電法勘探中的數(shù)學(xué)模型.pdf

第34卷第2期 2004年2月 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol134 No12 Feb 2004 電法勘探中的數(shù)學(xué)模型 胡建德 中央民族大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)系 北京 100081 摘要 文章介紹了地球物理勘探中大地電磁法 M T 在二維構(gòu)造上的數(shù)學(xué)模型和正反演方法 也給出了可 控源音頻大地電磁測(cè)深 CSAM T 的二維正演數(shù)學(xué)模型 關(guān)鍵詞 大地電磁 CSAM T Backus2Gilbert線(xiàn)性反演 收稿日期 2003204228 電法勘探是綜合地球物理勘探方法中的基本方法之一 1 電磁測(cè)深方法是用變頻進(jìn)行 測(cè)深的一個(gè)電法勘探分支 利用天然電磁場(chǎng) 由太陽(yáng)輻射的變異 大氣圈下層電荷的移動(dòng) 雷雨放電等產(chǎn)生 做場(chǎng)源的稱(chēng)為大地電磁 測(cè)深 法 M T 1 2 使用人工電磁場(chǎng)做場(chǎng)源的稱(chēng) 為可控源頻率測(cè)深法 電磁場(chǎng)以電磁波的形式向地下傳播時(shí) 不同的頻率對(duì)應(yīng)著不同的電 磁波長(zhǎng)和穿透深度 場(chǎng)強(qiáng)隨深度的增加而衰減 電磁測(cè)深方法觀測(cè)不同頻率的電磁波在地 表的響應(yīng) 即電磁場(chǎng)的水平分量 來(lái)推導(dǎo)或反演地球內(nèi)部的巖石電性結(jié)構(gòu) 以適應(yīng)礦產(chǎn)普查 或構(gòu)造研究的需要 本文給出了二維構(gòu)造條件下M T響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和正反演方法和以線(xiàn) 電流源為激發(fā)源時(shí)二維構(gòu)造上電磁響應(yīng) CSAM T 的數(shù)學(xué)模型及正演算法 1 二維構(gòu)造條件下的M T數(shù)學(xué)模型 取如圖1所示的二維構(gòu)造區(qū)域 設(shè)二維構(gòu)造走向?yàn)閄軸向 則電阻率 分布只沿Y和 Z兩個(gè)方向上變化 在每一種巖層內(nèi)部 電阻率是各向同性的 如果以e i t表示電磁場(chǎng)隨時(shí) 間變化的關(guān)系 并考慮到大地電磁場(chǎng)主要是由電磁感應(yīng)引起的 用實(shí)用單位制 則麥克斯韋 圖1 二維構(gòu)造示意圖 方程可表達(dá)為 E i H 1 1 H E 1 2 H 0 1 3 E 0 1 4 式中E H分別表示電磁場(chǎng)強(qiáng)度 電導(dǎo)率 圓頻率 磁 導(dǎo)率 由于電阻率沿走向X是穩(wěn)定的 對(duì)于垂直入射的平 面電磁波 有 5E 5x 5H 5x 0 1 5 將 1 1 5 代入 1 11 11 2 的展開(kāi)式中 可得如下兩組相互 獨(dú)立的偏振波 5Ez 5y 5Ey 5z i Hx 5Hx 5z Ey 5Hx 5y Ez 1 6 5Hz 5y 5Hy 5z Ex 5Ex 5z i Hy 5Ex 5y i Hz 1 7 1 1 6 和 1 1 7 式分別稱(chēng)為T(mén)M波和TE波方式 并可化為如下的霍姆赫茲方程 TE方式 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 i Ex 1 8 TM方式 5 5y 1 5Hx 5y 5 5z 1 5Hx 5z i Hx 1 9 適當(dāng)?shù)剡x取邊界條件 則 1 1 8 和 1 1 9 式可表達(dá)為如下形式的泛函極值問(wèn)題 即求 J V 8 a 5V 5y 2 a 5V 5z 2 bV 2 dydz cV 2 dV d s 1 10 最小 式中V表示Ex或Hy 在 8 上合理地作網(wǎng)格剖分 用有限元法可求出節(jié)點(diǎn)上的V值 進(jìn)而計(jì)算斷面上的大地電磁響應(yīng) 2 4 2 M T資料的二維反演計(jì)算方法 為構(gòu)造反演算法 引入如下響應(yīng)函數(shù) V 1 Ex 5Ex 5z U 1 Hx 5Hx 5z 2 1 則 1 8 和 1 9 分別變?yōu)?5V 5z V 2 1 Ex 5 2E x 5y 2 i 0 2 2 5U 5z U 2 1 Hx 5 5y 1 5Hx 5y i 0 2 3 設(shè)當(dāng) 0時(shí) V0和Ex 0滿(mǎn)足方程 2 12 U0和Hx 0滿(mǎn)足方程 2 13 令 0 V V0 V U U0 U 2 4 由于趨膚效應(yīng) 場(chǎng)的垂直梯度一般較水平梯度大很多 因而將 2 12 21 3 中 項(xiàng)用 0對(duì) 應(yīng)的 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2和 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 近似代替 則兩方程變?yōu)橹粚?duì)z微分的黎卡提方程 5V 5z V 2 i 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2 0 2 5 5U 5z U 2 i 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 0 2 6 將 2 1 4 式代入上式并忽略 V U的二次項(xiàng) 則有 5 5z V 2V0 V i 0 2 7 5 5z U 2U0 U U 2 0 0 2 8 其解為 82數(shù) 學(xué) 的 實(shí) 踐 與 認(rèn) 識(shí)34卷 V z 1 E 2 x 0 z 0 i E 2 x 0 l l d l 2 9 U z 1 H 2 x 0 z 0 1 0 l 5Hx 0 l 5l 2 l d l 2 10 上式的積分限實(shí)際上是從地表z 0到某一深度即 8 的下邊界Zmax 在此深度電磁場(chǎng)已近似 衰減為0 令z 0則 V 0 1 E 2 x 0 0 Zmax 0 i E 2 x 0 z z d z 2 11 U 0 1 H 2 x 0 0 Zmax 0 1 0 z 5Hx 0 z 5z 2 z d z 2 12 地球的導(dǎo)電性可以有105到106級(jí)次的變化 令m z ln z 則 m z z 0 z 令 G z i Ex 0 z Ex 0 0 2 0 z 2 13 H z 1 0 z Hx 0 0 5Hx 0 z 5z 2 0 z 2 14 則 2 111 21 12 對(duì)于每個(gè)測(cè)點(diǎn)y不同的觀測(cè)頻率fi有 Vi y 0 Zmax 0 Gi y z m y z d z 2 15 Ui y 0 Zmax 0 Hi y z m y z d z 2 16 這里得到了形式上與一維連續(xù)介質(zhì)情況下相同的 Vi或 Ui與函數(shù) m之間的線(xiàn)性泛函關(guān) 系 5 核函數(shù)G y z 或H y z 是Frechet導(dǎo)數(shù) V U以及G H都是復(fù)數(shù) 若將 2 1 15 2 1 16 分別寫(xiě)為 V或 U的振幅方程和相位方程 并考慮到在任何測(cè)點(diǎn)y上第i個(gè)頻率的 觀測(cè)誤差 Vi或 Ui已近似為深度的函數(shù) 則這些方程都可歸類(lèi)為如下形式的Fredholm 方 程 Vi Zmax 0 Gi z m z d z i 1 2 n 2 17 利用Backus2Gilbert反演法 5 7 可對(duì) 2 1 17 求 m z 的L2范數(shù)最小解 即求在滿(mǎn)足 2 1 17 的約束條件下使 In Zmax 0 m 2 z d z 2 18 最小 按第一D irichlet準(zhǔn)則知 m z g T z GGT 1 V 2 19 式中G由 2 1 17 中的Gi z 確定 g則由下式定義 g z G1 z G2 z Gn z T 2 20 對(duì)于每個(gè)測(cè)點(diǎn) 根據(jù) m y z 修改 0 y z 最后求得新的二維模型 y z y z 0 y z 1 m y z 2 21 并以新的 y z 為初始模型進(jìn)行迭代 直至 Vi的均方相對(duì)誤差足夠小為止 對(duì)理論數(shù)據(jù) 和實(shí)測(cè)資料的反演計(jì)算顯示了良好的效果 8 9 922期胡建德 電法勘探中的數(shù)學(xué)模型 3 CSAM T二維正演數(shù)學(xué)模型 在圖1所示的二維構(gòu)造中 若用長(zhǎng)導(dǎo)線(xiàn)在X軸向作激勵(lì)源 并設(shè)其具有頻率為 的諧 變電流 Ix I0e i t 3 1 則由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出滿(mǎn)足電場(chǎng)Ex的微分方程及邊界條件為 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 2E x i I0 y y0 z z0 3 2 5Ex 5nAOE CD 0 5Ex 5n 1Ex AB BC 0 5Ex 5n 2Ex ED 0 式中 2 2 i 1 0 k1 0r k0 0r cos 2 I0是電流源的電流強(qiáng)度幅值 是介電常數(shù) k0 0r 和k1 0r 分別是零階和一階修正的貝 賽爾函數(shù) 是從線(xiàn)源到計(jì)算點(diǎn)的徑向矢量r和邊界外法線(xiàn)n之間的夾角 0是空氣中的波 數(shù) 0 0 0 與上述邊值問(wèn)題等價(jià)的泛函極值問(wèn)題是求 J Ex i I0Ex 0 0 8 5Ex 5y 2 5Ex 5z 2 2E2 xdydz AB B C 1E 2 xds ED 2E 2 xds 3 3 極小 使用有限元法 可求得線(xiàn)源二維問(wèn)題的解 11 12 對(duì)不同模型的計(jì)算結(jié)果及分析 為資 料解釋提供了依據(jù) 10 13 大地電磁測(cè)深法具有不需供電設(shè)備 使用的頻率范圍大 勘探深度大 等值范圍小等優(yōu) 點(diǎn) 多用于地殼結(jié)構(gòu)和區(qū)域地質(zhì)構(gòu)造的研究 也用于油氣 水資源及工程地質(zhì)勘探等方面 可探源頻率測(cè)深法具有分辨力較高 各向異性影響小 測(cè)量參數(shù)多便于綜合分析 工效高等 優(yōu)點(diǎn) 已廣泛應(yīng)用于找水 找油和礦產(chǎn)地質(zhì)勘探 在復(fù)雜構(gòu)造條件下建立電磁方法的數(shù)學(xué)模 型并作正反演研究有著重要的實(shí)際意義 參考文獻(xiàn) 1 日丹諾夫M C著 潘玉玲 王守坦譯 1 電法勘探 M 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社 1990 178 185 2 陳樂(lè)壽 王光鍔 1 大地電磁測(cè)深法 M 北京地質(zhì)出版社 19901 3 W illiam L Rodi A Technique for i mproving the accuracy of finite element solutions for magnetotelluric data J Geophys J R A str Soc 1976 44 483 505 4 胡建德 蔡綱1 用三角形二次插值有限元法計(jì)算二維大地電磁測(cè)深曲線(xiàn) J 石油地球物理勘探 1984 4 358 367 5 O ldenburg D W 王家映 1 在地球物理學(xué)中的線(xiàn)性反演理論 J 地球科學(xué) 1984 9 3 133 147 6 Sm ith J T Booker J R M agnetotelluric inversion for m ini mum structure J Geophysics 1988 53 1565 03數(shù) 學(xué) 的 實(shí) 踐 與 認(rèn) 識(shí)34卷 1576 7 傅淑芳 朱仁益 1 地球物理反演問(wèn)題 M 地質(zhì)出版社 1998 119 147 8 吳廣耀 胡建德 1 大地電磁資料的二維連續(xù)模型自動(dòng)反演 J 地球科學(xué) 1990 15 增刊 23 25 9 吳小平 吳廣耀 胡建德 1 二維最平模型的大地電磁快速反演 J 地球科學(xué) 1994 19 6 821 830 10 石昆法 1 可控源音頻大地電磁法理論與應(yīng)用 M 科學(xué)出版社 19991 11 陳明生 嚴(yán)又生 1 二維水平電偶極變頻測(cè)深阻抗視電阻率的有限元正演計(jì)算 J 地球物理學(xué)報(bào) 1987 30 2 201 208 12 胡建德 閻述 陳明生等 1 線(xiàn)電流源聲頻大地電磁測(cè)深的二維正演計(jì)算及響應(yīng)特點(diǎn) J 現(xiàn)代地質(zhì) 1997 11 2 203 209 13 胡建德 管建和 向禮明等 1M T二維正演的混合剖分算法及其在線(xiàn)源CSAM T正演計(jì)算中的應(yīng)用 J 現(xiàn)代地質(zhì) 1996 10 1 129 135 MathematicalM odels in Electromagnetic Survey HU Jian2de Dept ofM athematics Chiina