三角形的形狀的判定.doc

三角形的形狀的判定浙江奉化江口中學(xué)（315504）毛顯勇在三角函數(shù)及向量應(yīng)用中,有關(guān)三角形的形狀的判定，在教材中既沒(méi)有直接的例題，也沒(méi)有相應(yīng)的練習(xí)題和習(xí)題，而此類型的題又是經(jīng)常碰到的，所以教師不能只作一些范例的講解，而應(yīng)對(duì)知識(shí)作一種較全面的歸納和分析,再分不同的類型選擇例題作專題講解。這樣，既把所學(xué)知識(shí)連成一片，又鞏固了知識(shí)，使所學(xué)的內(nèi)容前后聯(lián)系，擴(kuò)大應(yīng)用范圍，達(dá)到融會(huì)貫通。1、復(fù)習(xí)三角形中有關(guān)知識(shí)：1.1角的關(guān)系：A+B+C=-(A+B)、 或A+B=-C、1.2邊的關(guān)系：任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊。1.3邊角關(guān)系：同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角。 正弦定理：。 余弦定理：， 。 三角形面積：S=1.4三角形的分類：按角分：銳角，直角，鈍角。按邊分：等腰，等邊。其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。2、三角形形狀的判定：在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊長(zhǎng)為a、b、c。2.1若 a=b或cosA=cosB、tanA=tanB、sinA=sinB A=B則三角形是等腰三角形；2.2若 則C是直角，三角形是直角三角形； 0, 則A、B、C都是銳角，三角形是銳角三角形； cosAcosBcosC=0, 則A、B、C中必有一個(gè)是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC0, 則A、B、C中必有一個(gè)是鈍角，三角形是鈍角三角形。2.4若ab=0ab，則三角形是直角三角形。3、舉例應(yīng)用：例1 已知是一個(gè)三角形的內(nèi)角，且sin+cos=，則這個(gè)三角形的形狀是（ ）A、 銳角三角形 B、鈍角三角形 C、直角三角形 D、不能確定解： 001800，且sin+cos=1， 9001800（當(dāng)001；當(dāng)=900時(shí)，sin+cos=1）。故選B。說(shuō)明：本題直接利用三角函數(shù)線及三角形中任兩邊之和大于第三邊，縮小角的取值范圍，從而快速得解。例2 在ABC中，內(nèi)角A和B滿足cosAcosB=sinAsinB，則ABC的形狀是 。解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B（0，） A+B=。故ABC是直角三角形。變式1：若條件為cosAcosBsinAsinB，則ABC的形狀是鈍角三角形。變式2：若條件為cosAcosBsinAsinB，則ABC的形狀不能確定。說(shuō)明：本題倒用兩角和與差的公式，再根據(jù)角的取值范圍先確定角A+B的范圍，從而確定角C的范圍，就得解。例3 在ABC中，已知cos2A+cos2B+cos2C=2，試判定其形狀。解：在ABC中，cos2A+cos2B+cos2C=+cos2(A+B)=1+(cos2A+cos2B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)=1+cos(A+B)2cosAcosB =1-2cosAcosBcosC=2 cosAcosBcosC=-0cosA、cosB、cosC中必有一個(gè)小于零 A、B、C中必有一個(gè)角是鈍角ABC是鈍角三角形。推廣：由cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC 得cos2A+cos2B+cos2C0，則ABC是銳角三角形。 cos2A+cos2B+cos2C=1cosAcosBcosC=0，則ABC是直角三角形。 cos2A+cos2B+cos2C1cosAcosBcosC62 能構(gòu)成三角形，且是銳角三角形。故選A。說(shuō)明：本題是余弦定理的又一變形應(yīng)用，用來(lái)判斷類似題既快速又準(zhǔn)確。例6 在ABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ABC的形狀。解： c=asin(900-B)=acosB= ； 又 由條件 綜上得ABC是等腰直角三角形。說(shuō)明：條件中有邊、角關(guān)系，應(yīng)利用正、余弦定理，把條件統(tǒng)一為邊或者是角的關(guān)系，從而判定三角形的形狀。這是判斷三角形形狀的常用解題思路。例7 如圖ABC中，=c，=a，=b，則下列推導(dǎo)中，是假命題的為（ ） A、若ab0，則ABC是鈍角三角形B、 若ab=0，則ABC是直角三角形 A C、 若ab=bc，則ABC是等腰三角形 a b D、 若c（a+b+c）=0，則ABC是等邊三角形 B c C 解：a+b+c=+=對(duì)任意三角形都成立，而c=0恒成立 選項(xiàng)D中的命題是假命題，故選D。說(shuō)明：本題是一道易錯(cuò)題，很可能會(huì)錯(cuò)選A。要注意的是向量a、b的夾角不是內(nèi)角A，而應(yīng)是1800-A（求向量的夾角的前提是它們有共同的起點(diǎn)）；另選項(xiàng)C也正確，可通過(guò)向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。本題主要根據(jù)向量的數(shù)量積的定義來(lái)解，要注意概念的準(zhǔn)確運(yùn)用。4、總結(jié)1）觀察、分析和聯(lián)想能力在解題能力中占有很重要的地位，觀察已知條件中的數(shù)、式、形，聯(lián)想有關(guān)的公式、定理、定義、性質(zhì)、常見(jiàn)變形方法與常用解題思路等，從而找到簡(jiǎn)便的解法。2）判定三角形的形狀，除單純角的關(guān)系或邊的關(guān)系外，對(duì)含有邊角的關(guān)系，一定要把條件統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系或角的關(guān)系來(lái)判斷。在轉(zhuǎn)化過(guò)程，除了直接應(yīng)用邊角關(guān)系的正余弦定理外，還充分用到和、差、倍、半角的三角函數(shù)或三角函數(shù)的和差化積、積化和差公式去改變角和三角函數(shù)的形狀，并還利用向量的數(shù)量積等有關(guān)知識(shí)來(lái)解題。5、練習(xí)：1）在ABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么這個(gè)三角形是（ ）A、銳角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等邊三角形2）在ABC中，如果sinC=cosA+cosB，那么這個(gè)三角形是（ ）A、等腰三角