“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)研究.doc

專題講座高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)研究李梁 北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院 一、關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的深層理解（一）微積分的發(fā)展史簡述一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的，微積分也是這樣.微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念、求積的無限小方法積、分與微分的互逆關(guān)系.前兩階段的工作，歐洲及中國的大批數(shù)學(xué)家都作出了各自的貢獻(xiàn).最后一步是由牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立完成的.在早至公元前430年安提豐為解決化圓為方問題而提出的”窮竭法”,就為微積分奠定了一定的基礎(chǔ)，開始了極限論的萌芽.后經(jīng)過歐多克斯的加工到阿基米德的完善，窮竭法最終定型.阿基米德的貢獻(xiàn)是積分學(xué)的萌芽.與此同時(shí)，戰(zhàn)國時(shí)期莊子在莊子天下篇中說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，體現(xiàn)了無限可分性及極限思想.公元3世紀(jì),劉徽在九章算術(shù)中提及割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣” 用正多邊形來逼近圓周.這是極限論思想的成功運(yùn)用。他的極限思想和無窮小方法，也是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn).雖然最后是歐洲人真正的研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，但中國古代數(shù)學(xué)對(duì)于微積分的出色工作也是不可忽視的.從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到14世紀(jì)初弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等數(shù)學(xué)史上的重要成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵.中國已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門.可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了.至于歐洲，由于16世紀(jì)以后歐洲封建社會(huì)日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景.到了17世紀(jì)，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，有許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題做了大量的研究工作.如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn).1629年費(fèi)爾瑪給了如何確定極大極小值的方法，這是微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作.其后英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生.而笛卡爾等對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)也為微積分奠定了基礎(chǔ).但這些人的工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性.直到十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作.他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題) .牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源.但牛頓是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，即“流數(shù)術(shù)”理論，這實(shí)際上就是微積分理論.但牛頓的“流數(shù)術(shù)”，在概念上是不夠清晰的，理論上也不夠嚴(yán)密，在運(yùn)算步驟中具有神秘的色彩，還沒有形成無窮小及極限概念.而萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的.萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的。萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展.萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一.牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展.但由于受當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎(chǔ)還不十分牢靠，有些概念比較模糊，因此引發(fā)了長期關(guān)于微積分的邏輯基礎(chǔ)的爭論和探討.經(jīng)過18、19世紀(jì)一大批數(shù)學(xué)家的努力，特別是在法國數(shù)學(xué)家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點(diǎn)定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴(yán)格地證明了微積分基本定理即牛頓萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個(gè)基本嚴(yán)格的完整體系.（二）微積分在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位及作用微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力.微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律.此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.（三）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的結(jié)構(gòu)框圖（四）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)概念的建立及其幾何意義；（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值等性質(zhì).2教學(xué)難點(diǎn)：（1）在沒有極限的條件下建立導(dǎo)數(shù)的概念；（2）體會(huì)極限意義下的數(shù)學(xué)與精確意義下的數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)建議（一）沒有極限怎樣講解導(dǎo)數(shù)的概念？1以往教材的體現(xiàn)順序：數(shù)列數(shù)列的極限函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分定積分（導(dǎo)數(shù)作為一種特殊極限處理，有形式化的極限概念），體系相對(duì)完整.2新教材從變化率入手研究導(dǎo)數(shù)，用形象直觀的 “逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)：從函數(shù)的平均變化率到瞬時(shí)變化率，再到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）.這樣的好處體現(xiàn)在：（1）避免學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)學(xué)習(xí)間的矛盾；（2）更多精力放在對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上；（3）對(duì)逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解.3導(dǎo)數(shù)概念的建立：（1）平均變化率：對(duì)于函數(shù)，定義為函數(shù)從到的平均變化率.換言之，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)相應(yīng)地有增量，則比值就叫做函數(shù)從到之間的平均變化率.（2）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即.（3）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：當(dāng)變化時(shí)，是的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），即.例1 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)_ 通過本例分析，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)定義的重要性及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)注意事項(xiàng)1關(guān)注對(duì)于曲線切線的重新認(rèn)識(shí)：曲線的切線為曲線割線的極限位置.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.3強(qiáng)調(diào)切點(diǎn)的重要性：切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即切點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足切線與曲線的方程.教學(xué)中教師可以設(shè)計(jì)如下例題：例2 （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程.對(duì)于（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進(jìn)而由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程.對(duì)于（2），注意到點(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)出切點(diǎn)，并通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.解：（1）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線的方程為，即.（2）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率為，從而切線的方程為. 因?yàn)檫@條切線過點(diǎn)，所以有，整理得，解得，或.從而切線的方程為，或，即切線的方程為，或.通過此例，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，常依據(jù)的條件是： 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即； 切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即切點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足切線與曲線的方程.（三）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)注意事項(xiàng)1熟悉導(dǎo)數(shù)公式表，即幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （為常數(shù)）； （，）； ； ； ； （，且）； ； （，且）2明確導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： ； ； （）3關(guān)注簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，則函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)其求導(dǎo)步驟是：，其中表示對(duì)求導(dǎo)，表示對(duì)求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)后應(yīng)把換成教學(xué)中教師可以設(shè)計(jì)如下例題：例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）方法一：.方法二：， .（2）方法一：.方法二：， .（3）方法一：.方法二：.（4）.通過此例題，教師強(qiáng)調(diào)理解和掌握求導(dǎo)法則和式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件.運(yùn)用公式和求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)的基本步驟為： 分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征； 選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)； 化簡整理結(jié)果.應(yīng)注意：在可能的情況下，求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量減少使用乘法的求導(dǎo)法則，可在求導(dǎo)前利用代數(shù)、三角恒等變形等方法對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可減少運(yùn)算量.（如（1）（2）題的方法二較方法一簡捷）.對(duì)于（3），方法一是使用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解，即使用三角公式將表示為和的乘積形式，然后求導(dǎo)數(shù)；方法二是從復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的角度求解. 方法二較方法一簡捷.對(duì)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練、準(zhǔn)確.（四）定積分與微積分基本定理教學(xué)須知1曲邊梯形的面積與定積分：（1）定積分定義：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上. 用分點(diǎn)把區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，其長度依次為，.記為這些小區(qū)間長度的最大者.當(dāng)趨近于時(shí)，所有的小區(qū)間的長度都趨近于.在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，作和式.當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中叫做被積函數(shù)，叫做積分下限，叫做積分上限，此時(shí)稱函數(shù)在區(qū)間上可積. 教學(xué)中應(yīng)突出：分割近似代替求和取極限的步驟，概念非常抽象，結(jié)合圖形幫助分析.（2）明確定積分性質(zhì)：定積分有三條主要的性質(zhì)： （為常數(shù)）； ； （）.性質(zhì) 對(duì)于有限個(gè)函數(shù)（兩個(gè)以上）也成立；性質(zhì) 對(duì)于把區(qū)間分成有限個(gè)（兩個(gè)以上）區(qū)間也成立.在定積分的定義中，限定下限小于上限，即.為了計(jì)算方便，我們把定積分的定義擴(kuò)展，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：.（3）明確幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法： 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積. 由兩條直線，兩條曲線， 圍成的平面圖形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積，即在區(qū)間上，有正有負(fù)，求曲邊梯形的面積時(shí)應(yīng)分段計(jì)算.2、微積分基本定理：如果，且在上可積，則，其中叫做的一個(gè)原函數(shù). 原函數(shù)在上的改變量簡記作，因此微積分基本定理可以寫成.教學(xué)中可采用如下例題：例4 計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）. 解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.教學(xué)重要明確求一般分為兩步： 求的原函數(shù)； 計(jì)算的值，對(duì)于求較復(fù)雜函數(shù)的定積分還要依據(jù)定積分的性質(zhì).例5 求曲線，及直線所圍成圖形的面積.解：兩條曲線，的交點(diǎn)為，故所求面積.（五）例舉導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.值得注意的是，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有（或），但其中只有有限個(gè)點(diǎn)使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是增函數(shù)（或減函數(shù)）.（2）一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，說明這個(gè)函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快.這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極大值，是極大值點(diǎn)；如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極小值，是極小值點(diǎn).（2）需要注意，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如在處的導(dǎo)數(shù)值為零，但不是函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說可導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是該函數(shù)在處取得極值的必要但不充分條件.（3）函數(shù)在區(qū)間上的最值：在區(qū)間上的最大值（或最小值）是在區(qū)間內(nèi)的極大值（或極小值）及中的最大者（或最小者）.（4）應(yīng)注意，極值只是相對(duì)一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而最值是相對(duì)整個(gè)定義域內(nèi)的整體性質(zhì).例6 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)得.令，得. 當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.通過本例，明確求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟： 確定的定義域（這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集）； 計(jì)算導(dǎo)數(shù)； 求出方程的根； 列表考察的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間（必要時(shí)要進(jìn)行分類討論）.例7 求函數(shù)的極值.解：，令，解得.列表分析如下：極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.通過本例，明確求函數(shù)的極值的步驟： 計(jì)算導(dǎo)數(shù)； 求出方程的根； 列表考察的根左右值的符號(hào)：如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值.例8 已知函數(shù) （1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值解：（1）令，解得或所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， （2）因?yàn)椋砸驗(yàn)樵谏?，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值于是有，解得 故，因此即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為通過本例，明確求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本方法： 計(jì)算導(dǎo)數(shù)； 求出方程的根； 比較函數(shù)值及的大小，其中的最大（?。┱呔褪窃陂]區(qū)間上最大（?。┲道? 求證：當(dāng)時(shí)， 不等式兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，且函數(shù)類型不同，故可考慮構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性來輔助證明不等式.證明：構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，有，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， .通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，而借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性輔助證明不等式突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用.三、學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤分析與解決策略1忽視函數(shù)的定義域：例10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.易錯(cuò)點(diǎn)：不優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域而直接求導(dǎo)，但求導(dǎo)后函數(shù)的 “模樣”（類型）變化很大，導(dǎo)致定義域變化，因而出現(xiàn)問題.簡解：的定義域是，且，令，得（舍去）. 列表分析如下：所以函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間是.錯(cuò)因分析：研究一個(gè)函數(shù)要優(yōu)先考慮自變量的取值集合，這是一個(gè)基本順序.在本題中如果忽視它，將導(dǎo)致對(duì)于的無謂討論.解決策略： 明確導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具之一，遵循一般函數(shù)的研究順序； 養(yǎng)成在定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)問題的習(xí)慣； 有檢驗(yàn)意識(shí).2不會(huì)研究較抽象的問題例11 設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（ ）A BC D易錯(cuò)點(diǎn)：題目給出的信息量較大，并且還都是抽象符號(hào)函數(shù)，不知從何下手？錯(cuò)因分析：對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)要有整體的把握，才能從更高的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)于新情境問題找到突破口.解決策略：首先要標(biāo)出重要的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究.由你能產(chǎn)生什么聯(lián)想？它和積的導(dǎo)數(shù)公式很類似，整理可得.令，則當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)再考慮奇偶性，函數(shù)是奇函數(shù). 還有一個(gè)已知條件，進(jìn)而可得，這樣我們就可以畫出函數(shù)的示意圖，借助直觀求解. 答案：D3用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題例12 用總長的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多，那么長和寬分別為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積易錯(cuò)點(diǎn)：讀不懂題，不能化未知為已知；即使能夠建立函數(shù)關(guān)系也不關(guān)注實(shí)際背景錯(cuò)因分析：函數(shù)觀念弱化，無法建立函數(shù)關(guān)系，建模能力弱解決策略：解決實(shí)際優(yōu)化問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型（目標(biāo)函數(shù)），通過把題目中的主要關(guān)系（等量和不等量關(guān)系）形式化，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼夂喗猓涸O(shè)容器底面長方形寬為，則長為，依題意，容器的高為 顯然，即的取值范圍是 記容器的容積為，則 對(duì)此函數(shù)求導(dǎo)得， 令，解得； 令，解得所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值1.8，這時(shí)容器的長為 答：容器底面的長為m、寬為m時(shí)，容器的容積最大，最大容積為四、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)中的相關(guān)要求1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵 通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)，的導(dǎo)數(shù) 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù) 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性（4）生活中的優(yōu)化問題舉例例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用（5）定積分與微積分基本定理 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義（二）高考考試內(nèi)容與要求1導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用4生活中的優(yōu)化問題5定積分與微積分基本定理（三）典型題目剖析：例13 已知，函數(shù)，.設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求的方程；（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)是，證明：.對(duì)于（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不難求出的方程；對(duì)于（2），涉及到不等式的證明，依題意求出用表示的后，將視為的函數(shù)，即，結(jié)合要證明的結(jié)論進(jìn)行推理.簡解：（1）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，由此得切線的方程為：.（2）依題意，切線方程中令，得.由，及，有；另一方面，從而有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，. 本題考查的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式的證明.涉及的基礎(chǔ)知識(shí)都比較基本，題目難度也不大，但把導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)與不等式等內(nèi)容有機(jī)整合，具有一定新意，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法，這種趨勢在教學(xué)中因予以關(guān)注，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性作用.本題中的（2）在證明時(shí)，還可用如下方法： 作差，. 利用平均值不等式，.例14 （2009年高考北京卷理18）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.本題以研究函數(shù)的單調(diào)性為背景，全面考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決與單調(diào)性相關(guān)問題的全過程.從數(shù)學(xué)思想角度考查了函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、劃歸與轉(zhuǎn)化的思想等，內(nèi)涵豐富.通過這個(gè)問題可以有效引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注考查熱點(diǎn)，關(guān)注導(dǎo)數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，注意教學(xué)的針對(duì)性與實(shí)效性.簡解：（1），令，得.若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.（2）若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.綜上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.例15 （2007年高考全國卷理1 20） 已知函數(shù)（1）證明：的導(dǎo)數(shù)；（2）若對(duì)所有都有，求的取值范圍本題以研究一個(gè)新的函數(shù)的性質(zhì)為背景，全面考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法解決相關(guān)問題的全過程.考查了分類與整合的思想、構(gòu)造函數(shù)模型證明不等式的基本方法等重點(diǎn)突出，內(nèi)涵豐富.題目將導(dǎo)數(shù)融入函數(shù)整體性質(zhì)的考查以及和不等式的有機(jī)結(jié)合頗有創(chuàng)意，可以對(duì)我們教學(xué)中的方向和要求起到提示作用簡解：（1）的導(dǎo)數(shù)由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（2）令，則， 若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即 若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是通過對(duì)上述高考題目的剖析，教師們要明確導(dǎo)數(shù)在高考中的考查熱點(diǎn)，主要集中在下述幾方面：1研究函數(shù)性質(zhì) 導(dǎo)數(shù)作為研究函