高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算2學(xué)案含解析.docx

第二課時(shí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用復(fù)合函數(shù)已知y(3x2)2，ysin.問題1：這兩個(gè)函數(shù)是復(fù)合函數(shù)嗎？提示：是復(fù)合函數(shù)問題2：試說明y(3x2)2是如何復(fù)合的提示：令ug(x)3x2，yf(u)u2，則yf(u)f(g(x)(3x2)2.問題3：試求y(3x2)2，f(u)u2，g(x)3x2的導(dǎo)數(shù)提示：y(9x212x4)18x12，f(u)2u，g(x)3.問題4：觀察問題3中的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系提示：yf(u)g(x)1復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過變量u，y可以表示成 x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)yf(u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf(g(x)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積對(duì)復(fù)合函數(shù)概念的理解(1)在復(fù)合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域必須是外層函數(shù)定義域的子集(2)對(duì)于復(fù)合函數(shù)，中間變量應(yīng)該選擇基本初等函數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)是基本初等函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是：運(yùn)用求導(dǎo)公式可直接求導(dǎo)簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)yesin x；(3)ysin；(4)y5log2(2x1)(1)設(shè)yu，u12x2，則y(u)(12x2)(4x)(12x2) (4x) .(2)設(shè)yeu，usin x，則yxyuuxeucos xesin xcos x.(3)設(shè)ysin u，u2x，則yxyuuxcos u22cos.(4)設(shè)y5log2u，u2x1，則y5(log2u)u(2x1)x.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x1)4；(2)y102x3；(3)ysin4xcos4x.解：(1)令u2x1，則yu4，yxyuux4u3(2x1)4u328(2x1)3.(2)令u2x3，則y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.(3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1(1cos 4x)cos 4x.所以ysin 4x.復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)yxcossin.(1)y(x)xx() .(2)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)注意的問題(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式，對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形，以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運(yùn)用公式，從外層開始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)yxln(12x)解：(1)y2sin 2sin cos sin .(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)yxln(12x)xln(12x) .復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題設(shè)f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b為常數(shù))，曲線yf(x)與直線yx在(0,0)點(diǎn)相切，求a，b的值由曲線yf(x)過(0,0)點(diǎn)，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，則f(0)1aa，此即為曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率由題意，得a，故a0.解決復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)幾何意義綜合問題的方法正確求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提，審題時(shí)注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn)，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題，尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離s(單位：m)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為ys(t)5.求函數(shù)在t時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義解：函數(shù)y5可以看作函數(shù)f(x)5和x(t)259t2的復(fù)合函數(shù)，其中x是中間變量由導(dǎo)數(shù)公式表可得f(x)x，(t)18t.再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得yts(t)f(x)(t)(18t)，將t代入s(t)，得s0.875(m/s)它表示當(dāng)t時(shí)，梯子上端下滑的速度為0.875 m/s.函數(shù)yxe12x的導(dǎo)數(shù)為_ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.y(12x)e12x1本題易發(fā)生對(duì)e12x的求導(dǎo)不按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，導(dǎo)致求導(dǎo)不完全，得出ye12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x的錯(cuò)誤結(jié)論2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則通常稱為鏈條法則，因?yàn)樗矜湕l一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的任何一環(huán)函數(shù)yln在x0處的導(dǎo)數(shù)為_解析：ylnln exln(1ex)xln(1ex)，則y1.當(dāng)x0時(shí)，y1.答案：1函數(shù)y(2 0178x)3的導(dǎo)數(shù)y等于()A3(2 0178x)2B24xC24(2 0178x)2 D24(2 0178x)2解析：選Cy3(2 0178x)2(2 0178x)3(2 0178x)2(8)24(2 0178x)2.2函數(shù)yx2cos 2x的導(dǎo)數(shù)為()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x解析：選By(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知f(x)ln(3x1)，則f(1)_.解析：f(x)(3x1)，f(1).答案：4設(shè)曲線yeax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x2y10垂直，則a_.解析：令yf(x)，則曲線yeax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為f(0)，又切線與直線x2y10垂直，所以f(0)2.因?yàn)閒(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.答案：25求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1.解：(1)函數(shù)ycos(x3)可以看作函數(shù)ycos u和ux3的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得yxyuux(cos u)(x3)sin u1sin usin(x3)(2)函數(shù)y(2x1)3可以看作函數(shù)yu3和u2x1的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得yxyuux(u3)(2x1)3u226u26(2x1)2.(3)ye2x1(2x1)2e2x1.一、選擇題1函數(shù)y(x21)n的復(fù)合過程正確的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx21答案：A2函數(shù)y5的導(dǎo)數(shù)為()Ay54By54Cy54Dy54解析：選C函數(shù)y5是函數(shù)yu5與ux的復(fù)合函數(shù)，yxyuux54.3函數(shù)yxln(2x5)的導(dǎo)數(shù)為()Aln(2x5)Bln(2x5)C2xln(2x5)D.解析：選Byxln(2x5)xln(2x5)x(2x5)ln(2x5).4(新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)曲線yaxln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y2x，則a的值為()A0B1C2 D3解析：選Dya，由題意得y|x02，即a12，a3.5曲線yln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy30的最短距離是()A. B2C3 D0解析：選A設(shè)曲線yln(2x1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線2xy30平行y，y|xx02，解得x01，y0ln(21)0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，切點(diǎn)(1,0)到直線2xy30的距離為d，即曲線yln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy30的最短距離是.二、填空題6函數(shù)ysin 2xcos 3x的導(dǎo)數(shù)是_解析：ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.答案：2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x7已知f(x)且f(1)2，則a的值為_解析：f(x)(ax21)，f(x)(ax21)(ax21).又f(1)2，2，a2.答案：28函數(shù)ysin2x的圖象在點(diǎn)A處的切線的斜率是_解析：ysin2x，y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x，ksinsin.答案：三、解答題9求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(1x2)5；(2)y(23x2)；(3)yln .解：(1)y5(1x2)4(1x2)10x(1x2)4.(2)y6x(23x2)6x(23x2).(3)yln(1)ln(1)，y(1)(1)