解析幾何專題二(焦點弦及焦點三角形).doc

專題二:圓錐曲線焦點弦、焦點知識專題【焦半徑橢圓】【焦半徑雙曲線】(1) 單支焦點半徑(2) 雙支焦點半徑【焦半徑拋物線】【焦點弦有關(guān)推論橢圓】1、過橢圓、雙曲線的一焦點F交橢圓或雙曲線(單支)于A,B兩點，則2、過雙曲線的焦點F的直線分別與兩支交于A,B，與焦點軸夾角為3、過拋物線的焦點F直線交拋物線于A,B兩點，與焦點軸夾角為4、已知點是離心率為的橢圓或雙曲線的焦點，過點的弦與的焦點所在的軸的夾角為，且。（1） 當(dāng)焦點內(nèi)分弦時，有（2） 當(dāng)焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線），有【橢圓焦三角形面積】q為動點到原點的距離,m,n為弦長,為弦夾角 【橢圓】 【雙曲線焦面積】q為動點到原點的距離,m,n為弦長,為弦夾角 【拋物線焦點弦與原點面積】【焦點頂角】橢 圓: 雙曲線: 一、焦半徑與焦點弦 ABF1MNF2ABF1MNF2 【焦半徑橢圓】 分析：如上左圖, 分析：如上右圖, ABF1MNF2 MNBF1F2A分析：如上左圖, 分析：如上右圖, AF1F2MBNAF1F2MBN【焦半徑雙曲線】內(nèi)部焦點半徑 ABMNMANB外部焦點半徑 MMNNBAMMANNB分析：如上左圖, 分析：如上右圖, 同理可以推出:(也可從旋轉(zhuǎn)的角度得出以下結(jié)論)MMNNBA【焦半徑拋物線】從上圖容易得出以下結(jié)論 從上圖分析【焦半徑與焦點弦有關(guān)推論】【推論1】常用來求定值 過橢圓、雙曲線的一焦點F交橢圓或雙曲線(單支)于A,B兩點，則過雙曲線的一焦點F的直線分別與兩支交于A,B，與焦點軸夾角為過拋物線的一焦點F直線交拋物線于A,B兩點，與焦點軸夾角為【推論2】常用來求定角或斜率已知點是離心率為的橢圓或雙曲線的焦點，過點的弦與的焦點所在的軸的夾角為，且。（3） 當(dāng)焦點內(nèi)分弦時，有（4） 當(dāng)焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線），有ABF1MNF2ABMN【（1）分析證明】【（2）分析證明】MMABN【焦半徑與焦點弦有關(guān)例題】例1 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，若線段的長為8，則【解】 由拋物線焦點弦的弦長公式為得，解得。例2（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點，已知。（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程?！窘狻?（1）這里，由定理1的公式得，解得。 （2）將，代入焦點弦的弦長公式得，解得，即，所以，又，設(shè)，代入得，所以，所以，故所求橢圓方程為。例3（2007年重慶卷第16題）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為【解】 易知均在右支上，因為，離心率，點準距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，。例4 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為【解】 因為，離心率，點準距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。例5 （2010年高考全國卷理科第16題）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為【解】 設(shè)直線與焦點所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。例6（自編題）已知雙曲線的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交的兩支于兩點。若，則 【解】 這里，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。例7（2009年高考全國卷理科題）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點。若，則的離心率為（ ） 【解】這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。例8 （2007年高考全國卷）如圖6，已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且。求四邊形面積的最小值。 圖6 【解】 由方程可知，則。設(shè)直線與軸的夾角為，因為，所以直線與軸 的夾角為。代入弦長公式得，。故四邊形的面積為，。所以四邊形面積的最小值為。二、圓錐曲線中的焦點三角形面積【橢圓焦三角形】F1F2MmnEFP【分析】 設(shè)|OM|=q 【雙曲線焦點三角形】 【拋物線原焦弦三角形】同樣焦點在y軸上時三、圓錐曲線中的焦點三角形頂角問題【橢圓】 【分析】也可利用向量來證明x的取值范圍【雙曲線】原理同橢圓,可求出x的取值范圍【啟發(fā)例題】MPQF1M例 點M是橢圓(ab0)上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦