3.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

3.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 1. (1)審題 仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意 . (2)建模 將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征 . (3)求解 求出該問題的數(shù)學(xué)解 . (4)還原 將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中 . 2. (1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差 . (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比 . （ 3）分期付款模型：設(shè)貸款總額為 a，年利率為 r,等額還款數(shù)為 b,分 n期還完，則 (1 ).(1 ) 1nnrrbar基礎(chǔ)自測 1.農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成 .2003年該 地區(qū)農(nóng)民人均收入為 3 150元（其中工資性收入為 1 800元，其他收入為 1 350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自 2004年起的 5年內(nèi)（包括 2004年），農(nóng)民的工資性收入將以每年 6 % 的年增長率增長，其他收入每年增加 160元 .根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （ ）A.4 200元 4 400元 B.4 400元 4 600 C.4 600元 4 800元 D.4 800元 5 000 解析 到 2008年農(nóng)民的工資性收入變?yōu)?1 800（ 1+6%） 5 2 409 其他收入變?yōu)?1 350+5 160=2 150 故 2008年收入為 4 559元 . B 2. （ 2009 廣西河池模擬）設(shè) f(n)=2+24+27+2 3n+1 (n N*)，則 f(n)等于 （ A. B. C. D. 解析 本題考查等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式等知識(shí) .由題意發(fā) 現(xiàn)， f(n)是一個(gè)以 2為首項(xiàng)，公比 q=23=8,項(xiàng)數(shù)為 n+1的等比 數(shù)列的和 .由公式可得 B 2 (8 1)7n 12 (8 1 )7n 22 (8 1)7n 32(8 1 )7 n 11111 2 (1 8 ) 2( ) ( 8 1 ) .1 1 8 7nnnnqf n Sq 3. 若互不相等的實(shí)數(shù) a,b,c成等差數(shù)列， c,a,b成等比數(shù)列， 且 a+3b+c=10，則 a的值為 （ A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析 由互不相等的實(shí)數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，可設(shè) a=b- d,c=b+d,由 a+3b+c=10,可得 b=2,所以 a=2-d,c=2+d,又 c,a,b 成等比數(shù)列可得 (2-d)2=2(2+d),解得 d=6或 d=0（舍去）， 所以 a=-4. D 4. 設(shè)等比數(shù)列 an的公比為 q,前 n項(xiàng)和為 Sn，若 Sn+1,Sn,Sn+2成 等差數(shù)列，則公比 （ A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或 q=1 D.q=2或 q=-1 解析 由題意可得 2Sn=Sn+1+Sn+2，當(dāng) q1 解之得 q=-2或 q=1,當(dāng) q=1時(shí)不成立 . A 121 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2,1 1 1n n na q a q a qq q q 即 2=q+q2 5. (2009 新鄭模擬 ）某種細(xì)胞開始有 2個(gè)， 1小時(shí)后分裂成 4 個(gè)并死去 1個(gè)， 2小時(shí)后分裂成 6個(gè)并死去 1個(gè)， 3小時(shí)后分裂 成 10個(gè)并死去 1個(gè)， ，按此規(guī)律， 6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè) 數(shù)是 （ A.63 B.65 C.67 D.71 解析 方法一 設(shè) n小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為 an, 則 a1=2 2-1=3,a2=2 3-1=5, a3=2 5-1=9,a4=2 9-1=17, a5=2 17-1=33,a6=2 33-1=65. 方法二 設(shè) n小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為 an 則 a1=3,an=2an-1-1 (n2), an-1=2(an-1-1). an-1是公比為 2的等比數(shù)列， a1-1=2. an-1=2 2n-1=2n， an=2n+1 a6=26+1=65. B 數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和記為 Sn， a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1) 求 an （ 2）等差數(shù)列 bn的各項(xiàng)為正，其前 n項(xiàng)和為 Tn，且 T3=15，又 a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求 Tn. 【 思維啟迪 】 （ 1）運(yùn)用公式 （ 2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系 . 解 （ 1）由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn-1+1 (n2), 題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 ,11nnn SSSan=1, n2. 求 an. 兩式相減得 an+1-an=2an,an+1=3an (n2). 又 a2=2S1+1=3, a2=3a1. 故 an是首項(xiàng)為 1，公比為 3的等比數(shù)列， an=3n-1. （ 2）設(shè) bn的公差為 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可設(shè) b1=5-d,b3=5+d, 又 a1=1,a2=3,a3=9, 由題意可得 (5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2 解得 d1=2,d2=-10. 等差數(shù)列 bn的各項(xiàng)為正， d0, d=2,b1=3, 探究拓展 本題重在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求前 n項(xiàng)和的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能 . .222 )1(3 2 nnnnnT n （ 12分）已知 f(x)=logax(a0且 a1) ，設(shè) f(a1),f(a2), f(an) (n N*)是首項(xiàng)為 4，公差為 2的等差數(shù)列 . (1)設(shè) a為常數(shù)，求證： an （ 2）若 bn=anf(an),bn的前 n項(xiàng)和是 Sn,當(dāng) 時(shí) ,求 Sn.思維啟迪 】 利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出 an的表達(dá)式，再 利用表達(dá)式解決其他問題 . （ 1） 證明 f(an)=4+(n-1) 2=2n+2, 即 logaan=2n+2, 2 可得 an=a2n+2. 為定值 . 所以 an 為等比數(shù)列 . 題型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合 2a2 2 2 222 ( 1 ) 2 21( 2 )nnnna aa ana a a (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 當(dāng) 時(shí)， bn=(2n+2) =(n+1)2n+2. 7 Sn=223+324+425+ +(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+ +n2n+2+(n+1)2n+3 - -Sn=223+24+25+ +2n+2-(n+1)2n+3 =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3. 12 2a 22)2( n3142)1(21 )21(216 nnn探究拓展 數(shù)列與函數(shù)和綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡變形 . 假設(shè)某市 2008年新建住房 400萬平方米，其中有 250 萬平方米是中低價(jià)房 ,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi) ,該市每年新 建住房面積平均比上一年增長 8%.另外每年新建住房中 ,中 低價(jià)房的面積均比上一年增加 50萬平方米 .那么 ,到哪一年 （ 1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以 2008年為累計(jì)的第一年）將首次不少于 4 750 （ 2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比 例首次大于 85%？ (參考數(shù)據(jù)： 1.0841.36,1.08 51.47, 1.0861.59) 題型三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 【 思維啟迪 】 （ 1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題： (2)an0.85bn,bn=400 1.08n-1. 解 （ 1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為 an 由題意可知 an 其中 a1=250,d=50, 則 an=250+(n-1) 50=50n+200 令 25n2+225n4 750, 即 n2+9n-1900, 而 n是正整數(shù)， n10. 到 2017年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于 4 750萬平方米 . .750422525502 )1(250 2 nnnnnS n2( 1 )2 5 0 5 0 2 5 0 2 2 5 ,2nnnS n n n （ 2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 bn，由題意可知 bn是等比數(shù)列，其中 b1=400,q=1.08,則 bn=400(1.08)n-1. 由題意可知 an0.85bn, 即 50n+200400(1.08)n-10.85. 當(dāng) n=5時(shí)， a50.85b6, 滿足上述不等式的最小正整數(shù) n為 6. 到 2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于 85% . 探究拓展 解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn) . 方法與技巧 1.深刻理解等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是 解題的關(guān)鍵 .兩類數(shù)列性質(zhì)既有類似的部分，又有區(qū)別，要 在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶 .同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降底解題的運(yùn)算 量，從而減小差錯(cuò) . 2.等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式要分兩種情況 :公比等于 1和公比不 等于 1.最容易忽視公比等于 1的情況，要注意這方面的練習(xí) . 3.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程（組） 求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程組的方 法的不同之處 . 4.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等 知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度 .解決 此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有 所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思 想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討 論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等 . 5.在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、 存貸款利息的計(jì)算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來 解決，因此要會(huì)在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解 決實(shí)際問題 . 失誤與防范 1.數(shù)列的應(yīng)用還包括實(shí)際問題 ,要學(xué)會(huì)建模 ,對(duì)應(yīng)哪一類數(shù)列 , 進(jìn)而求解 . 2.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法 . 1.已知數(shù)列 an、 bn滿足： a1=2,b1=1,且 (1)令 cn=an+bn，求數(shù)列 cn （ 2）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式 Sn. 解 （ 1）當(dāng) n2 時(shí)， cn=cn-1+2，即 cn-cn-1=2 (n2) 數(shù)列 cn為等差數(shù)列，首項(xiàng) c1=a1+b1=3,公差 d=2. cn=3+（ n-1） 2=2n+1 1111311,44131.44n n nn n na a bb a b )141()14143( 1111 nnnnnnn bababac,211 nn ba 1111311,44 ( 2 ) .13144n n nn n na a bnb a b （ 2）當(dāng) n 時(shí)， - 數(shù)列 an-bn為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 a1-b1=1 由（ 1）知： an+bn=2n+1, + 得 ),2)(21 11 nbaba nnnn,21q.)21( 1 nnn ba1)21()12(2 nn nann na 21)21( )212121()21()212()211( 2 nn nS 211)211(2122)1(nnnn.21122nnn - 數(shù)列 an-bn為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 a1-b1=1 由（ 1）知： an+bn=2n+1, + 得 ),2)(21 11 nbaba nnnn,21q.)21( 1 nnn ba1)21()12(2 nn nann na 21)21( )212121()21()212()211( 2 nn nS 211)211(2122)1(nnnn.21122nnn 2.已知數(shù)列 an滿足 a1=2,且點(diǎn) (an,an+1)在函數(shù) f(x)=x2+2x 的圖象上，其中 n=1,2,3,. （ 1）證明：數(shù)列 lg(1+an) （ 2）設(shè) Tn=（ 1+a1）（ 1+a2） （ 1+an），求 Tn及數(shù)列 an 的通項(xiàng) . （ 1） 證明 由于 (an,an+1)在函數(shù) f(x) an+1+1=（ an+1） 2. a1=2， an+11, lg （ an+1+1） =2lg（ an+1） . 數(shù)列 lg(an+1)是公比為 2的等比數(shù)列 . ,221 nnn aaa （ 2） 解 由（ 1）知 lg(an+1)=2n-1lg(1+a1) Tn=(1+a1)(1+a2) (1+an) .3lg3lg2 121 nn.31 12 nna0 1 2 13 2 2 23 3 3 3 n 211 2 2 2 2 13 3 .nn .13,3 1212 nn aT n3.某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度 .公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老 儲(chǔ)備金，數(shù)目為 a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增 加 d(d0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a1,a2, 是 一個(gè)公差為 d的等差數(shù)列 .與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息 政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利 .這就是說，如果 固定年利率為 r(r0)，那么，在第 n年末，第一年所交納的 儲(chǔ)備金就變?yōu)?a1(1+r)n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a2(1+r)n-2,. 以 Tn表示到第 n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額 . (1)寫出 Tn與 Tn-1 (n2) （ 2）求證： Tn=An+Bn,其中 An是一個(gè)等比數(shù)列， Bn是一個(gè)等差數(shù)列 . (1)解 我們有 Tn=Tn-1(1+r)+an(n2). （ 2） 證明 T1=a1,對(duì) n2 Tn=Tn-1(1+r)+an =Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an = =a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+ +an-1(1+r)+an. 在式兩端同乘 1+r (1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（ 1+r） n-1+ +an-1(1+r)2+ an(1+r). - ,得 rTn=a1(1+r)n+d (1+r)n-1+(1+r)n-2+ +(1+r) -an 即 如果記 則 Tn=An+Bn, 其中 An是以 為首項(xiàng)，以 1+r（ r0）為公比的等比數(shù)列； Bn是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列 . 1( 1 ) 1 ( 1 ) ,nnnd r r a r ar .)1( 2121rdranrdrrdraT nn,)1( 2121 nrdr draBrr draA nnn )1(21 rrdra 12a r d drrrd 1.B 2.B 3.C 4.D 5.已知等比數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù) ,數(shù)列 bn滿足 bn=lnan，b3=18,b6=12,則數(shù)列 bn前 n項(xiàng)和的最大值等于 （ ） A.126 B.130 C.132 D.134 解析 an是各項(xiàng)不為 0的正項(xiàng)等比數(shù)列 , bn=lnan是等差數(shù)列 . 又 b3=18,b6=12, b1=22,d=-2, ( Sn)max=-112+23 11=132. ,23)2(2 )1(22 2 nnnnnS n C 6.(2008 衡水調(diào)研 ）設(shè) y=f(x）是一次函數(shù) ,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列 ,則 f(2)+f(4)+ f(2n)等于（ ）A.n(n+4) B.n(2n+3) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析 f(x)是一次函數(shù)，且 f(0)=1, 設(shè) f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. f(1),f(4),f(13) （ 4k+1） 2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. k0, k=2,即 f(x)=2x+1. f（ 2）， f（ 4）， f（ 6）， ， f（ 2n）構(gòu)成以 5為首 項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列 . ).32(2 )145()2()4()2( nnnnnfffB 7.11 985 8.4 901 9.設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng) a1及公差 d都為整數(shù) ,前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）若 a11=0,S14=98,求數(shù)列 an （ 2）若 a16, a110,S1477, 求所有可能的數(shù)列 an的通 項(xiàng)公式 . 解 （ 1）由 S14=98，得 2a1+13d=14,又 a11=a1+10d=0. 解得 a1=20,d=-2,因此 an an=22-2n,（ n=1,2,3, ） （ 2） 由 得 即 解得 又 d Z,故 d=-1. 10 a112, a1 Z，故 a1=11或 a1=12. 所以，所有可能的數(shù)列 an an=12-n和 an=13-n,（ n=1,2,3 ） . 14111770,6Saa 601011132111adada122020211132111adada,131711 d10.（ 1） （ 2） 證明 由 知對(duì)任意正整數(shù) n,an都不是 的整數(shù)倍 . 所以 sinan0, 從而 bn=sinansinan+1sinan+20. 于是 6 12