魔術(shù)師的地毯.doc

魔術(shù)師的地毯一天，著名魔術(shù)大師秋先生拿了一塊長和寬都是1.3米的地毯去找地毯匠敬師傅，要求把這塊正方形地毯改成0.8米寬2.1米長的矩形敬師傅對秋先生說：“你這位大名鼎鼎的魔術(shù)師，難道連小學(xué)算術(shù)都沒有學(xué)過嗎？邊長1.3米的正方形面積為1.69平方米，而寬0.8米長2.1米的矩形面積只有1.68平方米，兩者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然沒法做”秋先生拿出他事先畫好的兩張設(shè)計圖，對敬師傅說：“你先照這張圖（圖1.2）的尺寸把地毯裁成四塊，然后照另一張圖（圖1.3）的樣子把這四塊拼在一起縫好就行了魔術(shù)大師是從來不會錯的，你放心做吧！”敬師傅照著做了，縫好一量，果真是寬0.8米長2.1米魔術(shù)師拿著改好的地毯滿意地走了，而敬師傅卻還在納悶兒：這是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能幫敬師傅解開這個謎嗎？ 過了幾個月，魔術(shù)師秋先生又拿來一塊地毯，長和寬都是1.2米，只是上面燒了一個燒餅大?。s0.01平方米）的窟窿秋先生要求敬師傅將地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但長和寬仍舊是1.2米敬師傅很為難，覺得這位魔術(shù)大師的要求不合理，根本無法做到秋先生又拿出了自己的設(shè)計圖紙，要敬師傅按圖1.4的尺寸將地毯剪開，再按圖1.5的樣子拼在一起縫好敬師傅照著做了，結(jié)果真的得到了一塊長和寬仍是1.2米的地毯，而原來的窟窿卻 消失了魔術(shù)師拿著補好的地毯得意洋洋地走了，而敬師傅還在想，補那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里來的呢？你能幫敬師傅解開這個謎嗎 你準(zhǔn)備如何著手去揭開魔術(shù)大秘密呢？通常的辦法是根據(jù)他給的尺寸按某個比例（例如10：1）縮小，自己動手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，實際量一量，看看秘密藏在什么地方這種做模型（或做實驗）的方法，是科技工作者和工程技術(shù)人員通常采用的方法這種方法要求操作和測量都非常精確，否則你就發(fā)現(xiàn)不了秘密例如，按縮小后的尺寸，剪拼前后面積差應(yīng)為1平方厘米，如果在你操作和測量過程中所產(chǎn)生的誤差就已經(jīng)大于1平方厘米了，那么你怎能發(fā)現(xiàn)那1平方厘米的面積差出在什么地方呢？ 數(shù)學(xué)工作者在研究和解決問題時，通常采用另一種方法數(shù)學(xué)計算，即通過精細的數(shù)學(xué)計算來發(fā)現(xiàn)剪拼前后的面積差出在何處現(xiàn)在我們先來分析第一個魔術(shù)。比較圖1.2和圖1.3將圖1.2中的四塊圖形分別記為，（圖1.6），而將圖1.3中相應(yīng)的四塊分別記為 ， ， ， （圖1.7）現(xiàn)在的問題是，圖1.6中的四塊能否拼得像圖1.7那樣“嚴絲合縫”、“不重不漏”？也就是說，圖1.7中所標(biāo)的各個尺寸是否全都準(zhǔn)確無誤？例如圖1.7中的 為直角三角形 ，如果 時，點 是否恰好落在矩形 的對角線 上？同樣，如果 時，點 是否恰好落在 上？讓我們通過計算來回答這個問題如圖1.8建立直角坐標(biāo)系，以 所在直線為 軸， 所在直線為 軸，單位長度表示0.1米，于是有 （0，0）， （0，21）， （8，21）， （8，0）， （0，13）， （5，13）， （3，8）， （8，8）如何判斷 和 是否恰好落在直線 上呢？一種辦法是 ， 的坐標(biāo)代入直線 的方程，看是否滿足方程；另一種辦法是分別計算 ， ， 的斜率，比較它們是否相等下面用后一種方法進行討論設(shè)線段 的斜率為 ，則有 ， ， 比較之，由 得 ，即 的斜角大于 的斜角， 的斜角又大于 的斜角，可見 和 都不在對角線 上，它們分別落在 的兩側(cè)（圖1.8）：又由 ， 得 ， ，即 ， 可知將圖1.6中的四塊圖形按照圖1.7拼接時，在矩形對角線附近重疊了一個小平行四邊形 （圖1.8）正是這一微小的重疊導(dǎo)致面積減少，減少的正是這個重疊的 的面積記 （3，8）到對角線 （ ）的距離為 ， 米， 米， 把面積僅為0.01平方米的地毯拉成對角線長為 米（約2.247米）的極細長的平行四邊形，在一個大矩形的對角線附近重疊了這么一點點，當(dāng)然很難覺察出來，魔術(shù)大是由正是利用了這一點蒙混過去，然而這一障眼法卻怎么也逃不過精細的數(shù)學(xué)計算這一“火眼金睛”如果我們把上述分割正方形和構(gòu)成矩形所涉及的四個數(shù)，從小到大排列起來，即5，8，13，21，這列數(shù)有什么規(guī)律呢？相鄰兩數(shù)之和，正好是緊跟著的第三個數(shù)按照這個規(guī)律，5前面應(yīng)該是（85）3，3前面應(yīng)是（53）2，2前面應(yīng)是（32）1，1前面應(yīng)是（21）1，21后面應(yīng)為（1321）34，34后面應(yīng)為（2134）55，等等，于是得到數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，這個數(shù)列的特點是，它的任意相鄰三項中前兩項之和即為第三項我們稱這個數(shù)列為斐波那契數(shù)列魔術(shù)師的上述第一個地毯魔術(shù)中的四個數(shù)5，8，13，21只是斐波那契數(shù)列中的一段，從該數(shù)列中任意取出其他相鄰的四個數(shù)，還能玩上述魔術(shù)嗎？為了使計算簡單一些，我們?nèi)〕鰯?shù)字更小的一段3，5，8，13來試一試把邊長為8的正方形按圖1.9分成四塊，再拼成邊長為5和13的矩形（圖1.10） 這時圖形的面積由圖1.9的64變成了圖1.10的65，憑空增加了1個單位面積通過完全類似的計算，我們發(fā)現(xiàn)圖1.10的尺寸是不合理的，實際上在矩形對角線附近，同樣會出現(xiàn)一個小平行四邊形不過這次不是一個重疊的平行四邊形，而一具平行四邊形空隙（圖1.11）這就是拼成的矩形比原來的下方形面積“增大”的秘密所在我們可以使用斐波那契數(shù)列的任何相鄰四項，來玩上述分割重拼的魔術(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，正方形比重拼成的矩形，時而少一個單位面積，時而又多一個單位面積這是因為重拼時，在矩形對角線附近，有時會重疊一個細長的平行四邊形（因此失去一個單位面積），有時又會出現(xiàn)一個細長的平行四邊形空隙（因此多出一個單位面積）面積何時變不，何時變大，有沒有規(guī)律呢？我們把斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，記為 ， ， ， ， ，這里 ， ， ， ， ，且具有遞推關(guān)系 考察以 為邊長的正方形面積與以 及 為兩邊長的矩形面積之間的關(guān)系隨著 從小到大依次取2，3，4，5，我們得到當(dāng) 時有 ，即 ；當(dāng) 時有 ，即 ；當(dāng) 時有 ，即 ；當(dāng) 時有 ，即 ；從中我們發(fā)現(xiàn)，隨著 的奇偶變化，在上述關(guān)系式中，加1和減1交替出現(xiàn)對于數(shù)列的第 項 ，當(dāng) 是大于1的奇數(shù)時有 ，此時正方形的面積比矩形小1寫成統(tǒng)一的表示式就是 將斐波那契數(shù)列前后相鄰兩項的比，作成一個新的數(shù)列 ， ， ， ， ， ， ，該數(shù)列的極限 是一個定數(shù)（無理數(shù)），這個數(shù)有很重要的應(yīng)用，而且還有一個非常好聽的名字，叫“黃金分割比”相傳早在歐幾里得之前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400前347）提出并解決了下列按比例分線段的問題：“將線段分為不相等的兩段，使長段為全線段和短段的比例中項”歐幾里得把它收入幾何原本之中，并稱它分線段為中外比據(jù)說“黃金分割”這個華貴的名字是中世紀(jì)著名畫家達芬奇取的，從此就廣為留傳，直至今日 對于長度為 的線段 ，使 的分點 稱為“黃金分割點”（圖1.12）設(shè) ，則 即黃金分割比從古希臘起直到今天，人們都認為這種比例在造型藝術(shù)上具有很高的美學(xué)價值在所有矩形中，兩邊之比符合黃金分割比的矩形是最優(yōu)美的難怪日常生活中許多矩形用品和建筑中的矩形結(jié)構(gòu)，往往是按黃金分割比設(shè)計的甚至連人體自身的形體美，即最優(yōu)美的身段，也遵循著黃金分割比據(jù)說“維納斯”雕像以及世界著名藝術(shù)珍品中的女神像，她們身體的腰以下部分的長度與整個身高的比，都近于0.618，于是人們就把這個比作為形體美的標(biāo)準(zhǔn)芭蕾舞女演員腰以下部分的身長與身高之比，一般約在0.58左右，因此在她們翩翩起舞時，總是腳尖點地，使腰以下部分的長度增長810厘米，以圖展示符合0.618身段比例的優(yōu)美體形（圖1.13），給觀眾以美的藝術(shù)享受黃金分割比不僅在藝術(shù)上，而且在工程技術(shù)上也有重要意義工廠里廣泛使用的“優(yōu)選法”，就是黃金分割比的一種應(yīng)用，因此有人干脆把優(yōu)選法稱為“0.618法”在實際應(yīng)用時，黃金分割比可用斐波那契數(shù)列中相鄰前后兩項的比作為近似值來代替 越大，比值 越近似黃金分割比我們接著分析魔術(shù)師秋先生的第二個魔術(shù)，其秘密在哪里呢？補洞用的那一小塊面積是從哪里來的呢？根據(jù)識破第一個魔術(shù)的經(jīng)驗，我們來考查拼成新的無洞正方形的各個尺寸（圖1.14）是否全都準(zhǔn)確無誤？這就要追查到分割有洞正方形的各個尺寸（圖1.15）是否全都準(zhǔn)確無誤碼？在圖1.15中分割正方形四邊的尺寸是取定的，用不著懷疑值得懷疑的是中間的那條分割線 ，它的尺寸可靠嗎？其中 是正確的，“ ”及“ ”對嗎？而它們正是新拼正方形兩邊上線段 及 的尺寸如圖1.15所示，分別以直線 和 為 軸和 軸建立坐標(biāo)系，于是有 （0，7）， （12，12）， （7，0）， （7，3），要得到 及 的長度，只須求出點 的坐標(biāo)即可 是直線 與直線 的交點直線 的方程是 ，即 ；直線 的方程是 兩方程聯(lián)立解得交點 的坐標(biāo)為（7， ）于是得到 ，因而 這就是說，在新拼正方形（圖1.14）中，左邊上的線段 的長不