巖土工程師數(shù)學(xué)考試重點(diǎn)內(nèi)容講解.doc

第一講 向量代數(shù)與空間解析幾何一、內(nèi)容提要：本章主要是講解與向量代數(shù)、曲面、平面、空間曲線、 直線有關(guān)的一些計(jì)算。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是向量積、數(shù)量積的計(jì)算，兩平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離，空間直線的一般方程以及兩直線的交角。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是曲面方程和空間曲線方程。三、內(nèi)容講解：1、向量代數(shù)：2.曲面因此，所給級數(shù)是絕對收斂的。第八講 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 一、內(nèi)容提要：本講主要是講解隨機(jī)事件與概率，古典概率，一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，方差分析，回歸分析。二、本講的重點(diǎn)是：隨機(jī)事件的關(guān)系，二項(xiàng)概率公式，條件概率，分布函數(shù)的性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)，正態(tài)分布，常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征 。本講的難點(diǎn)是：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，方差分析，回歸分析。 三、內(nèi)容講解：1、 隨機(jī)事件與概率：（1)隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算： 包含：若事件A發(fā)生，一定導(dǎo)致事件B發(fā)生，那么稱事件B包含事件A，記作A B;相等：若兩事件A與B相互相互包含，即A B且B A，那么稱事件A與B相等，記作A=B和事件：稱“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”的事件為A與B的和事件，記為AB積事件：稱“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”的事件為A與B的積事件，記為AB簡記為AB互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相容，記作AB= 差事件：稱“事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生”的事件為A與B的差，記作A-B對立事件：若事件A與B滿足AB=( 為必然事件)，同時(shí)AB= ，稱A與B是對立的，記B= 交換律：對任意兩事件A和B有AB=BA，AB=BA，結(jié)合律：對任意事件A、B、C有A（BC）= （AB）C，A（BC）=（AB）C分配律：對任意事件A、B、C有A（BC）=（AB）（AC），A（BC）=（AB）（AC）(2)概率的公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為 ，隨機(jī)事件A為 的子集，P（A）為實(shí)值函數(shù)，若滿足下列三條公理：公理1、對于 任一隨機(jī)事件A，有0P（A）1，公理2、P（ ）=1，P（ ）=0公理3、對于 一系列互不相容的事件A1，A2，An有P（A1+ A2+）=P（A1）+P（A2）+則稱函數(shù)P（A）為隨機(jī)事件的概率。 概率的性質(zhì)：（i） P（ ）=1-P（A）（ii）(ii)當(dāng)A B時(shí)，有P（B-A）=P（B）-P（A）（iii）當(dāng)A1，A2，An互不相容時(shí)，有P（A1+ A2+）=P（A1）+P（A2）+P（An）（iv）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）(2)條件概率與相互獨(dú)立性：條件概率：如果A、B是隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，且P（B）0，則稱事件B發(fā)生的條件下事件A的概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記作P（A|B）條件概率可以通過下列公式計(jì)算：（ P（B）0） 乘法定理：兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積：P（AB）=P（A）P（B|A）（ P（A）0）P（AB）=P（B）P（A|B）（ P（B）0）全概率公式：設(shè)事件A1，A2，An兩兩相斥，且事件B為事件A1+A2+An的子事件，A1+A2+An= ，且P（Ai）0，則對任一事件B有P（B）=P（A1）P（B| A1）+ P（A2）P（B| A2）+ P（An）P（B| An）這個(gè)公式稱為全概率公式， 貝葉斯公式事件的相互獨(dú)立性： 若P（AB）=P（A）P（B），則稱A、B相互獨(dú)立。當(dāng)P（A）、P（B）都不為零時(shí)，從事件A、B相互獨(dú)立能推得（B|A）=P（B）或P（A|B）=P（A） 定理：若四對事件A、B；A、 ； 、B； 、 中有一對相互獨(dú)立，則另外三對也是相互獨(dú)立的。 （4） 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、二項(xiàng)概率公式：重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)：做幾個(gè)試驗(yàn)，它們是完全同樣一個(gè)試驗(yàn)的重復(fù)，且它們是相互獨(dú)立的，即相應(yīng)于每一次試驗(yàn)的隨機(jī)事件的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，稱這類試驗(yàn)是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。二項(xiàng)概率公式：設(shè)每個(gè)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p，則n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率(k=0,1,2,n)此公式稱為二項(xiàng)概率公式。例1、 某人投籃，每次命中率為0.7，至少命中4次的概率是多少？解：利用二項(xiàng)公式得：因?yàn)橛小爸辽佟倍?，所以k可為4或5所以至少命中4次的概率為：0.36+0.17=0.53例1、有三批同一規(guī)格的產(chǎn)品存放在一起，各批產(chǎn)品分別占存時(shí)的40%、35%、25%，而次品率分別為2%、1%、3%，若從這堆存品中隨機(jī)地抽取一個(gè)產(chǎn)品，則它是次品的概率為多少。解：利用全概率公式得：P（B）=P（A1）P（B|A1）+ P（A2）P（B|A2）+ P（A3）P（B|A3）=0.40.02+0.350.01+0.250.03=0.019例2、兩個(gè)小組生產(chǎn)同樣的零件，第一組的廢品率為2%，第二組產(chǎn)品為第一組的2倍，而廢品率為3%，若兩組生產(chǎn)的零件放在一起，從中任選一件，經(jīng)檢查是廢品，則這件廢品是第一組生產(chǎn)的概率為多少。解：由全概率公式可得：2、古典概型： 具備下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：（1）可能的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的，記為n個(gè)；（2）兩兩互斥的諸基本事件出現(xiàn)的可能性相等。這時(shí)，稱所討論的問題是古典概型。對于滿足古典概型下的隨機(jī)事件A的概率可用下式計(jì)算：p(A)=m/n,其中m為隨機(jī)事件A所所包含的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)。例4、從一批由90件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中，任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。解：3、一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征：一維隨機(jī)變量的概念：一個(gè)變量依試驗(yàn)結(jié)果的改變而取不同的實(shí)數(shù)值，而試驗(yàn)的結(jié)果具有隨機(jī)性，因此這個(gè)變量的取值也具有隨機(jī)性，稱這個(gè)變量為一維隨機(jī)變量，記為X。 3.1隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義：隨機(jī)變量X取值不大于實(shí)數(shù)x的概率p（Xx）叫做隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作F(x)=p（Xx）性質(zhì)：分布函數(shù)具有以下的性質(zhì)：（1）3.2離散型隨機(jī)變量及其分布：有一類隨機(jī)變量，它所有可能取的值是有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)數(shù)值，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，它的分布稱為離散型分布。其分布可用下列表格給出：Xx1x2xi概率p1p2pi3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布： 3.5隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量的方差：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義：隨機(jī)變量的方差定義：D（X）=E(X-E(X)2隨機(jī)變量的期望、方差的性質(zhì)：（1）E（k）=k,D(k)=0，其中k為常數(shù)； （2）E(kX)=k(X), D(kX)=k2D(X), 其中k為常數(shù)(3)E(X+k)= E（X）+k, D(X+k)= D(X) 其中k為常（4）當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，E（）=E（）E（），D（）=D()+D（）3.6常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征：例5、列函數(shù)中哪個(gè)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)（ C ）例6、設(shè)函數(shù)F1（x）與F2（x）分別是隨機(jī)變量x1與x2的分布函數(shù)，為使F(x)=a F1（x）-b F2（x）為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)中應(yīng)?。?A ）例7連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù) 一定滿足（C）例8、記正態(tài)分布N(a,2)的分布函數(shù)為Fa, (x),其XN（-1，4），則下列計(jì)算正確的是（D）例9、 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E（x）=2.4，D(x)=1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)為多少解：E（x）=np=2.4, D(x)=np(1-p)=1.44，可解得n=6,p=0.44、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念：總體：在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對象的全體稱為總體。也特指某個(gè)指標(biāo)X，X具有 隨機(jī)性，因此研究總體也轉(zhuǎn)化為研究X的分布。樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做樣本，樣本中所所包含的個(gè)體的數(shù)量叫做樣本容量。一般我們抽取的樣本滿足下面二個(gè)條件：（1）樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立，（2）樣本中個(gè)體的分布同總體的分布。統(tǒng)計(jì)量：不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。例如：從均值為方差為2的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本X1，X2，Xn其中、2未知，那么X1+ X2，maxX1，X2，Xn是統(tǒng)計(jì)量，而X1+ X2-2、（X1-）/都不是統(tǒng)計(jì)量。例10、 總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，X1，X2，Xn是從中抽取的樣本，試求5、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)： 5.1參數(shù)估計(jì)：設(shè)總體X服從f(x,)的分布，其中為未知參數(shù)，X1，X2，Xn是從總體X中抽取的樣本，用樣本的函數(shù)即統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)有兩種形式：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)：若取樣本的某個(gè)函數(shù) 作為未知參數(shù)估計(jì)量，則稱 為的點(diǎn)估計(jì)量，稱 為的點(diǎn)估計(jì)值。求點(diǎn)估計(jì)常用的方法為矩法估計(jì)：即總體均值E（X）用樣本均值 來估計(jì)，總體方差區(qū)間估計(jì)： 例11、設(shè)一個(gè)物體的重量未知，為估計(jì)其重量，可以用天平去稱，所得稱重與實(shí)際值間是有誤差的，因此所得的稱重是一個(gè)隨機(jī)變量，通常服從正態(tài)分布，如果已知稱量的誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克，為使的95%的置信區(qū)間的長度不超過0.1，那么至少應(yīng)該稱多少次？解：這是求樣本容量的問題。在標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，的95%的置信區(qū)間為：5.2 假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：（1）、建立假設(shè)（2）、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕的形式（3）、給出顯著性水平，常取為0.05（4）、定出臨界值c，寫出拒絕域W，作出判斷。正態(tài)總體中均值的假設(shè)檢驗(yàn)：H0：=0，H0：0例12、某電工器材廠行產(chǎn)一種云母帶，其厚度在正常生產(chǎn)下服從N（0.13,0.0152），某日在生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽查了10次，發(fā)現(xiàn)平均厚度為0.136，如果標(biāo)準(zhǔn)差不變，試部生產(chǎn)是否正常？取為0.05由于樣本觀測值未落在拒絕域中，所以不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為該天生產(chǎn)正常。6、用的統(tǒng)計(jì)技術(shù)：方差分析與回歸分析。方差分析的基本假定是：（1）在水平Ai下，指標(biāo)服從正態(tài)分布；（2）在不同水平下，方差相等（3）數(shù)據(jù)Yij相互獨(dú)立?；貧w分析 ：平方和分解公式：第二講微分學(xué)一、內(nèi)容提要：本講主要是講解函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是極限的運(yùn)算、奇偶性的判斷、連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判斷以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算問題。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及極限的運(yùn)算。三、內(nèi)容講解：1、函數(shù)與極限1.1函數(shù)的概念與特性 第三講 微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、內(nèi)容提要：本講主要是講解函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是 微分的應(yīng)用，二個(gè)中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。三、內(nèi)容講解：1、微分及其應(yīng)用：為了對微分有比較直觀的了解，我們再來說明微分的幾何意義。如下圖所示：1.2基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則。2、 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。2.1羅爾中值定理：如下圖所示，如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f(x)在各個(gè)部分區(qū)間保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。函數(shù)的極值判定：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，x0是（a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，除了點(diǎn)x0外，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)，且在x0處取得極值，那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x)=0。使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。第一種充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且f(x)=0如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)恒為正，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)恒為負(fù)，那么f(x)在x0處取得極大值；如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)恒為負(fù)，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)恒為正，那么f(x)在x0處取得極小值；如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。第二種充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)=0，f(x0)0，那么（1）當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x) 在x0處取得極小值。例14、求函數(shù)f(x)=（x2-1）3+1的極值。解：f(x)=6x（x2-1）2令f(x)=0，求得駐點(diǎn)x1=-1,x2=0,x3=1，f(x)=6（x2-1）(5x2-1),因f(0)=60,f(x)在x=0處取得極小值，極小值為0；因f(-1)= f(+1)=0,用定理無法判別，只能看導(dǎo)數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x1=-1， x3=1左右鄰近的符號。當(dāng)x取-1左側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)0，當(dāng)x取-1右側(cè)鄰近的值時(shí)，f(x)0時(shí)，具有極值f（x0,y0）且當(dāng)A0時(shí)，f（x0,y0）為極小值。AC-B20時(shí)，沒有極值。AC-B2=0時(shí)，可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)極值的求法敘述如下：第一步：解方程組，fx(x,y)=0 f(x,y) =0求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。第二步：對于每一個(gè)駐點(diǎn)（x0,y0），求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C。第三步：定出AC-B2的符號，按上述定理的結(jié)論判定f(x,y)時(shí)否有極值，是極大值還是極小值。例21、求曲線x=t,y=t2,z=t3在占點(diǎn)（1，1，1）處的切線及法平面方程。第四講 不定積分、定積分、廣義積分的的概念及計(jì)算一、內(nèi)容提要：本講主要是講解不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的概念與性質(zhì)， 定積分的換元積分法和分部積分法，無窮限的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是 不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法 。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是廣義積分的計(jì)算。三、內(nèi)容講解：1、 不定積分：1.1原函數(shù)的概念：如果在區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對任一xI都有F(x)=f(x)或d F(x)= f(x)dx，那末函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù)。原函數(shù)存在的定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那末在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對任一xI都有F(x)=f(x)。 1.2不定積分的概念：在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)2.定積分3.廣義積分 ：3.2無界函數(shù)的廣義積分：第五講重積分、平面曲線積分以及積分的應(yīng)用 一、內(nèi)容提要：本講主要是講解二、三重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，平面曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算以及定積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用問題。 二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算，平面曲線積分，定積分的應(yīng)用問題。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是三重積分的計(jì)算，三重積分的應(yīng)用問題。 三、內(nèi)容講解： 1、重積分： 1、1二重積分的概念：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域，其中表示第I個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)（i,i），作乘積f（i,i）（i=1,2,，n），并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中最大值趨于零時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作,其中f(x,y)叫做被積函數(shù)叫做被積表達(dá)式，叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域，叫做積分和。在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素記作dxdy，而把二重積分記作，其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。二重積分的幾何意義：二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x,y)為頂，閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積。至于三重積分的概念，我們就不再說了，自已看一下。下面我們講一下重積分的性質(zhì)。 三重積分的的概念：設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成n個(gè)小閉區(qū)域，其中表示第I個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)（i,i,i），作乘積f（i,i,i）（i=1,2,，n）,并作和 ，如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分，記作,即=，其中dv叫做體積元素。三重積分的幾何意義表示物體質(zhì)量M的近似值。 1.2重積分的性質(zhì)： 性質(zhì)1、被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即（k為常數(shù)）性質(zhì)2、函數(shù)的和(或差)的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差），即性質(zhì)3、如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和，即性質(zhì)4、如果在D上，f(x,y)=1，為D的面積，則=性質(zhì)5、如果在D上，f(x,y)（x,y），則有不等式，特殊地，由于-|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|，又有不等式性質(zhì)6、設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則有mM性質(zhì)7、（二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（，）使得下式成立：1.3二重積分的計(jì)算： 按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對于一般的函數(shù)和區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)可行的方法，現(xiàn)在我們來講兩種計(jì)算二重積分的方法。 （1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分：設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式y(tǒng),axb來表示，則這個(gè)先對y后對x的二次積分也常記作類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式y(tǒng)，cyd來表示，其中函數(shù)、在區(qū)產(chǎn)c,d上連續(xù)，則有 上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個(gè)積分也記作(2)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分： 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系是x=rcos，y=rsin（0r+,02）設(shè) D=（r,）|r,則=特別（i）D=（r,）|0r,則有=（ii）D由閉曲線r=r()所圍成，則=例3、計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。 解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為0ra，02，由公式可得， =1.4三重積分的計(jì)算： （1）用直角坐標(biāo)來計(jì)算：設(shè)=(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D且D=(x,y)|y,axb則 例4、計(jì)算：I=，其中是由z=0,y+z=1,y=x2所圍成的區(qū)域。 解：=（x,y,z）|0z1-y,(x,y)D,其中D=(x,y)|x2y1,-1x1 I=（2）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分： 直角坐標(biāo)系與柱面坐標(biāo)的關(guān)系是：x=rcos,y=rsin,z=z（0r+,02,-z+）設(shè)=(r,z)|(r,)z(r,),(r,)D,其中D=(r,)|r1()r,r2(),則例5、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算：I=其中是由z=-1,z=1,x2+y2-z2=1所圍成的區(qū)域。 解：-1z1，0r,02則I= （3）利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：x=rsincos,y=rsinsin,x=rcos,(02,0,0r+)，此處要注意如何判斷、r的取值，r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，為有向線段OM與z軸正向所夾的角，為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角，這里P為點(diǎn)M在xoy面上的投影。如下圖所示：例6、設(shè)空間區(qū)域:x2+y2+z2R2，x0,y0，z0,則求 解：0/2，0rR,0/2，則 =2、平面曲線積分： 2.1對弧長的曲線積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算問題。 概念：設(shè)L為xoy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)f(x,y)在L上有界，用L上的點(diǎn)M1，M2，Mn-1把L分成n個(gè)小段，設(shè)第i個(gè)小段的長度為si，又（i,i）為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積f（i,i）si(i=1,2,n)，并作和,如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值趨向于0時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作即=其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。 當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)=總存在，當(dāng)L為閉曲線時(shí)，曲線積分可記為，特殊地，當(dāng)f(x,y)表示曲線形構(gòu)件的線密度時(shí)，就表示該構(gòu)件的質(zhì)量M。第一類曲線積分的性質(zhì)： （1）（線性性）其中、為常數(shù)） （2）（可加性）當(dāng)L=L1+L2時(shí)第一類曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)f(x,y)在曲線??；上有定義且連續(xù)，；的參數(shù)方程為（t）其中、在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，則曲線積分存在，且=（）如果曲線L由方程y=(x)（x0xX）給出，則有（x0X）類似地，如果曲線L由方程x=給出，（y0yY）則有（y0Y）例7、計(jì)算，其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)B（1，1）之間的一段弧。解：2.2對坐標(biāo)的曲線積分概念、性質(zhì)及計(jì)算： 概念：設(shè)L為xoy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在L上有界，用L上的點(diǎn)M1(x1,y1)，M2(x2,y2)Mn-1(xn-1,yn-1)把L分成n個(gè)有向小弧段，(i=1,2,n，M0=A，Mn=B)設(shè)xi=xi-xi-1,yi=yi=yi-1，點(diǎn)（i,i）為上任意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長度的最大值0時(shí)，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分或P(x,y)dx在有向曲線弧L上的第二類曲線積分，記作。類似地，如果存在，則稱此極限為函數(shù)Q(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)y的曲線積分，或Q(x,y)dy在有向曲線弧L上的第二類曲線積分，記作即=,=當(dāng)P(x,y)、Q(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)，,都存在，+通常記作第二類曲線積分的性質(zhì)：（1）當(dāng)L=L1+L2時(shí)，（2）=其中-L表示與L反向的有向曲線弧。 兩類曲線積分之間的聯(lián)系： =其中（x,y）、（x,y）為有向曲線弧L上點(diǎn)（x,y）處的切線向量的方向角。 第二類曲線積分的計(jì)算：設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在有向曲線弧L肯定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為其中t單調(diào)地由變到時(shí)，點(diǎn)M（x,y）從L的起點(diǎn)A沒L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，、在以及為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且=如果L由方程y=或x=給出，則有=例8、例8、計(jì)算，其中L為拋物線y=x2上點(diǎn)A（1，-1）與點(diǎn)B（1，1）之間的一段弧。解：3、積分的應(yīng)用： 3.1定積分的應(yīng)用：定積分的應(yīng)用一般表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面， （1）求平面圖形的面積： 若平