定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.doc

定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用摘要：定積分是微積分中重要內(nèi)容，它是解決許多實(shí)際問題的重要工具，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且內(nèi)容十分豐富。文中通過具體事例研究了定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，如求總量生產(chǎn)函數(shù)、投資決策、消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 ：定積分；原函數(shù)；邊際函數(shù)；最大值最小值；總量生產(chǎn)函數(shù)；投資；剩余 引言積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和應(yīng)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的?？梢哉f是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中最大的一個(gè)創(chuàng)造。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著并發(fā)展起來的。定積分推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，微積分是一門歷史悠久而又不斷發(fā)展進(jìn)步的學(xué)科，歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家把畢生的心血投入到微積分的研究中，從生產(chǎn)實(shí)際的角度上看，應(yīng)用又是重中之重，隨著數(shù)學(xué)的不斷前進(jìn)，微積分的應(yīng)用也呈現(xiàn)前所未有的發(fā)展。本文將重點(diǎn)介紹定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。1 利用定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題在經(jīng)濟(jì)管理中, 由邊際函數(shù)求總函數(shù)( 即原函數(shù)) , 一般采用不定積分來解決,或求一個(gè)變上限的定積分。可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù), 總收入函數(shù)以及總利潤函數(shù)。設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)u( x ) 的邊際函數(shù)為 ,則有 例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為, 固定成本C (0) =10000, 求出生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的總成本函數(shù)。解 總成本函數(shù) = = =2 利用定積分由變化率求總量問題如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量, 則直接采用定積分來解決。例2 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為 ( 件/天) , 求從第5 天到第10 天產(chǎn)品的總產(chǎn)量。解 所求的總產(chǎn)量為(件)3 利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值和最小值例3 設(shè)生產(chǎn)x 個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C = 100+ 2x , 其固定成本為元,產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售,問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大? 并求出最大利潤。解 總成本函數(shù)為 = 總收益函數(shù)為R( x ) = 500x總利潤函數(shù)為L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x令= 0, 得x= 200因?yàn)?( 200) 0所以, 生產(chǎn)量為200 單位時(shí), 利潤最大。最大利潤為L( 200)=400 200-1000=39000( 元) 。例4 某企業(yè)生產(chǎn)x 噸產(chǎn)品時(shí)的邊際成本為( 元/ 噸) 。且固定成本為900元, 試求產(chǎn)量為多少時(shí)平均成本最低?解： 首先求出成本函數(shù) , 得平均成本函數(shù)為 求一階導(dǎo)數(shù) 令, 解得( = - 300 舍去) 。因此, ( x) 僅有一個(gè)駐點(diǎn)= 300, 再由實(shí)際問題本身可知( x ) 有最小值, 故當(dāng)產(chǎn)量為300 噸時(shí), 平均成本最低。例5、某煤礦投資2000萬元建成，在時(shí)刻t的追加成本和增加收益分別為 （百萬元/年）試確定該礦的何時(shí)停止生產(chǎn)可獲得最大利潤？最大利益是多少？ 解： 有極值存在的必要條件 ，即 可解得 t=8 故=8時(shí)是最佳終止時(shí)間，此時(shí)的利潤為 因此最大利潤為18.4百萬元4 利用定積分求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余在經(jīng)濟(jì)管理中, 一般說來, 商品價(jià)格低, 需求就大; 反之, 商品價(jià)格高, 需求就小, 因此需求函數(shù)Q = f( P)是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)。同時(shí)商品價(jià)格低, 生產(chǎn)者就不愿生產(chǎn), 因而供給就少; 反之, 商品價(jià)格高, 供給就多, 因此供給函數(shù)Q= g( P)是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)。由于函數(shù)Q = f( P)與Q = g( P)都是單調(diào)函數(shù), 所以分別存在反函數(shù)P=與P= , 此時(shí)函數(shù)P=也稱為需求函數(shù), 而P=也稱為供給函數(shù)。需求曲線(函數(shù)) P=與供給曲線(函數(shù)) P=的交點(diǎn)A( P* , Q* )稱為均衡點(diǎn)。在此點(diǎn)供需達(dá)到均衡。均衡點(diǎn)的價(jià)格P* 稱為均衡價(jià)格, 即對某商品而言, 顧客愿買、生產(chǎn)者愿賣的價(jià)格。如果消費(fèi)者以比他們原來預(yù)期的價(jià)格低的價(jià)格(如均衡價(jià)格)購得某種商品, 由此而節(jié)省下來的錢的總數(shù)稱它為消費(fèi)者剩余。假設(shè)消費(fèi)者以較高價(jià)格P= 購買某商品并情愿支付, Q* 為均衡商品量, 則在 Q, Q+內(nèi)消費(fèi)者消費(fèi)量近似為, 故消費(fèi)者的總消費(fèi)量為,它是需求曲線P=在與Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積, 如圖如果商品是以均衡價(jià)格P* 出售, 那么消費(fèi)者實(shí)際銷售量為P* Q* , 因此, 消費(fèi)者剩余為 它是曲邊三角形的面積。如果生產(chǎn)者以均衡價(jià)格P* 出售某商品, 而沒有以他們本來計(jì)劃的以較低的售價(jià)出售該商品, 由此所獲得的額外收入, 稱它為生產(chǎn)者剩余。同理分析可知: P* Q* 是生產(chǎn)者實(shí)際出售商品的收入總額, 是生產(chǎn)者按原計(jì)劃以較低價(jià)格售出商品所獲得的收入總額, 故生產(chǎn)者剩余為它是曲邊三角形的面積。例6 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)是P=。如果價(jià)格固定在每件10元, 試計(jì)算消費(fèi)者剩余。解 已知需求函數(shù)P=,首先求出對應(yīng)于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。于是消費(fèi)者剩余為 = =(30Q-=66666.67(元)。例7 設(shè)某商品的供給函數(shù)為P= 250+ 3Q +0. 01, 如果產(chǎn)品的單價(jià)為425元, 計(jì)算生產(chǎn)者剩余。解 首先求出對應(yīng)于= 425 的的值, 令425= 250+ 3Q + 0. 01, 得一正解Q*=50,于是生產(chǎn)者剩于為 = =4583.339(元)。5 利用定積分決定廣告策略問題例8 某出口公司每月銷售額是1 000000美元, 平均利潤是銷售額的10%. 根據(jù)公司以往的經(jīng)驗(yàn), 廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似地服從增長曲線( t 以月為單位) , 公司現(xiàn)在需要決定是否舉行一次類似的總成本為美元的廣告活動. 按慣例, 對于超過美元的廣告活動, 如果新增銷售額產(chǎn)生的利潤超過廣告投資的10%, 則決定做廣告。試問該公司按慣例是否應(yīng)該做此廣告?解 由公式知, 12 個(gè)月后總銷售額是當(dāng)t= 12時(shí)的定積分即總銷售額= =( 美元) 公司的利潤是銷售額的10% , 所以新增銷售額產(chǎn)生的利潤是(美元)156000 美元利潤是由花費(fèi)130000 美元的廣告費(fèi)而取得的, 因此, 廣告所產(chǎn)生的實(shí)際利潤是156000- 130000= 26000( 美元)這表明贏利大于廣告成本的10%, 故公司應(yīng)該做此廣告。6 利用定積分計(jì)算資本現(xiàn)值和投資若有一筆收益流的收入率為f(t) , 假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率r 計(jì)息, 從而總現(xiàn)值y=。例9 現(xiàn)對某企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤為r, 試求:( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值;( 2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少?解 ( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值: 因收入率為a, 年利潤為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為Y= 從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為 ( 2) 求收回投資的時(shí)間: 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T =即收回投資的時(shí)間為T=例如, 若對某企業(yè)投資A = 800( 萬元) , 年利率為5% , 設(shè)在20 年中的均勻收入率為a= 200( 萬元/ 年),則有投資回收期為 = ( 年)由此可知,該投資在20年內(nèi)可得純利潤為1728.2萬元, 投資回收期約為4.46年.例10 有一個(gè)大型投資項(xiàng)目, 投資成本為A= 10000( 萬元) , 投資年利率為5% , 每年的均勻收入率為a= 2000( 萬元) , 求該投資為無限期時(shí)的純收入的貼現(xiàn)值(或稱為投資的資本價(jià)值) .解 由已知條件收入率為a= 2000( 萬元) ,年利率r= 5%, 故無限期的投資的總收入的貼現(xiàn) = = = = =40000（萬元）從而投資為無限期時(shí)的純收入貼現(xiàn)值為R= y-A= 40000-10000= 30000( 萬元) = 3億元.例11 一對夫婦準(zhǔn)備為孩子存款積攢學(xué)費(fèi), 目前銀行的存款的年利率為5% , 以連續(xù)復(fù)利計(jì)算, 若他們打算10年后攢夠5萬元, 計(jì)算這對夫婦每年應(yīng)等額地為其孩子存入多少錢?解 設(shè)這對夫婦每年應(yīng)等額地為其孩子存入A元(即存款流為f( t) = A ), 使得10年后存款總額的將來值達(dá)到5萬元, 由公式得又得(元)。即這對夫婦每年應(yīng)等額地存入4517元, 10年后才能為孩子攢夠5萬元的學(xué)費(fèi)。總結(jié)定積分在數(shù)學(xué)中占主導(dǎo)地位。同時(shí)，它和經(jīng)濟(jì)學(xué)也有很大的聯(lián)系，以上幾個(gè)方面的應(yīng)用也只是定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的一部分, 定積分還有很多在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用之處。只要勤于學(xué)習(xí), 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無窮魅力, 同時(shí)也能提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。參考文獻(xiàn)1 誤傳生，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分，高等教育出版社，20032 侯風(fēng)波，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，高等教育出版社，20043 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社, 19904 王向東，上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，19895 陳錫璞，機(jī)械工業(yè)出版社，北京，1994.106 . . 菲赫金哥爾茨, 微積分學(xué)教程, 高等教育出版社,20067 白銀鳳 羅蘊(yùn)玲,微積分及其應(yīng)用, 高等教育出版社The application of definite integral in the economicsAbstract: Definite integral is an essential of calculus,and it is also an importantmeans to solve many practical problems Definite integral is applied in economics widely, and is abundant in content .In this paper, the application of definite integral in such cases as aggregate productions function, investment strategy, co