1 設(shè)x y滿足約束條件則z 2x 3y的最小值是 a 7b 6c 5d 3解析 由約束條件得可行域 如圖 當直線2x 3y z 0過點a 3 4 時 zmin 2 3 3 4 6 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二非線性目標函數(shù)的最值問題非線性目標函數(shù)的最值問題 要充分理解非線性目標函數(shù)的幾何意義 諸如兩點間的距離 或平方 點到直線的距離 過已知兩點的直線斜率等 常見代數(shù)式的幾何意義主要有 1 表示點 x y 與點 a b 的距離 表示點 x y 與原點 0 0 的距離 2 表示點 x y 與點 a b 連線的斜率 表示點 x y 與原點 0 0 連線的斜率 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化 往往是解決問題的關(guān)鍵 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題2 1 z x2 y2 10y 25的最小值 思路分析 首先求出可行域 解答本題可先將目標函數(shù)變形找到它的幾何意義 再利用解析幾何知識求解 1 z x2 y2 10y 25表示距離的平方問題 2 表示可行域內(nèi)的動點與連線的斜率問題 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 z x2 y 5 2表示可行域內(nèi)任一點 x y 到定點m 0 5 的距離的平方 過點m作直線ac的垂線 易知垂足n在線段ac上 故z的最小值是 mn 2 2 表示可行域內(nèi)任一點 x y 與定點q連線的斜率的兩倍 a 1 3 b 3 1 故z的范圍為 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 解 畫出滿足條件的可行域如圖 1 x2 y2 u表示一組同心圓 圓心為原點o 且對同一圓上的點 x2 y2的值都相等 由圖可知 當 x y 在可行域內(nèi)取值時 當且僅當圓o過點c時 u最大 過點 0 0 時 u最小 點c坐標為 3 8 所以umax 73 umin 0 2 表示可行域內(nèi)的點p x y 到定點d 5 0 的斜率 由圖可知 kbd最大 kcd最小 因為c 3 8 b 3 3 所以 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三已知目標函數(shù)的最值求參數(shù)已知目標函數(shù)的最值求參數(shù) 這是線性規(guī)劃的逆向思維問題 解答此類問題必須要明確線性目標函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界取得 運用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解 同時 要注意邊界直線斜率與目標函數(shù)斜率的關(guān)系 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題3設(shè)m 1 在約束條件下 目標函數(shù)z x my的最大值小于2 則m的取值范圍為 a 1 1 b 1 c 1 3 d 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練3 設(shè)z kx y 其中實數(shù)x y滿足若z的最大值為12 則實數(shù)k 解析 畫出可行域如圖 其中a 2 3 b 2 0 c 4 4 當k 0時 顯然不符合題意 當k 0時 最大值在點c處取得 此時12 4k 4 解得k 2 當k0 舍去 或k 2 0 舍去 故k 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四線性規(guī)劃中的實際應(yīng)用解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 1 審題 仔細閱讀 準確理解題意 明確有哪些限制條件 起關(guān)鍵作用的變量有哪些 由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多 為了理順題目中量與量之間的關(guān)系 有時可借助表格來處理 2 轉(zhuǎn)化 設(shè)出未知量 由條件寫出約束條件和目標函數(shù) 從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的線性規(guī)劃問題 3 求解 解這個數(shù)學問題 其求解過程是 作圖 平移 求最優(yōu)解及最值 4 作答 就應(yīng)用題提出的問題作出回答 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題4某工廠有甲 乙兩種產(chǎn)品 計劃每天各產(chǎn)品生產(chǎn)量不少于15t 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1t需煤9t 電力4kw h 勞力3個 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1t需煤5t 電力5kw h 勞力10個 甲產(chǎn)品每1t利潤7萬元 乙產(chǎn)品每1t利潤12萬元 但每天用煤不超過300t 電力不超過200kw h 勞力只有300個 問每天各生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品多少時 能使利潤總額達到最大 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 將已知數(shù)據(jù)列成表 如下表所示 設(shè)出未知量 根據(jù)資源限額建立約束條件 由利潤關(guān)系建立目標函數(shù) 探究一 探究二 探究三 探究四 解 設(shè)每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為xt yt 利潤總額為z萬元 那么作出以上不等式組的可行域 如圖中的陰影部分所示 探究一 探究二 探究三 探究四 12345 1 已知點p x y 在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)運動 則z x y的取值范圍是 a 2 1 b 2 1 c 1 2 d 1 2 解析 畫出滿足約束條件的可行域 如圖 陰影部分 z x y y x z 由圖知截距 z的取值范圍為 2 1 z的取值范圍為 1 2 答案 c 12345 2 若實數(shù)x y滿足的取值范圍是 a 0 1 b 0 1 c 1 d 1 解析 實數(shù)x y滿足的相關(guān)區(qū)域如圖中的陰影部分所示 表示陰影部分內(nèi)的任意一點與坐標原點 0 0 連線的斜率 由圖可知 取值范圍為 1 答案 c 3 設(shè)變量x y滿足約束條件 則z x 3y的最小值為 解析 作出可行域如圖陰影部分所示 可知當x 3y z經(jīng)過點a 2 2 時 z有最小值 此時z的最小值為 2 3 2 8 答案 8 12345 12345 4 給出平面區(qū)域如圖陰影部分所示 若使目標函數(shù)z ax y a 0 取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個 則a的值為 解析 將z ax y變形 得y ax z 當它與直線ac重合時 使z取得最大值的點有無窮多個 答案 12345 5 某公司有60萬元資金 計劃投資甲 乙兩個項目 按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍 且對每個項目的投資不能低