注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（張奠宙）

注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（1）(張奠宙、唐彩斌）(2009-08-07 13:32:49)對話人：張奠宙教授 數(shù)學(xué)教育家華東師范大學(xué)唐彩斌中學(xué)高級教師浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心唐：各位老師大家好。今天我們交流研討的話題是“注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。討論小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的“數(shù)學(xué)問題”，為什么強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)問題呢，是因?yàn)槲覀兿Ｍ裉斓慕涣髂芡怀鰯?shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助大家一起提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。也正如大家常說“教什么比怎樣教更重要”，我們今天討論的就應(yīng)該屬于“教什么”的范疇。張：各位老師，大家可能都聽到一句俗語叫做要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。所以我們今天來談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，大家不會覺得太簡單嗎？實(shí)際上我們要關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)教材里邊背后的內(nèi)容，就是說我們是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高臨下，我們有一些更高的觀點(diǎn)來觀察小學(xué)教材的內(nèi)容；其次，我們要有全面的整體的意識，知道小學(xué)數(shù)學(xué)教材在整個教育當(dāng)中的地位和作用，然后，我們就可以心中有數(shù)；最后，小學(xué)教材雖然看來比較簡單，但是它與時(shí)俱進(jìn)，還是有許多時(shí)代特色需要我們展示，需要我們深入的了解。所以，我們愿意給大家來探討小學(xué)當(dāng)中的一些數(shù)學(xué)問題，我想，希望給各位理解教材，理解課程標(biāo)準(zhǔn)有所幫助。一、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域問題的討論10為什么是自然數(shù)唐：現(xiàn)在我們就按照小學(xué)數(shù)學(xué)的幾大領(lǐng)域來選擇一些問題來具體分析。我們都知道，小學(xué)數(shù)學(xué)中最大的學(xué)習(xí)領(lǐng)域是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。首先我們討論關(guān)于自然數(shù)。大家可能會問：自然數(shù)誰不懂？這里還會有數(shù)學(xué)問題嗎？其實(shí)與時(shí)俱進(jìn)地看，自然數(shù)的問題還真不少。大家可能爭論最多的是“0本來不作為自然數(shù)，現(xiàn)在怎么又說是自然數(shù)了，為什么”？張：在上世紀(jì)90年代以前，自然數(shù)不包括0，但是1993之后，就包括0在內(nèi)，這當(dāng)然是一個規(guī)定所產(chǎn)生的，那是在1993年頒布的中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)里面有一句話說規(guī)定自然數(shù)包含0，從此之后，0就屬于自然數(shù)的范圍了。唐：從近年來編寫新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們可以發(fā)現(xiàn)教材也都根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。具體的表述是：用0表示“一個物體也沒有”所對應(yīng)的計(jì)數(shù)。只是在教學(xué)中，有些老師覺得把0作為自然數(shù)，與傳統(tǒng)不同，不太習(xí)慣。張：這只是習(xí)慣問題。0 是自然數(shù)有許多理由。首先，人的經(jīng)驗(yàn)是，從無到有。魔術(shù)師先交代兩手空空，再變出一只兔子，然后兩只兔子。鉛筆盒中本來是空的，然后裝進(jìn)一支鉛筆、兩只等等。第二，更重要的是書寫的需要，十的位置記數(shù)寫法是10。沒有0，就寫不出10，20，30， 100。 所以0，1，29， 共十個數(shù)字是最基本的。第三， 0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位元 a+0 =0+a=a. 在自然數(shù)中550，如果0不是自然數(shù)，那么55豈不是不能減了。此外，大數(shù)學(xué)家馮諾依曼用集合論的語言寫自然數(shù)，第一個是“空集”，用0 表示， 然后把以空集為元素的集合叫做1，依次類推。從文化的角度看來“有”也是從沒有開始的。唐：這么說，0是自然數(shù)的說法，既有生活經(jīng)驗(yàn)，又符合數(shù)學(xué)規(guī)則，還有文化背景和科學(xué)依據(jù)，是合乎情理的。說起習(xí)慣，從某種意義上是老師的習(xí)慣，學(xué)生其實(shí)沒有這樣的習(xí)慣。從這個角度來說，有時(shí)有些新的事物老師認(rèn)為難接受，但學(xué)生反而覺得好接受，可能也是這樣的原因吧。2數(shù)位的分級是三位一級還是四位一級？唐：下面的類似問題是關(guān)于數(shù)位的分級。自然數(shù)用十進(jìn)位記數(shù)。在小學(xué)里教材上，讀數(shù)與寫數(shù)的時(shí)候，一向強(qiáng)調(diào)四位一級，分為個級、萬級、億級，但是在現(xiàn)實(shí)生活，無論是銀行里的計(jì)數(shù)，還是信息技術(shù)中的計(jì)數(shù)都是三位一級，即個、千、百萬，從數(shù)學(xué)角度上怎樣看這種現(xiàn)象？張：這個問題我覺得應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，在以前我關(guān)注到，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中只講四位一級，只講個、萬、億。但是現(xiàn)在與國際接軌之后“千”的用途越來越大。所以說四位計(jì)數(shù)是我們的傳統(tǒng)，必須保持，我們的學(xué)生應(yīng)該懂，三位一級更是國際慣例，又必須與國際接軌，我們也應(yīng)該讓學(xué)生掌握。兩種并存，是必然趨勢，逐步與國際接軌。我們也注意到，像尺和寸現(xiàn)在就用的比較少了，米和厘米用的比較多了。將來，會通過社會的選擇來確定哪一種是主要的。我想，兩種都要學(xué)，這大概是不可避免的。唐：聽張老師這么一說，我們知道既要保存?zhèn)鹘y(tǒng)，又要與國際接軌。也有學(xué)者把數(shù)位的分級與空間圖形結(jié)合起來，認(rèn)為“三位一級”更符合數(shù)形結(jié)合的規(guī)律。具體地說，一個小立方體表示1，那么10個一排就是10，10個10排成1個面就是一個百，每一百算一層，10層就是一個新立方體，表示“千”。再從“千立方體”出發(fā)， 10個一排， 10排構(gòu)成面， 10個面疊成新的立方體就是一百萬。這就很形象地描繪出“三位一級”的構(gòu)造。這樣看來，“三位一級”也是可以通過數(shù)形結(jié)合來描述這種結(jié)構(gòu)。張：我還注意到，不管是“四位一級”還是“三位一級”，百萬是大家共用的名詞，例如“百萬雄師”，“和百萬英鎊，中外都用百萬形容很多。所以對百萬我們還應(yīng)該多多的關(guān)注。唐：張老師說起那個百萬，就不僅讓我想起我們經(jīng)常看到的一些課題教學(xué)。我們經(jīng)常聽到這樣的片段，1百萬有多大？讓學(xué)生認(rèn)識 “1百萬顆黃豆有多少體積?！睆垼寒?dāng)初設(shè)計(jì)這樣的教案，它的初衷是好的，就是要大家體驗(yàn)一下一百萬是怎么樣過來的。它一定是從一開始，然后到十、百、千一點(diǎn)一點(diǎn)數(shù)出來的。當(dāng)數(shù)目很大的時(shí)候，數(shù)起來很費(fèi)力。讓兒童經(jīng)歷這樣一個過程還是很有好處。不過，我又覺得，我們本質(zhì)上還是要關(guān)注100萬這個數(shù)的結(jié)構(gòu)。至于說100萬粒米有多大，這個不是數(shù)學(xué)要研究的問題，這是個別的體驗(yàn)，100萬粒米， 100萬顆花生， 100萬個籃球有多大等像這樣的問題是沒有窮盡的，也不是我們每個人都需要去體驗(yàn)的。所以。我覺得還是要把精力放在100萬的結(jié)構(gòu)上面，比如100萬里面有多少個1000，100萬里面有多少個1萬，我們每人捐款1000元，要捐到100萬需要多少個人捐，這樣的素材不僅有現(xiàn)實(shí)背景，而且還有數(shù)學(xué)意義，可能更值得我們?nèi)ニ伎肌?分?jǐn)?shù)的定義唐：聽張老師這么說，就是我們在組織這樣的活動的時(shí)候，一方面要關(guān)注現(xiàn)實(shí)背景，但是更重要的是要關(guān)注數(shù)學(xué)的意義。前面我們主要討論的是關(guān)于自然數(shù)的問題。接下來我們要討論的是一個比較難學(xué)，但卻很重要的課題：分?jǐn)?shù)。我想我們從分?jǐn)?shù)的定義開始談起。教材很多都是從份數(shù)的定義開始的。一般都這樣描述：單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。這樣的描述聽起來比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。因而是引入分?jǐn)?shù)的首選。張老師你怎么看。張：對，用份數(shù)的定義來引入分?jǐn)?shù)是非常自然的。但我覺得這樣也有缺點(diǎn)，最后是一份或幾份，那究竟是自然數(shù)還是分?jǐn)?shù)？這樣不太明確。因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義，分?jǐn)?shù)的定義就是，分?jǐn)?shù)是兩個正整數(shù)a，b，a 除以b 的商。所以分?jǐn)?shù)是一個商，這個概念我們現(xiàn)在注意的不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的核心所在。用a除以b，當(dāng)除的盡時(shí)（整除），就是原來的自然數(shù)，沒什么問題，問題就在除不盡的情況下面，那么我們就得到了一個分?jǐn)?shù)，這就是分?jǐn)?shù)所以要成為分?jǐn)?shù)根本的原因，就是除不盡的情況下需要分?jǐn)?shù)，除的盡就不需要分?jǐn)?shù)了。例如1/4，它是一個整體平均分為4份中的一份。 但是， 這一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小，卻又比0大。于是我們在數(shù)射線上可以標(biāo)出它的位置：它在0和1之間，當(dāng)中這一點(diǎn)是一半就是1/2，把1/2和0之間再分一半，那個地方就應(yīng)該是1/4，這樣一畫，數(shù)的概念就出來了。這就顯示它是一個新的數(shù)，是原來自然數(shù)所沒有的數(shù)，它是我們現(xiàn)在要研究的對象。商的分?jǐn)?shù)的定義比份數(shù)的定義要深入一步，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的必要性，特別是商和除法之間的關(guān)系，我想，如果理解了這一點(diǎn)，分?jǐn)?shù)的價(jià)值才能完整的體現(xiàn)。份數(shù)定義還停留在“幾份”的思考上，還沒有擺脫自然數(shù)的表示。1份，幾份，是分?jǐn)?shù)還是自然數(shù)？因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義。01唐：剛才張老師也說起分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但是以前我們描述分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)只講分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，一般描述為：分?jǐn)?shù)中的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)。但到底是怎樣的一種關(guān)系，尚不明晰。通過剛才的介紹分?jǐn)?shù)的商的定義，可能分?jǐn)?shù)是一個新的數(shù)。張老師，你剛才還提到了分?jǐn)?shù)的另外一種定義，那是一種怎樣的定義？張：分?jǐn)?shù)的第三個定義是比的定義兩個自然數(shù) a比b, b 0, 即a/b 叫做分?jǐn)?shù)。比和除，本來是一個問題的兩個方面，我的意思是說，用比的概念之后，分?jǐn)?shù)就可以擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍，使我們的視野更廣闊。我記得我曾經(jīng)請你做過一個實(shí)驗(yàn)，你把實(shí)驗(yàn)向大家介紹一下。唐：好的，我們來分享一下這個實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。上次張老師布置我做過一個小調(diào)查，我們就組織了100多名學(xué)生，分別來自三、四、六年級，調(diào)查的方法是，就是當(dāng)學(xué)生看到屏幕上有一個圓，我們把圓分成4份，其中的一份涂成藍(lán)色，這時(shí)學(xué)生會想到哪些分?jǐn)?shù)呢？我們給學(xué)生一些時(shí)間，讓他們想，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：測試結(jié)果：（時(shí)間2分鐘）總?cè)藬?shù)1/43/41/24/11/33/1三年級3938140四年級39361710882六年級3836833合計(jì)11611039138112百分率94.8333.6211.26.909.481.72張老師。你怎么看這個數(shù)據(jù)。張：我想，比的定義和我們原來份數(shù)的定義是相關(guān)的，份數(shù)的定義是說一個整體平均分之后，其中的幾份。從這個小調(diào)查看出，以整個圓作為“整體單位”的思維定勢還是比較強(qiáng)的。但整體不僅僅是一個圓，也可以是1個半圓，或3/4個圓，所以整體是可以變化的，是可以有多種多樣的選擇的。所以就一個大學(xué)的教師來看，我首先看到的是在1個圓里面1塊藍(lán)3塊白，藍(lán)和白之比是1：3，然后馬上就認(rèn)為是一個1/3。所以說不能把一個整圓分成4等分作為一種定式，以至于看不到一塊藍(lán)三塊白之間的比。我想比的定義也許和份數(shù)之間的靈活轉(zhuǎn)換有一定的關(guān)系，我也希望大家把份數(shù)和比的定義連接起來思考。唐：如果電視機(jī)前面的老師也有興趣的話，你也不妨對你班里的學(xué)生做這樣的調(diào)查，或許你能更加深刻的認(rèn)識到剛才張老師所講的從份數(shù)定義怎樣過渡到商的定義的重要性。因?yàn)樵谶@個過渡的過程中，讓我們明確了分?jǐn)?shù)是不同于自然數(shù)的一種“新”的數(shù)，是我們的新朋友。當(dāng)我們把1/3 ，1/6等等分?jǐn)?shù)標(biāo)在數(shù)軸（數(shù)射線）上的時(shí)候 ，新數(shù)的面貌就完全呈現(xiàn)出來了。4分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)唐：分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中有一個重要的性質(zhì)，是老師們都特別熟悉的，就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。但是所謂基本性質(zhì)，我們總是這樣描述：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。除了這樣的描述，究竟是什么性質(zhì)呢？并沒有明確的詞語，好像總得有一個特別的名字才好。從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)該怎么描述？張：我想，這就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)，在自然數(shù)里面，兩個數(shù)相等，這兩個數(shù)的表達(dá)是一樣的，2等于2，2就是2。在分?jǐn)?shù)里面，不同形式的分?jǐn)?shù)，它是相等的，但相等的東西可以不一樣，這就是一個新問題了。在數(shù)學(xué)上面，這叫做“等價(jià)類”。就是把不同表現(xiàn)形式的東西歸為一類，這樣，我們在觀察問題時(shí)，就不僅是看一個數(shù)，而是看一群數(shù)，一類數(shù)，這類數(shù)我們就叫做“等價(jià)類”。這個思想在教材當(dāng)中未見得要出現(xiàn)，但是作為老師我們要認(rèn)識到，自從進(jìn)入分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)以后，這個基本性質(zhì)，實(shí)際上是說明了：不同的東西可以歸為一類，但是它們有個標(biāo)準(zhǔn)，就是數(shù)值相等。“等價(jià)類”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是我們處理分?jǐn)?shù)不可缺少的一個思考。大家也可以看這個“等價(jià)類”例子，1/2 所在的等價(jià)類，各個分?jǐn)?shù)彼此相等：1/2 = 2/4= 3/6 = n/2n = 唐：聽張老師這么一說，就是說有不同分?jǐn)?shù)的外形，但是它的數(shù)值是一樣的，如果要派代表的時(shí)候，我們都很熟悉，叫做最簡分?jǐn)?shù)。那么用最簡分?jǐn)?shù)作代表行不行？你能不能給我們結(jié)合具體的事例形象地說明一下？張：我可以有兩個比喻：一個是：分?jǐn)?shù)好像一個人可以穿不同的衣服。體育課穿運(yùn)動服，上課穿校服，正式場合穿西裝，文藝演出穿演出服，休閑時(shí)穿休閑服等等。不同場合穿不同衣服，雖然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一個。另一個是：分?jǐn)?shù)又好像我們的學(xué)校。里面的成員都是平等的，都能代表學(xué)校，但是各有各的作用。校長會議校長去參加，數(shù)學(xué)教師活動請數(shù)學(xué)教師去，5年級學(xué)生的競賽則必須由5年級學(xué)生參與。所以我想，“等價(jià)類”就是這樣，大家都是平等的，不同的場合要有不同的表示形式。最簡分?jǐn)?shù)固然重要，但分?jǐn)?shù)相加需要通分，最簡分?jǐn)?shù)就不夠用了。就如校長雖然重要，卻不能代表一切。所以你剛才提的問題很好，所謂分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)。什么叫做分?jǐn)?shù)相等，就是這樣的定義。唐：經(jīng)過張老師這樣形象地描述，分?jǐn)?shù)的這個等價(jià)性大家一定清楚些了。那為什么分?jǐn)?shù)要出這樣一個基本性質(zhì)，而自然數(shù)沒有呢？張：相等的自然數(shù)只有一種形式。但是相等的分?jǐn)?shù)卻有不同的形式。而且分?jǐn)?shù)的約分，通分在后續(xù)學(xué)習(xí)中非常有用。所以必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，加深理解。唐：基于以上的討論，我感到分?jǐn)?shù)教學(xué)對我們老師的啟示有以下兩點(diǎn)：第一，分?jǐn)?shù)是“新朋友”，是除不盡情形下引進(jìn)的新數(shù)。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于使得自然數(shù)的除法總可以施行，因而分?jǐn)?shù)的“商定義”顯得十分重要。第二。分?jǐn)?shù)是一個大家庭，相等的分?jǐn)?shù)可以有不同的形式。等價(jià)類的思想應(yīng)該有所滲透。5小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系唐：說完了分?jǐn)?shù)，我們來討論和分?jǐn)?shù)密切相關(guān)的小數(shù)，小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，我們常常這樣說：小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式。十分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成一位小數(shù)，百分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成兩位小數(shù)，依此類推，所以一般都先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)。你怎么看？張：先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)是從一般到特殊，一般的分?jǐn)?shù)有了，我們再來研究特殊的，以10為分母的分?jǐn)?shù)。但是小數(shù)是不是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)才產(chǎn)生的呢？這不是。小數(shù)的產(chǎn)生與現(xiàn)實(shí)中的度量有密切關(guān)系。我們有了尺所以下面有寸、有分，我們有了斤所以下面有兩。所以我想，如果我們先學(xué)分?jǐn)?shù)，比如說幾元、幾角、幾分，然后再把特殊的分?jǐn)?shù)，我們分成10份的分?jǐn)?shù)，推廣為一般，從特殊到一般，也是一種認(rèn)識的規(guī)律。所以這兩者，在我所見到的國內(nèi)外許多教材當(dāng)中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我們現(xiàn)在多數(shù)采取的，有些國外的教材就是從特殊到一般，先有小數(shù)這樣的分?jǐn)?shù)，然后在推廣到一般的分?jǐn)?shù)，都是可以的。唐：看來現(xiàn)代人們在編教材的時(shí)候有不同的解讀，所以順序也不一定一樣。那么小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間到底有怎樣的關(guān)系，有什么區(qū)別呢？在數(shù)學(xué)史上到底是先有分?jǐn)?shù)還是先有小數(shù)？張：中國在商代，就是現(xiàn)在出土的文物中就有尺了，那個尺里面就有寸，而且是十進(jìn)位的，所以這個是有考古的實(shí)物為證的，所以小數(shù)在商代就出現(xiàn)了。分?jǐn)?shù)根據(jù)記載是在春秋時(shí)代出現(xiàn)的，比商代就要晚很多了。從中國的小數(shù)和分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的時(shí)間來說，是先有小數(shù)，后有分?jǐn)?shù)。度量衡的發(fā)展大約始于父系氏族社會末期。傳說唐帝“設(shè)五量”，“少昊同度量，調(diào)律呂”。這時(shí)的單位尚有因人而異的弊病。史記夏本紀(jì)中記載禹“身為度，稱以出”，則表明當(dāng)時(shí)已經(jīng)以名人為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行單位的統(tǒng)一，出現(xiàn)了最早的法定單位。商代遺址出土有骨尺、牙尺，長度約合16厘米，與中等身材的人大拇指和食指伸開后的指端距離相當(dāng)。尺上的分寸刻劃采用十進(jìn)位。唐：分?jǐn)?shù)產(chǎn)生在什么時(shí)候呢？張：我國的分?jǐn)?shù)記載出現(xiàn)于春秋時(shí)代（公元前770年前476年左傳中，規(guī)定了諸侯的都城大?。鹤畲蟛豢沙^周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。秦始皇時(shí)代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一。在小數(shù)出現(xiàn)的時(shí)候，并不覺得這是分?jǐn)?shù)。后來有了一般的分?jǐn)?shù)概念，才看到小數(shù)是“沒有寫分母”的分?jǐn)?shù)，其分母由位置確定。唐：古代的教學(xué)史對我們現(xiàn)代的教學(xué)也是有一定的啟示的，有一種關(guān)系可能是值得我們思考的，就是既然分?jǐn)?shù)可以和小數(shù)互化，那么已經(jīng)有了小數(shù)，何必還要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)呢？張：問題就在于實(shí)際的需要，小數(shù)是運(yùn)算比較方便，很容易看得出來它的大小，但是無限循環(huán)小數(shù)的加減乘除非常麻煩。因此，分?jǐn)?shù)運(yùn)算必須單獨(dú)學(xué)習(xí)。反過來，只學(xué)分?jǐn)?shù)不學(xué)小數(shù)也不行。因?yàn)樾?shù)是十進(jìn)位的，比較實(shí)用。尤其是比較兩個小數(shù)的大小，無論是有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)，用“字典順序”比較，一目了然。不像面對兩個分?jǐn)?shù)，要比較它們的大小比較困難。所以說，它們各有各的好處。唐：小數(shù)和分?jǐn)?shù)在具體的問題當(dāng)中各有各的好處，通過剛才我們討論小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，也正是印證了張老師最前面講的一句話，讓我們總體把握，做到心中有數(shù)。6算法多樣化的思考唐：討論完了數(shù)以后，我想在數(shù)與代數(shù)當(dāng)中另外一大塊就是計(jì)算，或許電視機(jī)前的老師和我們一樣，現(xiàn)在一提起計(jì)算，腦子里就會反映出一個新的詞，叫做“算法多樣化”，這也正是我們新課程改革以來，一直倡導(dǎo)的一種理念，張老師你是怎樣看“算法多樣化”這種理念的？張：算法，就是計(jì)算方法。隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來，計(jì)算機(jī)可以做各種各樣的事情，但是計(jì)算機(jī)都是按照算法運(yùn)行的，所以算法的重要性不言而喻。所以新課標(biāo)提出算法的意義，也提出了算法的多樣性也是非常必要的。而小學(xué)提倡算法多樣化，目的在于重視算法，創(chuàng)造性地運(yùn)用算法。唐：“算法多樣性”是一種好的理念，但是在具體的實(shí)施過程中，我們又會碰到怎樣的問題呢？我來舉一個例子：2815，兩位數(shù)乘兩位數(shù)。學(xué)生可能使用的其他方法，至少有以下四種：281528（105）2815285328102851403420420281515472830260728153015215420420一位同學(xué)是把15分拆成105，然后利用乘法分配律計(jì)算出結(jié)果，另外一位同學(xué)是把28分成47，然后先用15和4相乘得到60，然后再乘以7也得到420的結(jié)果。還有同學(xué)是把15分成53，然后再來相乘算出結(jié)果。有同學(xué)把28看成是30-2的差，再和15相乘。當(dāng)然，在計(jì)算的過程當(dāng)中有一種基本的方法，就是豎式計(jì)算的方法。首先是常規(guī)的豎式計(jì)算。28 15-14028-420這么多的算法，張老師你怎么看？張：算法可以多樣化，但是必須選擇一種作為基礎(chǔ)。豎式計(jì)算方法，就是大家的首選。這是無數(shù)的人，經(jīng)過挑選之后確定下來的，無論在國內(nèi)還是國外都是一樣的。豎式算法是基本技能，基本算法。它的特點(diǎn)是程序化、機(jī)械化，按部就班，能夠?qū)Ω度魏挝粩?shù)、任何形式的自然數(shù)的加減乘除運(yùn)算。這個算法雖然顯得笨重一點(diǎn)，也不夠簡便，但它是最基本的，我們必需把基本的先掌握好。將來多項(xiàng)式相乘也是這樣操作。我們把這類算法，稱作通性通法。它永遠(yuǎn)行得通，算得出。其它的算法都在它的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，隨機(jī)應(yīng)變。唐：這種通性通法也有算起來不夠迅速、快捷的缺點(diǎn)，而上面指出的學(xué)生的一些簡便算法，是一種針對特殊問題的特殊算法，屬于“巧算”一類，不能適用一般情形。我們使用這些特殊算法，有助于提高計(jì)算效率，培養(yǎng)個人的計(jì)算特點(diǎn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力。張老師你認(rèn)為課堂上出現(xiàn)的多種多樣的方法，是否需要 “優(yōu)化”？張：豎式計(jì)算是笨辦法，但永遠(yuǎn)有效。但是，我們每個人都有自己的個性，肯定也有一些自己喜歡的個性的算法。相對而言其他算法更加巧妙，但要隨機(jī)應(yīng)變，沒有普遍性。實(shí)際上如果把上面的四種方法比較一下就可以發(fā)現(xiàn)，有兩種算法其實(shí)就是利用乘法分配律，另兩種就是湊整的思想，都特別有利于心算。乘法分配律在數(shù)學(xué)中的作用，有學(xué)者認(rèn)為，相當(dāng)于人類從石器時(shí)代到鐵器時(shí)代；靈活運(yùn)用分配律是一種數(shù)學(xué)技能。所以，我想在提倡算法多樣化的時(shí)代，一方面要把豎式算法學(xué)會，同時(shí)也要充分運(yùn)用一些能使我們計(jì)算更加簡便、靈活的算法，要把基礎(chǔ)和靈活都掌握好。唐：張老師剛才在講算法多樣化的時(shí)候，還特別提到了乘法分配律它特別重要的地位，我想盡管它不是我們算法多樣化的一種普遍的規(guī)律，但是它的重要性或許會引起大家更多地思考。同時(shí)在算法多樣化問題上，橫式計(jì)算方法值得重視。其原理是從高位到低位，與豎式計(jì)算相反。例如2815 = 2010 + 205 + 108+ 58= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。先用兩個乘數(shù)的十位和十位相乘，再用第一個乘數(shù)的十位和第二個乘數(shù)的個位相乘，在分別用以第一乘數(shù)的個位和第二個乘數(shù)的十位相乘，然后再是個位和個位相乘，最后相加。這種橫式算法張老師你是怎么看的。張：橫式算法在國外比較盛行，可能是因?yàn)樗鼘λ憷碚f的比較清楚，它揭示了不同的位數(shù)它們所產(chǎn)生的作用。但是它有一個缺點(diǎn)，就是對位比較復(fù)雜，在對位的過程中容易出錯，所以橫式算法還是不如豎式算法哪么有效。橫式算法是一種從高位到低位的算法，和中國的珠算加法相同。所以現(xiàn)在國內(nèi)外一致討論的結(jié)果是豎式算法為主，橫式算法為輔來說明算理，再加上各種各樣的簡便、創(chuàng)造性的一些計(jì)算方法，使得“算法多樣化”真正成為中國數(shù)學(xué)教育的一個特色。唐：剛才張老師講起來從低位算起還是從高位算起，讓我也想起了張?zhí)煨⒗蠋熖貏e提到的對算法多樣化的一種理解，他認(rèn)為起算點(diǎn)不同也是我們算法多樣的一種不同，有的從低位算起有的從高位算起。橫式算法在對位的過程中比較容易出現(xiàn)錯誤，而豎式算法是一種通性通法，從后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中來看，即便我們以后學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的乘法，也是符合這樣的道理的。張：對，以前降冪排列，升冪排列都是按照豎式計(jì)算的方法。唐：也就是說，豎式計(jì)算不僅適用于小學(xué)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中都要用到的方法。唐：說起計(jì)算，張老師在你編著的中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)中，提到雙基的一個維度是速度。對于學(xué)生的計(jì)算，我們是不是要提出一些速度的要求？張：從國內(nèi)外的調(diào)查來看，中國學(xué)生的計(jì)算能力特別是心算的能力是被國際公認(rèn)的。新加坡一個代表團(tuán)在調(diào)查后認(rèn)為中國學(xué)生的心算能力要強(qiáng)于新加坡，當(dāng)然比美國就更好，這種計(jì)算的能力對我們成人后的生活也是非常重要的，所以我們一定要保持中國學(xué)生在心算領(lǐng)域的優(yōu)勢。但要注意的是，我們說的心算主要是指100以內(nèi)或者兩位數(shù)的加減乘除，過多的則沒有必要。速度是我國雙基的一個維度。但是對于計(jì)算來說，隨著計(jì)算器的普及，不需要對計(jì)算有過高的要求，尤其不要用一些大數(shù)目的繁雜的計(jì)算來考查學(xué)生計(jì)算能力。這種機(jī)械的勞動還是讓機(jī)器來做比較好。但是，兩位數(shù)的加減運(yùn)算，一位數(shù)乘兩位數(shù)等的心算能力，還是非常重要的，屬于“雙基”范疇。唐：我想是不是可以這樣理解，我們作為老師去考察學(xué)生的計(jì)算能力的時(shí)候，不要用那種繁雜的、特別大數(shù)字的計(jì)算題來增加學(xué)生計(jì)算的難度，而學(xué)生對于計(jì)算基本的方法是否掌握，是我們所更要關(guān)注的。記得以前張老師也請中西部的一位老師做過這樣的調(diào)查，或許電視機(jī)前的老師會想，中國的計(jì)算那么好，是不是也是指我們那里呢？張：現(xiàn)在小學(xué)生的計(jì)算能力，張曉霞老師做過一個非常詳細(xì)的調(diào)查，我總的感覺中國的計(jì)算能力確實(shí)比外國要強(qiáng)很多，或許要求是高了一點(diǎn)。但是因?yàn)槲覀円呀?jīng)有了這樣一個傳統(tǒng)，丟掉一個傳統(tǒng)很容易，但保持一個傳統(tǒng)很困難，所以我們應(yīng)該在保持一個合理的計(jì)算速度的基礎(chǔ)上進(jìn)行改革。唐：我想聽了張老師剛才這樣的點(diǎn)評以后，我們中西部的老師心里一定會更加自信了，因?yàn)槲覀冊谟?jì)算方面的優(yōu)勢說不定就在你們班里。7什么是代數(shù)？唐：剛才我們討論了數(shù)和計(jì)算，其實(shí)有一個名詞或許老師也和我一樣有疑問的，叫做“數(shù)與代數(shù)”，新課標(biāo)設(shè)置了“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。過去的小學(xué)里，對于數(shù)的認(rèn)識我們比較熟悉。至于代數(shù)，相對來說比較陌生一些。怎么理解代數(shù)？張：代數(shù)學(xué)的西文名稱是algebra，是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原與對消的科學(xué)”。什么叫做對消，大家知道的有正負(fù)對消，就是解方程時(shí)所謂的移項(xiàng)，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的把它暴露出來，還原了的本來面目，所以方程是和代數(shù)緊密聯(lián)系的，所以我們一說到代數(shù)，就會聯(lián)系到解方程。唐：一般在學(xué)習(xí)方程之前，我們都要先學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”，方程理論就是“用字母代表數(shù)”嗎？它們之間到底以一種怎樣的關(guān)系。張：單單用文字代表數(shù)，還不是代數(shù)。例如加法交換率寫為： a+b = b+a , 雖然也用文字代表數(shù)，卻和代數(shù)思想方法沒有關(guān)系。用文字代表數(shù)，即設(shè)某量為x這樣的做法, 只是運(yùn)用代數(shù)方法的第一步。它后面進(jìn)一步的是“式”的運(yùn)算，有“式”參與運(yùn)算就是代數(shù)。所以所謂代數(shù)，就是把文字代表數(shù)往前推一步，可以進(jìn)行“式”的運(yùn)算，最后把問題數(shù)找出來這樣一個過程全部叫做代數(shù)。代數(shù)思想方法的核心是基于含有x的“式”的運(yùn)算來求得未知數(shù)，最后解決數(shù)學(xué)問題。從數(shù)的運(yùn)算到“式”的運(yùn)算，是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。唐：聽得出來就是從“數(shù)的運(yùn)算”到“式的運(yùn)算”，才是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。這就是說，所謂代數(shù)，需要和方程聯(lián)系在一起。代數(shù)的主要內(nèi)容就是通過文字和數(shù)的運(yùn)算，把方程中的未知數(shù)求出來。唐：小學(xué)數(shù)學(xué)的“代數(shù)”內(nèi)容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cxd這樣的方程小學(xué)里解起來還是有些困難。張：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用負(fù)數(shù)，沒有了負(fù)數(shù)解方程就不能夠完整的體現(xiàn)出來。但是從我們國家的教學(xué)情況來看，小學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)還是比較困難的，我們現(xiàn)在的課標(biāo)也沒有把負(fù)數(shù)放到小學(xué)教學(xué)的內(nèi)容里面，那我們應(yīng)該怎樣解方程呢？那就是逆向思維的方法。而逆向思維的方法本質(zhì)上又是一種算式思維的方法。用逆向思維解方程，是現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)里應(yīng)該掌握的一部分，接下來就是在中學(xué)里進(jìn)行負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，然后把方程的全部都解出來。在逆向思維解方程中，要做到適可而止，學(xué)生能通過一些簡單的逆向思維把方程解出來即可，不要搞一些繁難的逆向思維，結(jié)果等到將來這些逆向思維都沒有用。而且當(dāng)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之后，解方程就是程式化的，一步步做下來就是了，根本不需要逆向思維，逆向思維太多了，反而會干擾負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，所以，我們逆向思維的要求應(yīng)該是適可而止、不要太高。唐：張老師多次提到適可而止，剛才也講到負(fù)數(shù)的概念，其實(shí)小學(xué)里只是一個簡單的涉及，但是不參與運(yùn)算，所以解方程是就不能運(yùn)用這方面的知識了。其實(shí)對方程的概念我們也常有爭論，關(guān)于方程概念的爭論也很多。如：x=1。是不是方程？雖然我們說要避免這樣的爭論，但是老師當(dāng)看到試卷上有這樣的問題時(shí)，還是會為此爭論不休。張老師你如何看這樣的爭論。張：方程的本意就是要求未知數(shù)，如果=1，未知數(shù)也求出來了，也就沒有方程的問題了，所以我們也就不需要去爭論這些問題，比如說是不是方程？是不是方程？這樣的問題還有很多，但對我們學(xué)習(xí)方程知識是沒有關(guān)系的，所以要把這些形式的問題淡化掉，不要在這些無意義的問題上面進(jìn)行爭論，數(shù)學(xué)上不可能把所有的問題按照邏輯的關(guān)系一一寫出來，因?yàn)槟菢幼龅脑掃^于繁瑣，我們只有抓住方程就是一個從等式的關(guān)系求未知數(shù)這一主要關(guān)系，其它一些枝節(jié)問題，一些過于形式化的問題則不必過分的關(guān)注。正如西南師范大學(xué)的老校長陳重穆先生所說需要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。唐：也就是說，對于我們教學(xué)來說，我們不要過度的爭論是不是方程，而是要討論怎樣解、會不會解這樣的方程。我想我們大家一定要牢記剛才張老師所講的西南師范大學(xué)的老校長陳重穆所講一句話：“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”，這應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。（待續(xù)）注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)（2）（張奠宙唐彩斌）(2009-08-07 13:54:06)標(biāo)簽：數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)張奠宙教育分類：他山石（教育類）8 問題解決與應(yīng)用題的教學(xué)唐：在數(shù)學(xué)新課程改革中，電視機(jī)前的老師會有很大的困惑，就是以前特別熟悉的應(yīng)用題不見了，取而代之的是解決問題。這兩者有怎樣的聯(lián)系？我們應(yīng)該怎樣來處理傳承與創(chuàng)新之間的關(guān)系？請張老師從數(shù)學(xué)的角度談?wù)勥@兩者之間的關(guān)系。張：數(shù)學(xué)問題分為兩類，一類稱為純數(shù)學(xué)問題，像歌德巴赫猜想，另一類稱為應(yīng)用問題，像大學(xué)里有應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，可見應(yīng)用問題是客觀存在，似乎不必回避。我們反對的是過去小學(xué)數(shù)學(xué)中那些“矯揉造作”的遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)，使學(xué)生得不到什么教育的應(yīng)用題。新的應(yīng)用題，其情境更有真實(shí)性，方法上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的建立。條件可以冗余，數(shù)據(jù)需要取舍，模型需要建立，結(jié)果需要驗(yàn)證。像這一些都是過去的應(yīng)用題所缺乏的。唐：張老師你也常常提起一個很典型的例子，就是弗賴登塔爾舉過的一個例子，你能否再給大家介紹一下。張：對，這是我很欣賞的一個例子，弗賴登塔爾可以說是20世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)教育家，弗賴登塔爾有一個經(jīng)典的問題：“昨夜外星人訪問我校，留下了一個巨大的手?。▓D），今夜他還要來，試問：我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？像這樣的問題很現(xiàn)實(shí)，使我們每個學(xué)生都很感興趣，但是它蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想又非常深刻。尤其是體現(xiàn)比例的思想，通過測量兩只手大小的比值，按比例放大，將比值用于設(shè)計(jì)椅子高度和鉛筆長度，這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。像這樣的問題就和過去的應(yīng)用題有很大的區(qū)別，是我們需要關(guān)注的。唐：像這樣的問題既具有現(xiàn)實(shí)意義，又包含了很重要的數(shù)學(xué)思想。但說起應(yīng)用題與解決問題，還有一個著名的“船長問題”不得不讓我們重提?！耙粭l船上有75頭牛， 32頭羊， 問船長幾歲？”。記得這個題目最早是張教授引進(jìn)國內(nèi)的。那時(shí)是怎樣的一個背景情況？張：當(dāng)時(shí)我是在一個國際會議上面，見到法國的一個數(shù)學(xué)教育家，他告訴我在1980年前后，他們在法國進(jìn)行調(diào)查。這本來是一道是不能做的題目，可是在調(diào)查過程中發(fā)現(xiàn)他們學(xué)校的學(xué)生往往能夠做出來，因此法國的教育家說了一句很語重心長的話：“我們的學(xué)校是不是把孩子越教越笨了？”記得那年我們在國內(nèi)也選取一些學(xué)校做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果有近90的學(xué)生得出來答案。學(xué)生都有這樣的思想，就是老師出的題目都是對的，都是有答案的。唐：對，當(dāng)時(shí)我也是看到你的調(diào)查有一些新的啟示，這么多年過去了，現(xiàn)在的情況又是怎樣的呢？所以最近我們又做了一個調(diào)查，老師們可以看一下屏幕上的表格，我們選擇的調(diào)查對象既有二、三年級，也有四、五、六年級的學(xué)生，老師們可以從數(shù)據(jù)上發(fā)現(xiàn)，有26.7的學(xué)生是把兩個數(shù)相加作為船長的年齡，還有45.1的同學(xué)通過兩個數(shù)相減得出船長的年齡。也就是說有超過70的同學(xué)僅僅通過加減算出來答案。20年過去了，張老師當(dāng)你看到這一組數(shù)據(jù)時(shí)是一種什么樣的感覺？答案107歲43歲加減都做其它答案不能做合計(jì)六年級418217445五年級29197055四年級939127884三年級2346110282二年級2428111367合計(jì)8915057217333百分率26.7%45.1%1.5%21.6%5.1%張：這就是我們在應(yīng)用題方面的一個缺陷，認(rèn)為什么題目都能算，都有結(jié)果。其實(shí)我們應(yīng)該能夠區(qū)別哪些是數(shù)學(xué)問題，哪些不是數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題要求揭示事物內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，牛、羊數(shù)目和船長年齡沒有內(nèi)在的關(guān)系，學(xué)生卻盲目解答，明明不能做的題目，學(xué)生卻非要做，這就值得我們深思了。唐：或許電視機(jī)前的老師也有這樣的好奇心，你不妨也去做一下這樣的試驗(yàn)，可能結(jié)果和你想象的有很大的不同。我們不展開討論關(guān)于解決問題的教學(xué)，但是我們必須引起重視的是，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是重在分析內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系。而這些都是值得我們繼續(xù)研究。二、圖形與幾何領(lǐng)域問題的討論1小學(xué)幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加唐：前面說了這么多數(shù)與代數(shù)的問題，接下來我們把目光轉(zhuǎn)向圖形的領(lǐng)域，在新課程改革過程中，我們發(fā)現(xiàn)在空間與幾何的領(lǐng)域多了一些新的內(nèi)容？也常常出現(xiàn)在一些公開課觀摩課中，看來很受老師們的歡迎。為什么要增加了這些新的內(nèi)容？張：從大學(xué)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，幾何可以分成很多內(nèi)容，具體說來，有以下5個方面：首先是直觀幾何學(xué)，就是對平面圖形，立體圖形的認(rèn)識；還有一些求面積、體積的問題，屬于度量幾何。在新課標(biāo)以前，小學(xué)數(shù)學(xué)主要包括這兩部分內(nèi)容。后來我們發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題，它的原始思是想非常簡單，非常樸實(shí)的，和我們小學(xué)生的生活也是密切相關(guān)的，所以后來我們就增加了三個方面的內(nèi)容。第三就是演繹幾何，比如說垂直，平行，線段，射線這些名詞都屬于演繹幾何的范疇。然后運(yùn)動幾何學(xué)的一些基本的內(nèi)容也加到了當(dāng)中，最后我們發(fā)現(xiàn)在中學(xué)、大學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的解析幾何學(xué)，它的坐標(biāo)的思想也是非常樸實(shí)、簡單，大家所容易接受的，所以我們現(xiàn)在小學(xué)里也有了坐標(biāo)幾何學(xué)的內(nèi)容?？傮w的看，小學(xué)里包括直觀幾何；度量幾何；演繹幾何學(xué)；運(yùn)動幾何學(xué)；坐標(biāo)幾何學(xué)；這五大塊。從過去的兩塊擴(kuò)大到五塊，擴(kuò)大了我們幾何學(xué)的視野和感受，是十分有意義的改革。唐：聽了張老師剛才的講解，我有一個即時(shí)的一個想法，就是我們小學(xué)數(shù)學(xué)是打基礎(chǔ)的，就像造房子打地基一樣，我們現(xiàn)在把每一個方面的地基都壘上來了，為他以后的學(xué)習(xí)打下了更好的基礎(chǔ)。說起這5個方面的內(nèi)容，再聯(lián)系我們平時(shí)聽到的一些課，我們就不難發(fā)現(xiàn)，如果下次你再聽到比如說不同的角度觀察物體，比如說平移和旋轉(zhuǎn)，比如說確定位置的時(shí)候，就便于把另外幾個領(lǐng)域的幾何聯(lián)系起來了。不過對于小學(xué)來說可能還是直觀幾何最為基本。張老師你認(rèn)為直觀幾何學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是什么？張：我想小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，直觀幾何最根本的或者最核心的內(nèi)容就是用平面來描述立體。因?yàn)槲覀兠總€人所處的世界的事物都是立體的，但是我們看到的、畫在教科書上的都是平面的；因此，空間圖形平面化，通過平面圖形想象空間物體是直觀幾何的重要內(nèi)容。新課標(biāo)里通過照相機(jī)從“不同角度下拍攝照片”想象物體前后位置就是新增的內(nèi)容。通過三視圖科學(xué)描述簡單對象，也是如此。所以說我們通過平面來描述立體的手段越來越多，角度也是多種多樣的。唐：這樣說來，就大大溝通了現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。我們引導(dǎo)學(xué)生觀察三視圖，就是希望學(xué)生從平面圖形讀出立體的形狀；以培養(yǎng)學(xué)生想象空間的能力。2什么是長度、面積、體積唐：在幾何教學(xué)中，還有一些常見的概念，也常常引起一線教師的爭論，比如什么是長度？什么是面積？什么是體積？張：人的概念有兩種，一種就是生活中自然形成的，比如說面積、體積，大家都明白，但是要嚴(yán)格的定義卻很困難。你能說說小學(xué)是怎么樣定義這些概念的嗎？唐：小學(xué)教材中一般這樣說：“物體表面或平面封閉圖形的大小叫面積”，這樣是面積的定義嗎？可以嗎？張：小學(xué)教材中“物體表面或平面圖形的大小叫面積”，這些也只是對面積的描述，不是嚴(yán)格的定義。因?yàn)榭偸窍扔忻娣e定義，才有面積大小。在嚴(yán)格的面積定義里不能出現(xiàn)“大小”的詞匯。但是對小學(xué)生，不要講究“面積”的嚴(yán)格定義（那是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容）。我們的任務(wù)是在描述面積和體積之后，著重求一些幾何圖形的面積和體積。唐：也就是說對于面積的嚴(yán)格定義不是重要的，重要的是我們的學(xué)生會不會求面積。當(dāng)然我們也要知道長度、面積、體積是刻畫圖形大小的度量。幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。知道了關(guān)于面積的定義，我們再來討論面積公式的推導(dǎo)。在常見的平面圖形面積推導(dǎo)的過程中，除了記住面積的計(jì)算公式，還有重要一種數(shù)學(xué)思想方法的滲透：轉(zhuǎn)化思想方法。例如，求平行四邊形面積化為求矩形面積，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為求平行四邊形或矩形面積等，學(xué)習(xí)梯形和圓也是一樣，所有新學(xué)圖形的面積都可以由已學(xué)的圖形面積來推導(dǎo)。這也是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)。這在中國古代應(yīng)該怎樣稱謂。張：這很重要，這也是中國古代數(shù)學(xué)“出入相補(bǔ)原理”的具體運(yùn)用。這種化歸的方法就是演繹幾何的一部分。就像我們現(xiàn)在從正方形出發(fā)到矩形再到三角形這樣一種化歸的辦法就是一種演繹的推理的方法，是演繹幾何在小學(xué)里的一種表現(xiàn)。現(xiàn)在我們有一個明確的說法叫做化歸的思想，這是邏輯框架里面非常重要的一種。在演繹幾何的領(lǐng)域里面，學(xué)好化歸的方法是非常重要的。3平移、旋轉(zhuǎn)和對稱之間是什么關(guān)系唐：張老師講到的古代數(shù)學(xué)中的“出入相補(bǔ)原理”一定會給大家很多的啟示，記得吳文俊老師就講過我們古代數(shù)學(xué)的輝煌，或許有很多在我們小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中也會有所體現(xiàn)。剛才張老師所講到思想方法，或許又是值得我們老師探討的一個新的方面。在我們小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中，除了知識和技能以外，我們又滲透率哪些思想方法，是值得我們系列的展開研究和討論的。唐：在小學(xué)里，為什么要學(xué)習(xí)平移，旋轉(zhuǎn)和軸對稱這些知識？他們之間有怎樣的關(guān)系？張：這就是我們剛才所說的第四塊運(yùn)動幾何學(xué)，小學(xué)里原來就有運(yùn)動。例如，平行四邊形面積，通過三角形的運(yùn)動，拼成矩形，這就是平移運(yùn)動。面積在平移運(yùn)動下面不變，同樣，矩形旋轉(zhuǎn)90度，面積也是不變的，這就是面積的特性。所以說運(yùn)動對于我們小學(xué)老師來說并不陌生，大家是經(jīng)常在那里使用的。唐：知道了平移和旋轉(zhuǎn)之后，為什么還要談軸對稱變換呢？這三者之間有沒有一種內(nèi)在的聯(lián)系，能否舉例說明。張：我想比較詳細(xì)的來說一說這件事情。大家都知道平移和旋轉(zhuǎn)的概念，至于軸對稱，我想大家也是很熟悉的，軸對稱的圖形非常漂亮，所以大家都很喜歡軸對稱的圖形，這里要從數(shù)學(xué)上講一講它的原始的價(jià)值。（1）一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運(yùn)動，要知道方向和距離；用平移就能實(shí)現(xiàn)了。（2）如果是兩根一樣長的線段（火柴棒），先將一根火柴移動過去，使得火柴頭和火柴頭重合，但是火柴尾不一定重合，還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才行。（圖）（3）如果是兩個一模一樣的三角形ABC 和ABC，如何看它們運(yùn)動過程呢？首先，平移運(yùn)動使得A和A重合，然后轉(zhuǎn)動，使得AB和AB重合。 這時(shí)可能三角形已經(jīng)重合了，也可能不重合，還需要反射一下才行。（圖）因此，我們在平面上作運(yùn)動，需要平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱三種不同的變換。在小學(xué)里我們要學(xué)習(xí)這三樣?xùn)|西，而這三樣?xùn)|西互相構(gòu)成一個叫做“剛體運(yùn)動”，我們小學(xué)里面接觸它還是很有必要的。唐：剛在張老師對這3個例子的講解，把數(shù)學(xué)發(fā)生的很強(qiáng)的驅(qū)動性體現(xiàn)出來了，不知電視機(jī)前的老師是否聽清楚了，我們不妨再來看一下這三幅圖。如果一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運(yùn)動，用平移就能實(shí)現(xiàn)了。如果是兩根一樣長的線段，還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才能重合。如果是兩個一模一樣的三角形，如何看它們運(yùn)動過程呢？首先要平移，然后旋轉(zhuǎn)一下。這時(shí)可能三角形已經(jīng)重合了，也可能不重合，還需要翻轉(zhuǎn)一下才行。這樣就把平移、旋轉(zhuǎn)和對稱聯(lián)系在一起了。這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對后續(xù)學(xué)習(xí)有什么作用？張：因?yàn)檫@是最簡單的運(yùn)動，接下來還有“相似運(yùn)動”，“投影運(yùn)動”等等，平面圖形的很多的證明都需要依賴它。運(yùn)動幾何學(xué)是一門很大的學(xué)問，后續(xù)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容還有很多，但是我們在初步接觸，對我們開闊幾何的視野，了解幾何的內(nèi)容是很有幫助的。所以新課標(biāo)把它列為小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是很有見地，很有眼光的。唐：說起來還是為以后的學(xué)習(xí)打重要的基礎(chǔ)。但是還有一個概念在我們教學(xué)當(dāng)中也是常常會碰到的，就是鏡面對稱是不是軸對稱圖形？張：我看到有些教材或者材料里面說鏡面對稱就是軸對稱，我認(rèn)為不太妥當(dāng)。因?yàn)檩S對稱都是在同一個平面當(dāng)中的兩個圖形，鏡面對稱的兩個圖像不在一個平面內(nèi)，所以不是平面上的軸對稱圖形。雖然二者有聯(lián)系，但畢竟是不同的，我們不能混為一談。唐：對，就是有聯(lián)系，但是也有區(qū)別。4小學(xué)數(shù)學(xué)為什么要滲透平面坐標(biāo)思想唐：小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)為什么要滲透平面坐標(biāo)思想？從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和地位來看，它有怎樣的地位和作用。張：各位老師都學(xué)過解析幾何，所以大家都知道笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何是數(shù)學(xué)上一個巨大的進(jìn)步、也是人類歷史上一個重大的進(jìn)步，所以我們在小學(xué)中加入坐標(biāo)幾何的內(nèi)容是非常正確的。我想笛卡爾的重要貢獻(xiàn)，就是一個幾何的對象，他可以用數(shù)來描寫，而數(shù)所滿足的關(guān)系就是方程。我們小學(xué)里面先學(xué)第一步，就是把坐標(biāo)建立起來，并用數(shù)對（x，y）來表示點(diǎn)。把坐標(biāo)幾何放到小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，體現(xiàn)了隨著時(shí)代的進(jìn)步，我們小學(xué)數(shù)學(xué)也在發(fā)展。唐：可能電視機(jī)前的老師對于解析幾何內(nèi)容慢慢地有些淡忘了，通過張老師這么一說，我們也可以聯(lián)系起我們教過的一些內(nèi)容。比如說在平面坐標(biāo)這個領(lǐng)域當(dāng)中，確定位置可能是我們首先要學(xué)的。那么我們有的疑問就是坐標(biāo)的核心思想就是確定位置嗎？張：很多的教案都是到此為止，就是認(rèn)為坐標(biāo)就是確定位置，這是第一步要做的事情。笛卡爾當(dāng)時(shí)發(fā)明坐標(biāo)，并不是單純的表示位置，坐標(biāo)表示位置更多的是地理學(xué)上的應(yīng)用，大家知道，地理學(xué)要求用經(jīng)緯線確定地球表面上的位置，而不是數(shù)學(xué)光要研究的問題。數(shù)學(xué)課程中用平面坐標(biāo)系確定位置僅僅是學(xué)習(xí)坐標(biāo)系知識的初步結(jié)果。 更重要的是用坐標(biāo)來表示幾何圖形。例如，兩個坐標(biāo)一樣的點(diǎn)， 形成一條直線（y=x 的圖像）， 兩個坐標(biāo)都小于或等于10 的點(diǎn)，構(gòu)成一個邊長為10的正方形等等。所以我們甚至建議，大家在講完坐標(biāo)之后，讓大家說一說兩個坐標(biāo)都一樣的點(diǎn)是形成一個怎么樣的幾何圖形，于是發(fā)現(xiàn)它是一條直線或者半直線。也可以問兩個坐標(biāo)都小于3的是一個怎樣的圖形啊，那肯定就是一個正方形。所以不要僅僅停留在用坐標(biāo)確定位置，應(yīng)該稍微的引申開去。唐：剛在張老師也舉了兩個例子，我們不妨也看看屏幕上的兩個例子：如果xy的圖像就是左邊這幅圖，如果兩個坐標(biāo)都小于或等于3的，那么他構(gòu)成的是一個邊長是3的正方形，我想用平面坐標(biāo)不僅能表示位置，而且能表示數(shù)學(xué)的對象。三、統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的問題討論統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與概率有什么關(guān)系唐：下面的問題有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。小學(xué)數(shù)學(xué)一向?qū)y(tǒng)計(jì)并不陌生，以前沒有概率，平均數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形圖等等教學(xué)，也都可以順利進(jìn)行。大家不